第11课。

09FindingTheOptimum.tex

@@ -152,7 +152,7 @@ TSP问题没有满意解。
 
 第二步，用与上一张中在Planar code中运用的方法一样遍历这棵树，得到一个closed walk；
 
-第三步，找一些“捷径”：如果从$i$到$k$需要经过$j$，而$j$在这之前已经到达过，那么我们就直接从$i$连接至$k$，如此重复直到我们不能再简化。
+第三步，找一些``捷径''：如果从$i$到$k$需要经过$j$，而$j$在这之前已经到达过，那么我们就直接从$i$连接至$k$，如此重复直到我们不能再简化。
 
 \setcounter{subfigure}{0}
 \begin{figure}[H]

11CombinatoricsInGeometry.tex

@@ -0,0 +1,98 @@
+\chapter{几何中的组合问题}
+\section{对角线的交点}
+\begin{definition}
+    若多边形的每个内角都小于$\pi$，则称其为凸多边形。
+\end{definition}
+
+考虑一个凸$n$变形。假设它的任意三条对角线的不相交在同一点，那么这个凸$n$变形的对角线共有多少个交点？
+
+\begin{figure}[H]
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}
+            \node[above] at (0,2) {$A$};
+            \node[left] at (-2,1) {$B$};
+            \node[left] at (-1.5,-2) {$C$};
+            \node[below] at (0.5,-3) {$D$};
+            \node[right] at (2.5,-2.2) {$E$};
+            \node[right] at (3,0.8) {$F$};
+            \draw (0,2)--(-2,1)--(-1.5,-2)--(0.5,-3)--(2.5,-2.2)--(3,0.8)--cycle;
+            \draw (0,2)--(-1.5,-2)--(2.5,-2.2)--cycle;
+            \draw (-2,1)--(0.5,-3)--(3,0.8)--cycle;
+            \draw (0,2)--(0.5,-3);
+            \draw (-2,1)--(2.5,-2.2);
+            \draw (-1.5,-2)--(3,0.8);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+\end{figure}
+
+每个对角线的交点都与对角线的四个顶点组成的四边形一一对应，因此总数为$\dbinom{n}{4}$。
+
+\section{分割区域数}
+\begin{definition}
+    若一组直线中任意一对直线不平行、任意三个不共点，则称这组直线\newnoun{在常态下}{in general position}。
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+    平面上$n$条在常态下的直线将平面分成$1 + \dfrac{n(n+1)}{2}$个区域。
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    有0条直线时，有1个区域。设$n-1$条直线时，结论成立。那么当有$n$条直线时，新添加的一条直线被分为了$n$段，每一段都将这一段所在的区域分为两半，即区域数增加了$n$个。因此总数为
+    \[1 + \frac{n(n-1)}{2} + n = 1 + \frac{n(n+1)}{2}\eqper\qedhere\]
+\end{proof}
+
+或者还有另一种证法：
+\begin{proof}
+    用矩形把所有的交点都框住，并保证矩形的边不与任何一条直线平行。我们可以把每个区域都与这个区域的最靠下的顶点（或者是矩形的边的某个部分）建立一一映射，即区域的总数为$n+1 + \dbinom{n}{2} = 1 + \dfrac{n(n+1)}{2}$。
+\end{proof}
+
+\section{凸多边形：Happy End Problem}
+试证明：平面上任5个点（任三点不共线）中总能选出四个点组成凸四边形。
+
+\begin{proof}
+    称包含这五个点的最小凸多边形为凸包。
+
+    按凸包的边数分类：
+    \begin{figure}[H]
+        \subfloat[五条边]{
+            \begin{tikzpicture}
+                \node[draw=black, circle] (a) at (18:2) {};
+                \node[draw=black, circle] (b) at (90:2) {};
+                \node[draw=black, circle] (c) at (162:2) {};
+                \node[draw=black, circle] (d) at (234:2) {};
+                \node[draw=black, circle] (e) at (306:2) {};
+                \draw (a)--(b)--(c)--(d)--(e)--(a);
+            \end{tikzpicture}
+        }
+        \hfill
+        \subfloat[四条边]{
+            \begin{tikzpicture}
+                \node[draw=black, circle] (a) at (-1,1) {};
+                \node[draw=black, circle] (b) at (2,1.2) {};
+                \node[draw=black, circle] (c) at (-0.8,-1) {};
+                \node[draw=black, circle] (d) at (1, -0.8) {};
+                \node[draw=black, circle] at (0,0) {};
+                \draw (a)--(b)--(d)--(c)--(a);
+            \end{tikzpicture}
+        }
+        \hfill
+        \subfloat[三条边]{
+            \begin{tikzpicture}
+                \node[draw=black, circle] (a) at (-1.5,-1) {};
+                \node[draw=black, circle] (b) at (1.5,-1) {};
+                \node[draw=black, circle] (c) at (0,2) {};
+                \draw (a)--(b)--(c)--(a);
+                \node[draw=black, circle] (d) at (-0.4,0.3) {};
+                \node[draw=black, circle] (e) at (0.5, 0) {};
+                \draw (d)--(e);
+                \draw[blue!30] (a)--(d);
+                \draw[blue!30] (b)--(e);
+            \end{tikzpicture}
+        }
+    \end{figure}
+    前两种情况显然。对第三种情况，根据鸽巢原理，一定有两个在边界上的点在内部点相连得到的直线的同一侧。将这四个点连接起来就能得到一个凸四边形。
+\end{proof}
+
+推广：最多在平面上找多少个点，使得其中找不到凸$n$边形？
+
+这个问题至今没有解决，猜想为$2^{n-2}$个。

12EulersFormula.tex

@@ -0,0 +1,115 @@
+\chapter{Euler's Formula}
+\section{平面图}
+\begin{definition}
+    如果图$G = (V, E)$的所有顶点和边可以在一个平面上图示出来，而使各边仅在顶点处相交，则图$G$称为平面图，它的平面图示称为图$G$的\newnoun{平图}{planar graph}；否则称$G$为非平面图。
+\end{definition}
+
+需要注意的是，有些图形从表面上看有几条边是相交的，但是不能就此肯定它不是平面图，下面这个图就是一个例子：
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \subfloat[最初的图形]{
+        \begin{tikzpicture}
+            \node[draw=black, circle] (a) at (0,0) {};
+            \node[draw=black, circle] (b) at (3,0) {};
+            \node[draw=black, circle] (c) at (3,2) {};
+            \node[draw=black, circle] (d) at (0,2) {};
+            \node[draw=black, circle] (e) at (1.5,3) {};
+            \draw (b)--(a)--(d)--(c)--(b)--(e)--(a)--(c)--(e)--(d);
+            \draw[opacity=0] (a).. controls (4,-1) ..(c);
+        \end{tikzpicture}
+    }
+    \hspace{2cm}
+    \subfloat[调整边的画法后的图形]{
+        \begin{tikzpicture}
+            \node[draw=black, circle] (a) at (0,0) {};
+            \node[draw=black, circle] (b) at (3,0) {};
+            \node[draw=black, circle] (c) at (3,2) {};
+            \node[draw=black, circle] (d) at (0,2) {};
+            \node[draw=black, circle] (e) at (1.5,3) {};
+            \draw (b)--(a)--(d).. controls (2,4.5) ..(c)--(b)--(e)--(a).. controls (4,-1) ..(c)--(e)--(d);
+        \end{tikzpicture}
+    }
+\end{figure}
+
+\section{面和边界}
+\begin{definition}
+    设$G$是一连通平面，由图中的边所包围的区域，在区域内既不包含图的顶点，也不包含图的边，这样的区域称为$G$的一个\newnoun{面}{face}，有界的区域称为有界面，无界的区域称为无界面。
+
+    包围一个面的的诸边所构成的回路称为这个面的边界。面$F$的边界的长度称为该面的度数，记为$d(F)$。
+\end{definition}
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \node[draw=black, circle] (a) at (-3,0) {};
+        \node[draw=black, circle] (b) at (0,0) {};
+        \node[draw=black, circle] (c) at (1,2) {};
+        \node[draw=black, circle] (d) at (1,-2) {};
+        \node[draw=black, circle] (e) at (5,0) {};
+        \node[draw=black, circle] (f) at (2,0) {};
+        \draw (f)--(e)--(c)--(d)--(b)--(c);
+        \draw (b)--(a).. controls (1,4).. (e) .. controls (3.5,-1.5).. (d) .. controls (-1.5, -1.5) .. (a);
+        \node at (-3.5,0) {$A$};
+        \node at (-0.3, 0.3) {$B$};
+        \node at (1.3,2.3) {$C$};
+        \node at (1, -2.5) {$D$};
+        \node at (5.5,0) {$E$};
+        \node at (2, 0.5) {$F$};
+        \node at (-0.7,-0.7) {$r_1$};
+        \node at (0.5,0) {$r_2$};
+        \node at (1.5, 1) {$r_3$};
+        \node at (0,1) {$r_4$};
+        \node at (4,2) {$r_5$};
+    \end{tikzpicture}
+\end{figure}
+
+在上图中，$d(r_1) = 3, d(r_2) = 2, d(r_3) = 5, d(r_4) = 4, d(r_5) = 3$。
+
+\begin{theorem}
+    有限平图面的度数之和为其边数的两倍：
+    \[\sum d(f) = 2 \vert E \vert\eqper\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    任意一条边只可能是下面两种情况中的一种：
+    \begin{enumerate}
+        \item 它是两个面的共同边，在两个面的度中分别被计算了一遍；
+        \item 它是一个面边界的重复，在这个面的度中被计算了两遍。\qedhere
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\section{欧拉公式}
+\begin{theorem}[Eular's Formula]
+    设$G$为一连通平图，$v$为其顶点数，$e$为其边数，$f$为其面数，那么有
+    \[v - e + f = 2\eqper\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    对面的数量进行归纳。
+
+    若$f = 1$，则$G$为一棵树，且$e = v - 1, f = 1$，因此$v - e + f = v - v + 1 + 1 = 2$成立。
+
+    设对于面数小于$n$的所有连通平图定理成立。那么对于面数为$n$的连通平图$G$，任选$G$的一条非桥的边$a$，那么$G-a$是连通平图，且$f(G-a) = n - 1$。由归纳假设有$v(G-a) - e(G-a) + f(G-a) = 2$，同时$v(G-a) = v(G), e(G-a) = e(G) - 1, f(G-a) = f(G) - 1$，因此$v(G) - e(G) + f(G) = 2$。
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    设$G$为一简单连通平图，其点数$v \geq 3$，其边数为$e$，那么$e \leq 3v - 6$。
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    设$G$的边数为$f$，那么每一个面的度数都不小于3；同时各面的度数和为$2e$，这意味着
+    \[3f \leq \sum d(F) = 2e, f \leq \frac{2}{3}e\]
+    代入Eular's Formula，
+    \[2 = v - e + f \leq v - e + \frac{2}{3}e\]
+    整理可得$e \leq 3v - 6$。
+\end{proof}
+
+这个定理不是充分的，满足此条件的图有可能不是平图。
+
+上面的定理利用了``每个面的度都不小于3''这一事实。如果有图的面度都不小于$k$呢？
+\begin{corollary}
+    对每个面的度至少为$k$的连通平图，有
+    \[e \leq \frac{k(v-2)}{k-2}\eqper\]
+\end{corollary}
+
+证明与前面的定理是类似的。

离散数学.tex

@@ -31,7 +31,7 @@
 \newtheorem{axiom}{公理}[section]
 \newtheorem{definition}{定义}[section]
 \newtheorem{lemma}{引理}[section]
-\newtheorem{corollary}{推论}[theorem]
+\newtheorem{corollary}{推论}[section]
 \newtheorem*{corollary*}{推论}
 \newtheorem{example}{例}[section]
 \newtheorem{proposition}{命题}[section]
@@ -55,7 +55,7 @@
 \author{}
 \date{}
 % linespread{1.5}
-% \includeonly{10MatchingsInGraphs.tex}
+% \includeonly{12EulersFormula.tex}
 
 \begin{document}
     \maketitle
@@ -76,4 +76,6 @@
     \include{08Trees.tex}
     \include{09FindingTheOptimum.tex}
     \include{10MatchingsInGraphs.tex}
+    \include{11CombinatoricsInGeometry.tex}
+    \include{12EulersFormula.tex}
 \end{document}