diff --git a/01LetsCount.tex b/01LetsCount.tex index eaab20d..fd77f9a 100644 --- a/01LetsCount.tex +++ b/01LetsCount.tex @@ -37,7 +37,7 @@ $$\mbox{则} \ A \in A \Leftrightarrow A \notin A.$$ \item 描述法\\ 利用一项规则（一个公式），描述集合中的元素的共同性质，以便决定某一物体是否属于该集合。 \begin{example} - $C = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 \leqslant x \leqslant 5 \}$，$\mathbb{N} = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n > 0\}$，$\mathbb{Z}_+ = \{n \in \mathbb{Z} \mid n \geqslant 0 \}$ + $C = \{ x \in \realnum \mid 1 \leqslant x \leqslant 5 \}$，$\mathbb{N} = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n > 0\}$，$\mathbb{Z}_+ = \{n \in \mathbb{Z} \mid n \geqslant 0 \}$ \end{example} \item 归纳法\\ 用递归方法定义集合。 @@ -45,7 +45,7 @@ $$\mbox{则} \ A \in A \Leftrightarrow A \notin A.$$ 说明： \begin{enumerate} - \item $C = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 \leqslant x \leqslant 5 \} = \{ y \in \mathbb{R} \mid 1 \leqslant y \leqslant 5 \}$，两种表示方法表示同一个集合。 + \item $C = \{ x \in \realnum \mid 1 \leqslant x \leqslant 5 \} = \{ y \in \realnum \mid 1 \leqslant y \leqslant 5 \}$，两种表示方法表示同一个集合。 \item 集合中的元素是无序的：$\{ a, b, c \} = \{ b, c, a\} = \{ c, a, b\}$ \item 集合中的元素可能也是集合：$A = \{1, 2, \{ 1 \} , \{ 1, 2, 3 \} \}$，$1 \in A$，$\{ 1 \} \in A$。 \end{enumerate} @@ -71,7 +71,7 @@ $$\mbox{则} \ A \in A \Leftrightarrow A \notin A.$$ \end{itemize} 满足这三条性质的关系被称为\textbf{偏序关系}。 -数集：$\varnothing \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}_+ \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$。 +数集：$\varnothing \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}_+ \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \realnum \subset \mathbb{C}$。 \section{特殊的集合：空集} \begin{definition} diff --git a/06IntergersDivisorsAndPrimes.tex b/06IntergersDivisorsAndPrimes.tex index 2f8b43c..2461030 100644 --- a/06IntergersDivisorsAndPrimes.tex +++ b/06IntergersDivisorsAndPrimes.tex @@ -252,7 +252,7 @@ \end{align*} 从最下开始，依次将下式带入上式，最终可以得到$r_n = ma + nb$，其中$m$和$n$都是整数，即$\gcd (a, b)$可由$a$和$b$线性表示。 -\begin{theorem}[线性组合表示定理] +\begin{theorem}[线性组合表示定理]\label{线性组合表示定理} 若任给整数$a, b > 0$，则存在整数$m$和$n$，使得$\gcd(a, b) = ma + nb$。 \end{theorem} @@ -275,4 +275,324 @@ 显然$1 \leq m \leq m'$，利用带余除法可得$m' = mq + r,0 \leq r < m, q > 0$。 由$m' - mq = r$得到$a \mid r, b \mid r$，即$r$是$a$和$b$的公倍数。如果$1 \leq r < m$，则与$m$是$a$和$b$的最小公倍数发生矛盾，因此$r = 0$，即$m' = mq$。 -\end{proof} \ No newline at end of file +\end{proof} + +\section{同余} +\begin{definition} + 给定一正整数$m$，若用$m$去除两个整数$a$和$b$所得余数相同，则称$a$，$b$为对模$m$同余，记作$a \equiv b \pmod{m}$；若余数不同，则称$a$，$b$对模$m$不同余，记作$a \not \equiv b \pmod{m}$。 +\end{definition} + +显然，$a \equiv 0 \pmod{m} \Leftrightarrow m \mid a$。 + +\begin{proposition} + 同余是一种等价关系，它满足如下三条性质： + \begin{enumerate} + \item 自反性：$a \equiv a \pmod{m}$。 + \item 对称性：若$a \equiv b \pmod{m}$，则$b \equiv a \pmod{m}$。 + \item 传递性：若$a \equiv b \pmod{m}$，$b \equiv c \pmod{m}$，则$a \equiv c \pmod{m}$。 + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proposition}[性质1]\label{同余性质1} + $a \equiv b \pmod{m} \Leftrightarrow m \mid (a-b)$。 +\end{proposition} + +\begin{proof} + 设$a \equiv b \pmod{m}$，则 + \[a = mq_1 + r \eqco b = mq_2 + r \eqco 0 \leq r < m\] + 故$a - b = m(q_1 - q_2)$，$m \mid (a-b)$。 + + 反之，设$a = mq_1 + r_1$，$b = mq_2 + r_2$，$0 \leq r_1, r_2 < m$，$m \mid (a-b)$。于是$m \mid m(q_1 - q_2) + (r_1 - r_2)$，因此$m \mid (r_1 - r_2)$。而$\vert r_1 - r_2 \vert < m$，可得$r_1 = r_2$。 +\end{proof} + +\begin{remark} + 由命题\ref{同余性质1}中的性质可知，同余又可定义如下：若$m \mid (a-b)$，则称$a$，$b$对模$m$同余。 +\end{remark} + +\begin{proposition}[性质2]\label{同余性质2} + 若$a \equiv b \pmod{m}$，$c \equiv d \pmod{m}$，则 + \begin{enumerate} + \item $ax + cy \equiv bx + dy \pmod{m}$，其中$x$和$y$为任给整数。 + \item $ac \equiv bd \pmod{m}$。 + \item $a^n = b^n \pmod{m}$，其中$n > 0$。 + \item $f(a) \equiv f(b) \pmod{m}$，其中$f(x)$为任给的一个整系数多项式。 + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item 因为$m \mid (a-b)$，$m \mid (c-d)$故有$m \mid x(a-b) + y(c-d)$，从而$m \mid (ax + cy) - (bx+dy)$。 + \item 由$m \mid (a-b)c + (c-d)b = ac - bd$可得。 + \item 由于$a - b = mq$，$q \in \naturalnum$，因此 + \begin{align*} + a^n & = (b + mq)^n\\ + & = b^n + \binom{n}{1}b^{n-1}(mq)^1 + \cdots + \binom{n}{n-1}b^1(mq)^{n-1} + (mq)^n\\ + & = b^n + mq^\prime, q \in \naturalnum + \end{align*} + 从而$a^n \equiv b^n \pmod{m}$。 + \item 由1，3可证。 + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{proposition}[性质3] + 正整数$a$能被9整除$\Leftrightarrow$9整除$a$的十进制表示下的各位数字之和。 +\end{proposition} + +\begin{proof} + 设$a = \sum \limits_{i=0}^n a_i10^i$，应用命题\ref{同余性质2}中的4，令 + \[f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i\] + 由$10 \equiv 1 \pmod{9}$，有 + \begin{align*} + f(10) & \equiv f(1) \pmod{9}\\ + a & \equiv \sum_{i=0}^n a_i \pmod{9} + \end{align*} +\end{proof} + +同理，正整数$a$能被3整除$\Leftrightarrow$3整除$a$的十进制表示下的个数字之和。 + +\begin{theorem}[弃九法] + 若$ab = c$，其中$a > 0$，$b > 0$并且 + \[a = \sum_{i=0}^m a_i 10^i \eqco b = \sum_{j=0}^n b_j 10^j \eqco c = \sum_{k=0}^l c_k 10^k\] + 则 + \[\left(\sum_{i=0}^m a_i\right)\left(\sum_{j=0}^n b_j\right) \equiv \sum_{k=0}^l c_k \pmod{9} \eqper\] +\end{theorem} + +可见，若 +\[\left(\sum_{i=0}^m a_i\right)\left(\sum_{j=0}^n b_j\right) \not \equiv \sum_{k=0}^l c_k \pmod{9}\] +则可以断言乘积$ab \neq c$。 + +\begin{proposition}[性质4] + 若$ac \equiv bc \pmod{m}$，$\gcd(c, m) = d$，则$a \equiv b \pmod{\frac{m}{d}}$。 +\end{proposition} + +\begin{proof} + 由$m \mid c(a-b)$，得到$\dfrac{m}{d} \mid \dfrac{(a-b)c}{d}$。又因为$\gcd(c, m) = d$，那么$\gcd\left(\dfrac{c}{d}, \dfrac{m}{d}\right) = 1$。应用算数基本定理，$\dfrac{m}{d}$所有的因子都只能在$a-b$中，因此$\dfrac{m}{d} \mid (a-b)$。即$a \equiv b \pmod{\frac{m}{d}}$。 +\end{proof} + +\begin{corollary} + 若$ac \equiv bc \pmod{m}$，$\gcd(c,m) = 1$，则$a \equiv b \pmod{m}$。 +\end{corollary} + +\begin{proposition}[性质5] + \begin{enumerate} + \item 若$a \equiv b \pmod{m}$且$d \mid m$，则$a \equiv b \pmod{d}$。 + \item 若$a \equiv b \pmod{m}$则$\gcd(a, m) = \gcd(b, m)$。 + \item $a \equiv b \pmod{m_i}, 1 \leq i \leq n \Leftrightarrow a \equiv b \pmod{\lcm(m_1, m_2, \cdots, m_n)}$。 + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\section{同余方程} +\subsection{同余系} +将``星期几''看做一个新的数域： +\begin{table}[H] + \begin{center} + \begin{tabular}{ |c|c|c|c|c|c|c|c| } + \hline + 星期 & 日（Sun） & 一（Mon） & 二（Tue） & 三（Wed） & 四（Thur） & 五（Fri） & 六（Sat）\\ + \hline + mod 7 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ + \hline + \end{tabular} + \end{center} +\end{table} + +那么我们可以定义这个数域中的加法、减法、乘法： + +\begin{align*} + \mathrm{Wed} + \mathrm{Thur} & = \mathrm{Sat}\\ + \mathrm{Thur}^2 & = \mathrm{Tue}\\ + \mathrm{Mon} - \mathrm{Sat} & = \mathrm{Tue} +\end{align*} + +Sun类似为0元：$\mathrm{Wed} + \mathrm{Sun} = \mathrm{Wed}$，$\mathrm{Wed} \times \mathrm{Sun} = \mathrm{Sun}$。 + +Mon为单位元：$\mathrm{Wed} \times \mathrm{Mon} = \mathrm{Wed}$。 + +\begin{proposition} + 对于不同的$X$，$X \times \mathrm{Wed}$都不同。 +\end{proposition} + +\begin{proof} + \begin{align*} + X \times \mathrm{Wed} & = Y \times \mathrm{Wed}\\ + (X - Y) \mathrm{Wed} & = \mathrm{Sun}\\ + X - Y & = \mathrm{Sun}\\ + X & = Y + \mathrm{Sun} = Y + \end{align*} +\end{proof} + +\begin{remark} + 与$(X-Y) \times 3 \equiv 0 \pmod{7}$类比。 +\end{remark} + +如此这样一个可做四则运算的集合称为域；7这样的素数同余系称为素数域，它是一个7元域。 + +考虑2的同余系，它是一个二元域： + +\begin{multicols}{2} + \begin{table}[H] + \begin{center} + \begin{tabular}{c|cc} + + & $\overline{0}$ & $\overline{1}$\\ + \hline + $\overline{0}$ & $\overline{0}$ & $\overline{1}$\\ + $\overline{1}$ & $\overline{1}$ & $\overline{0}$ + \end{tabular} + \end{center} + \end{table} + + \begin{table}[H] + \begin{center} + \begin{tabular}{c|cc} + $\cdot$ & $\overline{0}$ & $\overline{1}$\\ + \hline + $\overline{0}$ & $\overline{0}$ & $\overline{0}$\\ + $\overline{1}$ & $\overline{0}$ & $\overline{1}$ + \end{tabular} + \end{center} + \end{table} +\end{multicols} + +在上面的表示中，上加横线是为了声明0，1不是数字而是二元域中的两个元素。为了简便，可以记为 + +\begin{multicols}{2} + \begin{table}[H] + \begin{center} + \begin{tabular}{c|cc} + \textcircled{+} & 0 & 1\\ + \hline + 0 & 0 & 0\\ + 1 & 1 & 0 + \end{tabular} + \end{center} + \end{table} + + \begin{table}[H] + \begin{center} + \begin{tabular}{c|cc} + $\cdot$ & 0 & 1\\ + \hline + 0 & 0 & 0\\ + 1 & 0 & 1 + \end{tabular} + \end{center} + \end{table} +\end{multicols} + +现在我们考虑在七元域中的除法。对于$2\div 3 \pmod{7}$，我们有 +\[2/3 \pmod{7} = 2 \times(1/3\pmod{7})\] +于是我们需要找到$X$满足 +\[1/3 \equiv X \pmod{7}\] +考虑到除法是乘法的逆运算，上面的除法式子代表着 +\[\mathrm{Mon} \div \mathrm{Wed} = X\] +那么对应的乘法运算应该是 +\[\mathrm{Wed} \times X = \mathrm{Mon}\] +这指示我们去寻找一个$X$满足 +\[3X \equiv 1 \pmod{7}\] + +我们注意到$\gcd(3,7) = 1$。那么应用定理\ref{线性组合表示定理}（线性组合表示定理），一定存在$u, v \in \integer$满足 +\[3u + 7v = 1\] +在等式的两边都取7的模，有 +\[3u \equiv 1 \pmod{7}\] +那么$u$就是符合我们要求的$X$。我们只要再利用辗转相除法中的每一步，将$u$找出来即可。 + +在这里，因为7比较小，我们可以比较容易地看出 +\[7 = 2 \times 3 + 1\] +那么$u = -2$，有 +\begin{align*} + 1/3 & \equiv -2 \pmod{7}\\ + 2/3 & \equiv -4 \equiv 3 \pmod{7} +\end{align*} + +因此$2/3 \pmod{7} = 3$。 + +\subsection{线性方程组} +\begin{example} + \begin{equation*} + \begin{cases} + 12x + 31y \equiv 2 \pmod{127}\\ + 2x + 89y \equiv 23 \pmod{127} + \end{cases} + \end{equation*} +\end{example} + +\begin{proof}[解] + \begin{align*} + (6 \times 89 - 31) y & \equiv 6 \times 23 - 2 \pmod{127}\\ + 503y & \equiv 135 \pmod{127}\\ + -5y & \equiv -118 \pmod{127}\\ + 5y & \equiv 118 \pmod{127} + \end{align*} + 先考虑计算$1/5\pmod{127}$。 + \[\gcd(127, 5) = \gcd(2, 5) = 1\] + 那么 + \[51 \times 5 - 2 \times 127 = 1\] + 那么$5 \times 51 \equiv 1 \pmod{127}$。于是有 + \[y \equiv 51 \times 118 \equiv 49 \pmod{127}\] + 通过类似的计算可以得到$x \equiv 117 \pmod{127}$。 + 因此方程的解为 + \begin{equation*} + \begin{cases} + x = 117\\ + y = 49 + \end{cases} + \end{equation*} +\end{proof} + +\subsection{高次方程} +\begin{example} + 解方程： + \[x^2 - 3x + 2 \equiv 0 \pmod{53}\eqper\] +\end{example} + +\begin{proof}[解] + 因式分解，有 + \[(x-1)(x-2) \equiv 0 \pmod{53}\] + 因为53是质数，所以等式左边必须是53的倍数。那么解为$x \equiv 0 \pmod{53}$或$x \equiv 2 \pmod{53}$。 +\end{proof} + +上面的方程解法要求方程必须在一个素域里才能施行。那么对于$x^2 + 134517x + 105536 \equiv 0 \pmod{234527}$，如何判断234527是否是质数？下面的定理从理论上给出了如何判断一个数是否是质数的方法。 + +\begin{theorem}[Wilson's Theorem] + $p$是质数$\Leftrightarrow$ $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + 充分性：令$p = ab, a \neq p$。那么$p \mid (p-1)! + 1$。而$a \mid p$，因此$a \mid (p-1)! + 1$。同时$a \leq q-1$，所以$a \mid (p-1)!$，因此$a \mid (p-1)! + 1 - (p-1)!$，即$a \mid 1$。那么$p$只有1和$p$两个因数，即$p$为素数。 + + 必要性：设$p$为素数，当$p = 2, 3$时，结论显然成立。设$p > 3$是一奇素数，$S:=\{2, 3, \cdots, p-2\}$，那么$\forall a \in S, \exists!b \in S$，满足$ab \equiv 1 \pmod{p}$（可以由刚刚辗转相除的方法得到$1/a \pmod{p}$）。将每一对$a,b$都找出来，可以将$S$分为$\dfrac{p-3}{2}$对，其中的每一对都满足$ab \equiv 1 \pmod{p}$。因此$2 \cdot 3 \cdots (p-2) \equiv 1 \pmod{p}$。同时有$p-1 \equiv -1 \pmod{p}$，结合可得$(p-1)! \equiv -2 \pmod{p}$。 +\end{proof} + +\section{数论与组合数学} +\begin{example} + 从整数$1, 2, \cdots, 100$中选择51个数，证明在所选的数中间必然存在两个整数，其中之一可以被另一个整除。 +\end{example} + +\begin{proof} + 对于任何一个整数$x$，总是可以把$x$写成$x = 2^n \cdot a$的形式，其中$a$是奇数，$n \geq 0$。 + + 1到100之间共有50个奇数，由所选择的51个奇数利用上述方式可以得到51个奇数$a$，其中必然有两个是相同的。设这两个数位$x = 2^r \cdot a$，$y = 2^s \cdot a$，那么如果$r \leq s$，那么$x \mid y$；如果$r > s$，那么$y \mid x$。 +\end{proof} + +\begin{theorem}[Erdös Theorem] + 从$1, 2, \cdots, 2n$中任取$n+1$个数，其中必然存在两个数，其中一个整除另外一个。 +\end{theorem} + +\subsection{Euler函数} +\begin{definition} + Euler函数$\phi(n)$表示不大于$n$且与$n$互素的正整数的个数。 +\end{definition} + +可利用容斥原理给出$\phi(n)$的计算公式。设$n$的质因数分解为 +\[n = p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\] +令$A_i$表示$\{1, 2, \cdots, n\}$中能被$p_i$整除的数的集合，$i = 1, 2, \cdots, k$。那么 +\[\lvert A_i \rvert = \dfrac{n}{p_i} \quad (i = 1, 2, \cdots, k)\eqper\] + +\begin{align*} + \lvert A_i \cap A_j \rvert & = \frac{n}{p_ip_j},\ 1 \leq i < j \leq k\\ + \lvert A_h \cap A_i \cap A_j \rvert & = \frac{n}{p_hp_ip_j},\ 1 \leq h < i < j \leq k\\ + \phi(n) = \lvert \setcom{A_1} \cap \setcom{A_2} \cap \cdots \cap \setcom{A_k} & = n - \left(\frac{n}{p_1} + \frac{n}{p_2} + \cdots + \frac{n}{p_k}\right)\\ + & \quad + \left(\frac{n}{p_1p_2} + \cdots + \frac{n}{p_{k-1}p_k} + \frac{n}{p_kp_1}\right)\\ + & \quad - \cdots \pm \frac{n}{p_1p_2\cdots p_k}\\ + & = n\left(1 - \frac{1}{p_1}\right)\left(1 - \frac{1}{p_2}\right)\cdots \left(1 - \frac{1}{p_k}\right) +\end{align*} \ No newline at end of file diff --git a/离散数学.tex b/离散数学.tex index 52fb5a5..f9f0bf9 100644 --- a/离散数学.tex +++ b/离散数学.tex @@ -11,6 +11,7 @@ \usepackage{float} \usepackage{emptypage} \usepackage{multicol} +\usepackage{float} \geometry{a4paper,scale=0.8} @@ -42,6 +43,9 @@ \newcommand{\eqper}{\text{。}} % Chinese period in equation \newcommand{\toinf}{\lim \limits_{n \to \infty}} \newcommand{\setcom}[1]{{#1}^\mathrm{C}} % Complement Set +\newcommand{\realnum}{\mathbb{R}} +\newcommand{\integer}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\naturalnum}{\mathbb{N}} \title{{\Huge{\textbf{离散数学}}}} \author{}