添加Erdös定理的证明。

02CombinatorialTools.tex

@@ -178,7 +178,7 @@ $n\ln{n}$即为$\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$取对数，$\sqrt{2 \pi n}$则是
 \end{proof}
 
 \begin{corollary}
-    如果$m_1 = m_2 = \cdots = m_n = r$，若将$n(r-1)+1$个球放入$n$个盒子中，则至少有一个盒子含有不少域$r$个球。
+    如果$m_1 = m_2 = \cdots = m_n = r$，若将$n(r-1)+1$个球放入$n$个盒子中，则至少有一个盒子含有不少于$r$个球。
 \end{corollary}
 
 \begin{corollary}
@@ -193,6 +193,18 @@ $n\ln{n}$即为$\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$取对数，$\sqrt{2 \pi n}$则是
     由$n^2 + 1$个不同实数构成的数列中，存在一个至少有$n+1$项的单调递增子数列或单调递减子数列。
 \end{theorem}
 
+\begin{proof}
+    设原数列为$a_1, a_2, \cdots , a_n$。
+
+    令$m_i$表示以$a_i$为第一项的最长递增子列的长度。若有某个$m_i \geq n+1$，则定理得证；
+
+    若所有的$m_i$都小于$n+1$，那么所有的$n^2 + 1$个$m_i$必然都在$1$到$n$之间，这相当于把$n^2 + 1$个球放进$n$个盒子里，于是一定有至少有$n+1$个$m_i$相等。我们不妨设$m_{i_1} = m_{i_2} = \cdots = m_{i_{n+1}} = m$，且$1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_{n+1} \leq n^2 + 1$。
+
+    注意到，对任意的$i_j, i_k(j < k)$，当$m_{i_j} = m_{i_k}$时，有$a_{i_j} > a_{i_k}$。这是因为假若$a_{i_j} < a_{i_k}$（题目已申明$\{a_n\}$中数字各不相同，因此两个项不可能相等），那么我们可以将以$a_{i_k}$为第一项的、长度为$m$的递增子数列放在$a_{i_j}$后面得到一个长度为$m+1$的递增子数列，那么$m_{i_j}$就不是$m_{i_k}$而是$m_{i_k}+1$了，这与$m_{i_j} = m_{i_k}$矛盾。因此，$a_{i_1} > a_{i_2} > \cdots > a_{i_{n+1}}$。
+    
+    因此我们可以找到如下长度为$n+1$的递减子数列：$a_{i_1} , a_{i_2} , \cdots , a_{i_{n+1}}$。
+\end{proof}
+
 \section{The Twin Paradox生日悖论}
 随机找$n(n < 365)$名学生，问有多大可能两人在同一天过生日？
 
@@ -210,5 +222,5 @@ $n\ln{n}$即为$\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$取对数，$\sqrt{2 \pi n}$则是
         \end{aligned}
     \end{equation*}
 
-    当$n=22$时，$P(n)$就已经达到了47.57\%；当当$n=70$时，$P(n)$则为99.92\%。
+    当$n=22$时，$P(n)$就已经达到了47.57\%；当$n=70$时，$P(n)$则为99.92\%。
 \end{proof}