第12课。

10MatchingsInGraphs.tex

@@ -238,7 +238,7 @@
 \end{enumerate}
 
 \subsection{方法正确性的证明}
-\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
+\begin{wrapfigure}[15]{r}{7cm}
     \begin{center}
         \begin{tikzpicture}[scale=0.85]
             \draw node[circle, draw = black] (a1) at (0,0) {};
@@ -285,6 +285,7 @@
             \node at(3.5,2) {$r$};
         \end{tikzpicture}
     \end{center}
+    \caption{寻找可扩路的过程中可能遇到的几种情况}
 \end{wrapfigure}
 设在贪心配对之后，$U$为未配对的$A$中的点的集合，$W$为未配对的$B$中的点的集合。
 
@@ -293,6 +294,7 @@
 先令$S = U$。之后每次新找到一个可以由几乎可扩路达到的$A$中的点，都把这个点加入$S$中。设$T$是$B$中与$S$中的点配对的点。那么时刻有$\vert S \vert = \vert T \vert + \vert U \vert$。
 
 设$M$是已经配对的点和将它们配对的边组成的集合。我们不断重复下面的操作：如果我们能在$S$中找到$s \in S$，满足$\exists r \in B \setminus T, sr \in E \setminus M$，即有一个从$S$中连接至$T$之外的点的边，就考虑：设$Q$是从$u \in U$开始，$s$结束的几乎可扩路（图中红色）。我们找到的$sr$有两种可能的情况：
+
 \begin{enumerate}
     \item $r$是未配对的（$r \in W$，图中的绿色线），那么$Q-sr$组成了一个可扩路，将红色部分加入、黑色部分删去，就增加了一对配对的点，即我们成功地将$s, r$扩充进了$M$；
     \item $r$是已经配对的（图中的蓝色线），那么我们可以设它与$q$配对，那么$Q-sr-rq$形成了一个新的几乎可扩路，这意味着$q$可以被添加进$S$，$r$应该被添加到$T$中。