第九周。

08Trees.tex

@@ -249,7 +249,7 @@
     \[\frac{n^{n-2}}{n} \leq T_n \leq \binom{2n-4}{n-2}\eqper\]
 \end{theorem}
 
-为了证明这个定理，我们要先引入Planner code：
+为了证明这个定理，我们要先引入Planar code：
 
 首先，我们先将无编号树``展平''，即使它的边互相不交叉。之后，我们从它的某个顶点旁边开始，使自己的右手边始终挨着树走一圈。那么，如果我们将我们第一次经过某个边记作1，第二次经过它记作0，那么我们就会得到一个序列1111100100011011010000。
 \begin{figure}[H]
@@ -296,4 +296,8 @@
     \end{tikzpicture}
 \end{figure}
 
-Planner code 的第一位一定是1，最后一位一定是0，剩余$2n-4$位中有$n-2$（一半）是1，共有$\dbinom{2n-4}{n-2}$种，而有的Planner code不合法（例如11000110前五位有两个1却有三个0），因此$T_n < \dbinom{2n-4}{n-2}$。
+\begin{proof}
+    Planar code 的第一位一定是1，最后一位一定是0，剩余$2n-4$位中有$n-2$（一半）是1，共有$\dbinom{2n-4}{n-2}$种，而有的Planar code不合法（例如11000110前五位有两个1却有三个0），因此$T_n < \dbinom{2n-4}{n-2}$，即右侧的不等式成立；
+
+    其次，对于一个无编号树，我们最多有$n!$种方法给他的不同节点编号成为不同的有编号树，因此无编号树的数量多于$\dfrac{n^{n-2}}{n!}$种，即$\dfrac{n^{n-2}}{n!} \leq T_n$。
+\end{proof}