From f28fbbd5e7ba5586b24643398a5a4cbf6939ba86 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unlockable Date: Wed, 4 Jan 2023 12:36:04 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E6=94=B9=E9=94=99=E3=80=82?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 03Binome.tex | 4 ++-- 06IntergersDivisorsAndPrimes.tex | 7 ++++--- 07Graphs.tex | 16 ++++++++-------- 08Trees.tex | 4 ++-- 12EulersFormula.tex | 4 ++-- 13ColoringMapsAndGraphs.tex | 4 ++-- 离散数学.tex | 2 +- 7 files changed, 21 insertions(+), 20 deletions(-) diff --git a/03Binome.tex b/03Binome.tex index c5df7a2..540583a 100644 --- a/03Binome.tex +++ b/03Binome.tex @@ -108,13 +108,13 @@ \item $\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{1} + \dots + \dbinom{n}{n} = 2^n$； \item $\dbinom{n}{0} - \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{2} - \dots + (-1)^n \dbinom{n}{n} = 0$； \item $\dbinom{n+m}{k} = \dbinom{n}{0}\dbinom{m}{k} + \dbinom{n}{1}\dbinom{m}{k-1} + \dots + \dbinom{n}{k}\dbinom{m}{0}, k \leq \min (m,n)$； - \item $\dbinom{m+n}{m} = \dbinom{m}{0} \dbinom{n}{0} + \dbinom{m}{1} \dbinom{n}{1} + \dots + \binom{m}{m} \dbinom{n}{m}, m \leq n$； + \item $\dbinom{m+n}{m} = \dbinom{m}{0} \dbinom{n}{0} + \dbinom{m}{1} \dbinom{n}{1} + \dots + \dbinom{m}{m} \dbinom{n}{m}, m \leq n$； \item $\dbinom{n+k+1}{k} = \dbinom{n+k}{k} + \dbinom{n+k-1}{k-1} + \dbinom{n+k-2}{k-2} + \dots + \dbinom{n+1}{1} + \dbinom{n}{0}$； \item $\dbinom{n}{k}\dbinom{k}{r} = \dbinom{n}{r}\dbinom{n-r}{k-r}, k \geq r$。 \end{enumerate} \section{鸟瞰贾宪三角} -贾宪三角中的每一行都是从1开始单调增加到终点，然后单调减少到一。 +贾宪三角中的每一行都是从1开始单调增加到中点，然后单调减少到一。 问题：贾宪三角的第$n$行的最大值多大？ diff --git a/06IntergersDivisorsAndPrimes.tex b/06IntergersDivisorsAndPrimes.tex index 924a8fd..206b30c 100644 --- a/06IntergersDivisorsAndPrimes.tex +++ b/06IntergersDivisorsAndPrimes.tex @@ -48,9 +48,9 @@ 由定义\ref{Definition of prime and composite}可以知道，正整数集合可分为三类：素数、合数和1。素数通常用$p$或$p_1, p_2, \dots$来表示。 \section{整数分解} -整数分解唯一性定理也称为算数基本定理。 +整数分解唯一性定理也称为算术基本定理。 -\begin{theorem}[代数基本定理] +\begin{theorem}[算术基本定理] 每个大于1的正整数均可分解成有限个素数之积，并且若不计素因数的次序，其分解是唯一的。 \end{theorem} @@ -480,7 +480,7 @@ Mon为单位元：$\mathrm{Wed} \times \mathrm{Mon} = \mathrm{Wed}$。 \end{multicols} 现在我们考虑在七元域中的除法。对于$2\div 3 \pmod{7}$，我们有 -\[2/3 \pmod{7} = 2 \times(1/3\pmod{7})\] +\[2/3 \pmod{7} = 2 \times 1/3\pmod{7}\] 于是我们需要找到$X$满足 \[1/3 \equiv X \pmod{7}\] 考虑到除法是乘法的逆运算，上面的除法式子代表着 @@ -589,6 +589,7 @@ Mon为单位元：$\mathrm{Wed} \times \mathrm{Mon} = \mathrm{Wed}$。 \[\lvert A_i \rvert = \dfrac{n}{p_i} \quad (i = 1, 2, \dots, k)\eqper\] \begin{align*} + \lvert A_i \rvert & = \dfrac{n}{p_i} \quad (i = 1, 2, \dots, k)\\ \lvert A_i \cap A_j \rvert & = \frac{n}{p_ip_j},\ 1 \leq i < j \leq k\\ \lvert A_h \cap A_i \cap A_j \rvert & = \frac{n}{p_hp_ip_j},\ 1 \leq h < i < j \leq k\\ \phi(n) = \lvert \setcom{A_1} \cap \setcom{A_2} \cap \dots \cap \setcom{A_k}\rvert & = n - \left(\frac{n}{p_1} + \frac{n}{p_2} + \dots + \frac{n}{p_k}\right)\\ diff --git a/07Graphs.tex b/07Graphs.tex index d950452..6f7fde4 100644 --- a/07Graphs.tex +++ b/07Graphs.tex @@ -197,7 +197,7 @@ $\left[a_{v,e}\right]_{\lvert V \rvert \times \lvert E \rvert}$称为图的关 \section{欧拉迹与哈密顿圈} \subsection{欧拉回路} \begin{definition} - 如果无鼓励顶点图$G$上有一条经过$G$的所有边一次且仅一次的迹，则称该迹为图$G$的\newnoun{Eular迹}{Eularian walk}。 + 如果无孤立顶点图$G$上有一条经过$G$的所有边一次且仅一次的迹，则称该迹为图$G$的\newnoun{Euler迹}{Eulerian walk}。 如果图$G$上有一条经过$G$的所有边一次且仅一次的回路，则称改回路为图$G$的Euler回路。 @@ -209,28 +209,28 @@ $\left[a_{v,e}\right]_{\lvert V \rvert \times \lvert E \rvert}$称为图的关 \end{theorem} \begin{corollary} - 图$G$是Eular图等价于图$G$连通且所有顶点的度数皆为偶数。 + 图$G$是Euler图等价于图$G$连通且所有顶点的度数皆为偶数。 \end{corollary} \begin{proof} - 先证必要性：已知$G$有Eular迹，证明$G$连通且有零个或者两个奇数度的顶点。 + 先证必要性：已知$G$有Euler迹，证明$G$连通且有零个或者两个奇数度的顶点。 - 设$G$的Eular迹是点边序列$v_0 e_1 v_1 e_2 \dots e_k v_k$，其中的顶点可能重复但是边不重复。因为Eular迹经过了所有边，因此它一定经过了所有顶点，从而图$G$是连通的。 + 设$G$的Euler迹是点边序列$v_0 e_1 v_1 e_2 \dots e_k v_k$，其中的顶点可能重复但是边不重复。因为Euler迹经过了所有边，因此它一定经过了所有顶点，从而图$G$是连通的。 - 对于任意一个非端点的$v_i$，在Eular迹中每当$v_i$出现一次，必关联两条边（``有进必有出''），因此不论$v_i$重复出现多少次，$d(v_i)$一定是偶数。 + 对于任意一个非端点的$v_i$，在Euler迹中每当$v_i$出现一次，必关联两条边（``有进必有出''），因此不论$v_i$重复出现多少次，$d(v_i)$一定是偶数。 对于一个端点，若$v_0 = v_k$，则$d(v_0)$一定是偶数，即$G$中无奇数度的顶点。 若$v_0 \neq v_k$，那么$d(v_0), d(v_k)$均为奇数，即$G$中有两个奇数项点。 - 再证必要性：已知$G$连通且有零个或者两个奇数度的顶点，证明$G$有Eular迹。直接找出一条欧拉迹（Hierholzer's Algorithm）。 + 再证必要性：已知$G$连通且有零个或者两个奇数度的顶点，证明$G$有Euler迹。直接找出一条欧拉迹（Hierholzer's Algorithm）。 \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})] \item 若有两个奇数度的顶点，则从其中一个顶点开始构造一条迹，即从$v_0$出发经关联边$e_1$进入$v_1$，若$d(v_1)$为偶数，则必可由$v_1$再经关联边$e_2$进入$v_2$，如此下去，保证每个边最多只被取一次，由于$G$是连通的，因此必可到达另一奇数度顶点停下，得到一条迹$L_1$：$v_0 e_1 v_1 e_2 \dots e_k v_k$。 若$G$中没有奇数度的顶点，则从任一顶点$v_0$出发，用上述方法一定可以回到顶点$v_0$，得到一条闭迹。 - \item 若$L_1$通过了$G$的所有边，则$L_1$就是一条Eular迹。 + \item 若$L_1$通过了$G$的所有边，则$L_1$就是一条Euler迹。 \item 否则$G$中去掉$L_1$的边后得到的子图$G^\prime$中每个顶点的度都为偶数，因为原来的图$G$是连通的，故$L_1$与$G^\prime$至少有一个顶点$v_i$重合，在$G^\prime$中以$v_i$为起点和终点重复（1）中的方法，得到闭迹$L_2$。 - \item 将$L_1$与$L_2$组合，若恰好为$G$，则找到了Eular迹；否则重复（3），可得到闭迹$L_3$，依此类推可以得到一条欧拉迹。\qedhere + \item 将$L_1$与$L_2$组合，若恰好为$G$，则找到了Euler迹；否则重复（3），可得到闭迹$L_3$，依此类推可以得到一条欧拉迹。\qedhere \end{enumerate} \end{proof} diff --git a/08Trees.tex b/08Trees.tex index 1e92bf8..2c8f29a 100644 --- a/08Trees.tex +++ b/08Trees.tex @@ -23,7 +23,7 @@ \end{theorem} \begin{definition} - 对$G$中的一条边$e$，若$c(G-e) > c(G)$则称$e$为是图$G$的一个\newnoun{桥}{bridge}。 + 对$G$中的一条边$e$，若$c(G-e) > c(G)$则称$e$为图$G$的一个\newnoun{桥}{bridge}。 \end{definition} \begin{theorem} @@ -243,7 +243,7 @@ 在这里，我们可以看到$n-2$位的$n$元Prüfer code与$n$个顶点的树一一对应。由此，我们可以证明定理\ref{Cayley's Theorem}的正确性，因为Prüfer code 有$n^{n-2}$种。 \section{无编号树的数量} -至今我们还没有办法得知给定端点树的无编号树的数量的具体值。 +至今我们还没有办法得知给定端点数的无编号树的数量的具体值。 \begin{theorem} 无编号$n$顶点树的数量$T_n$满足 \[\frac{n^{n-2}}{n} \leq T_n \leq \binom{2n-4}{n-2}\eqper\] diff --git a/12EulersFormula.tex b/12EulersFormula.tex index c48f642..767e7f7 100644 --- a/12EulersFormula.tex +++ b/12EulersFormula.tex @@ -79,7 +79,7 @@ \end{proof} \section{欧拉公式} -\begin{theorem}[Eular's Formula] +\begin{theorem}[Euler's Formula] 设$G$为一连通平图，$v$为其顶点数，$e$为其边数，$f$为其面数，那么有 \[v - e + f = 2\eqper\] \end{theorem} @@ -99,7 +99,7 @@ \begin{proof} 设$G$的边数为$f$，那么每一个面的度数都不小于3；同时各面的度数和为$2e$，这意味着 \[3f \leq \sum d(F) = 2e, f \leq \frac{2}{3}e\] - 代入Eular's Formula， + 代入Euler's Formula， \[2 = v - e + f \leq v - e + \frac{2}{3}e\] 整理可得$e \leq 3v - 6$。 \end{proof} diff --git a/13ColoringMapsAndGraphs.tex b/13ColoringMapsAndGraphs.tex index a0f1751..e1fbfd7 100644 --- a/13ColoringMapsAndGraphs.tex +++ b/13ColoringMapsAndGraphs.tex @@ -173,9 +173,9 @@ \section{地图染色与四色定理} 将一个地图中相邻的国家染上不同的颜色，至少需要多少种颜色？ -十九世纪中叶，英国人Guthrie提出了用四种颜色即可对地图着色的猜想，1879年Kempe给出这个猜想的第一个``证明''。但到1890年Heawood发现Kempe的证明是错误的，同时他指出Kempe的方法虽然不能证明地图着色用四种颜色就够了，但可证明用物种颜色就够了，即五色定理成立。 +十九世纪中叶，英国人Guthrie提出了用四种颜色即可对地图着色的猜想，1879年Kempe给出这个猜想的第一个``证明''。但到1890年Heawood发现Kempe的证明是错误的，同时他指出Kempe的方法虽然不能证明地图着色用四种颜色就够了，但可证明用五种颜色就够了，即五色定理成立。 -此后四色猜想一直是数学家感兴趣而且能解决的难题。直到1976年，美国数学家Appel和Haken宣布，在Koch的帮助下，他们利用电子计算机证明了四色猜想时成立的。因此现在四色猜想已经改称为``四色定理''了。 +此后四色猜想一直是数学家感兴趣而且能解决的难题。直到1976年，美国数学家Appel和Haken宣布，在Koch的帮助下，他们利用电子计算机证明了四色猜想是成立的。因此现在四色猜想已经改称为``四色定理''了。 \begin{definition} 对具有面$F_1, F_2, \dots, F_n$的平图$G = (V, E, V)$， diff --git a/离散数学.tex b/离散数学.tex index 135a7f4..fcf9106 100644 --- a/离散数学.tex +++ b/离散数学.tex @@ -60,7 +60,7 @@ \author{} \date{} % linespread{1.5} -% \includeonly{14FiniteGeometriesAndLatinSquares.tex} +% \includeonly{09FindingTheOptimum.tex} \begin{document} \maketitle