\chapter{集合}
\section{集合的基本概念}

\begin{definition}
    \label{集合定义}
    {\bf{集合}}是一些确定的、作为整体识别的、互相区别的对象的总体。组成集合的对象称为集合的\newnoun{成员}{member}或\newnoun{元素}{element}。
\end{definition}

一般用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。

\begin{example}
    $A$表示一个集合，$a$表示元素。
\end{example}

然而定义\ref{集合定义}是不严谨的：

$$\mbox{令} \ A = \{a \mid a \notin a \}.$$
$$\mbox{则} \ A \in A \Leftrightarrow A \notin A.$$

若$A \in A$，则由$A$的定义，$A \notin A$；因此$A \in A \Rightarrow A \notin A$.

若$A \notin A$，则由$A$的定义，$A \in A$；因此$A \notin A \Rightarrow A \in A$.

解决方法：不允许$x \in x$。

如果$a$是$A$的元素，记为$a \in A$，读作``$a$属于$A$''``$a$是$A$的元素''``$a$是$A$的成员''``$a$在$A$之中''或``$A$包含$a$''。

空集$\varnothing$和只含有有限多个元素的集合称为\newnoun{有限集}{finite sets}，否则称为\newnoun{无限集}{infinite sets}。有限集合中元素的个数称为集合的\newnoun{基数}{cardinality}。集合$A$的基数表示为$\vert A \vert$。

\section{集合的表示方法}
\begin{enumerate}
    \item 列举法\\
    将集合的元素列举出来。
    \begin{example}
            $A = \{ a, b, c, d\}$，$Odd = \{ 1, 3, 5, 7, 9\}$
    \end{example}
    \item 描述法\\
    利用一项规则（一个公式），描述集合中的元素的共同性质，以便决定某一物体是否属于该集合。
    \begin{example}
        $C = \{ x \in \realnum \mid 1 \leqslant x \leqslant 5 \}$，$\mathbb{N} = \{ n \in \mathbb{Z} \mid n > 0\}$，$\mathbb{Z}_+ = \{n \in \mathbb{Z} \mid n \geqslant 0 \}$
    \end{example}
    \item 归纳法\\
    用递归方法定义集合。
\end{enumerate}

说明：
\begin{enumerate}
    \item $C = \{ x \in \realnum \mid 1 \leqslant x \leqslant 5 \} = \{ y \in \realnum \mid 1 \leqslant y \leqslant 5 \}$，两种表示方法表示同一个集合。
    \item 集合中的元素是无序的：$\{ a, b, c \} = \{ b, c, a\} = \{ c, a, b\}$
    \item 集合中的元素可能也是集合：$A = \{1, 2, \{ 1 \} , \{ 1, 2, 3 \} \}$，$1 \in A$，$\{ 1 \} \in A$。
\end{enumerate}

\section{集合的关系}
\begin{axiom}
    外延性公理（集合相等）：两个集合是相等的，当且仅当它们有相同的元素。
\end{axiom}

两个集合$A$和$B$相等，记作$A = B$，不相等记作$A \neq B$。

注：$A = B \Leftrightarrow \forall x \ ( x \in A \Leftrightarrow x \in B )$

\begin{definition}
    设$A$、$B$是任意两个集合，如果$A$的每一个元素都是$B$的元素，则称集合$A$是集合$B$的\newnoun{子集合}{subset}或{\bf{子集}}，或称$A$包含在$B$内，记为$A \subseteq B$；或称$B$包含$A$，记为$B \supseteq A$，即$A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x \ (x \in A \rightarrow x \in B)$；若还有$A \neq B$，则称$A$是$B$的\newnoun{真子集}{proper subset}，记为$A \subset B$。
\end{definition}

设$A$、$B$、$C$为任意集合，包含关系具有：
\begin{itemize}
    \item 自反性：$A \subseteq A$；
    \item 传递性：若$A \subseteq B$且$B \subseteq C$，则$A \subseteq C$；
    \item 反对称性：$A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \text{且} B \subseteq A$。
\end{itemize}
满足这三条性质的关系被称为{\bf{偏序关系}}。

数集：$\varnothing \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}_+ \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \realnum \subset \mathbb{C}$。

\section{特殊的集合：空集}
\begin{definition}
    不含任何元素的集合称为{\bf{空集}}，记作$\varnothing$。
\end{definition}

\begin{theorem}
    对于任意一个集合$A$，$\varnothing \subseteq A$。
\end{theorem}

\begin{proof}
    反证法：假设存在一个集合$A$，使得$\varnothing \subseteq A$为假。则存在$x \in \varnothing$且$x \notin A$，这与空集的定义矛盾，所以$\varnothing \subseteq A$，空集是任意集合的子集。
\end{proof}

\begin{corollary}
    空集是唯一的。
\end{corollary}

\begin{proof}
        设$\varnothing_1$，$\varnothing_2$是两个空集，则$\varnothing_1 \subseteq \varnothing_2$，$\varnothing_2 \subseteq \varnothing_1$，得$\varnothing_1 = \varnothing_2$，所以空集是唯一的。
\end{proof}

\section{集合的运算及其性质}
\subsection[交集]{\newnoun{交集}{intersection}}
\begin{definition}
    设任意两个集合$A$和$B$，由$A$和$B$的所有共同元素组成的集合，称为$A$和$B$的{\bf{交集}}，记为$A \cap B$。$A \cap B = \{ x \mid x \in A \land x \in B \}$。
\end{definition}

\begin{proposition}[交集的性质]
    交集具有以下性质：
    \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
        \item $A \cap A = A$；
        \item $A \cap \varnothing = \varnothing$；
        \item $A \cap B = B \cap A$；
        \item $(A \cap B) \cap C= A \cap (B \cap C)$；
        \item $A \cap B \subseteq A$，$A \cap B \subseteq B$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\subsection[并集]{\newnoun{并集}{union}}
\begin{definition}
    设任意两个集合$A$和$B$，所有属于$A$或属于$B$的元素组成的集合，称为$A$和$B$的{\bf{并集}}，记作$A \cup B$。$A \cup B = \{ x \mid x \in A \lor x \in B \}$。
\end{definition}


\begin{proposition}[并集的性质]
    并集具有以下性质：
    \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
        \item $A \cup A = A$；
        \item $A \cup \varnothing = A$；
        \item $A \cup B = B \cup A$；
        \item $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$；
        \item $A \subseteq A \cup B$，$B \subseteq A \cup B$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{theorem}
    设$A$，$B$，$C$为三个集合，则下列分配律成立。
    \begin{enumerate}
        \item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$；
        \item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$。
    \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
    对于$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$：

    1. 若$x \in A \cup (B \cap C)$，则$x \in A$或$x \in B \cap C$。（1）若$x \in A$，则$x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$；（2）若$x \in B \cap C$，则$x \in A \cup B$且$x \in A \cup C$，因此$x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$。
    
    2. 若$x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)$，那么$x \in A \cup B$且$x \in A \cup C$。因此$x \in A$或$x \in B \cap C$。因此$x \in A \cup (B \cap C)$。

    因此$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$。
\end{proof}
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$的证明与此相似。

\begin{theorem}
    设$A$，$B$为任意两个集合，则下列吸收律成立。
    \begin{enumerate}
        \item $A \cup (A \cap B) = A$；
        \item $A \cap (A \cup B) = A$。
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
    思路：
    \begin{enumerate}
        \item $A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup (A \cap B)$；
        \item $A \cap (A \cup B) \subseteq A \subseteq (A \cup B)$。\qedhere
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}
    $A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B \Leftrightarrow A \cap B = A$。
\end{theorem}

\subsection[差集]{\newnoun{差集}{difference}}
\begin{definition}
    设$A$，$B$是任意两个集合，所有属于$A$而不属于$B$的元素组成的集合称为$A$和$B${\bf{差集}}（或$B$对$A$的补集，或相对补），记作$A \setminus B$。$A \setminus B = \{ x \mid x \in A \land x \notin B \}$。
\end{definition}

\subsection[补集]{\newnoun{补集}{complement}}
\begin{definition}
    设$E$为全集，任一集合$A$对$E$的补，称为$A$的{\bf{绝对补}}，记作$A^\mathrm{C}$。$A^\mathrm{C} = E \setminus A = \{ x \mid x \in E \land x \notin A \}$。
\end{definition}

\begin{proposition}[补集的性质]
    补集具有以下性质：
    \begin{enumerate}
        \item $(A^\mathrm{C})^\mathrm{C} = A$；
        \item $E^\mathrm{C} = \varnothing$；
        \item $\varnothing ^\mathrm{C} = E$；
        \item $A \cup A^\mathrm{C} = E$；
        \item $A \cap A^\mathrm{C} = \varnothing$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{theorem}
    设$A$，$B$为任意两个集合，则下列关系式成立。
    \begin{enumerate}
        \item $(A \cup B)^\mathrm{C} = A^\mathrm{C} \cap B^\mathrm{C}$；
        \item $(A \cap B)^\mathrm{C} = A^\mathrm{C} \cup B^\mathrm{C}$；
        \item $A \setminus B = A \cap B^\mathrm{C}$；
        \item $A \setminus B = A \setminus (A \cap B)$。
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}
    设$A$，$B$，$C$为三个集合，则$A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus (A \cap C)$。
\end{theorem}

\begin{theorem}
    设$A$，$B$为任意两个集合，若$A \subseteq B$，则：
    \begin{enumerate}
        \item $B^\mathrm{C} \subseteq A^\mathrm{C}$；
        \item $(B \setminus A) \cup A = B$。
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\subsection[对称差]{\newnoun{对称差}{symmertic difference}}
\begin{definition}
    设$A$、$B$是任意两个集合，集合$A$和$B$的{\bf{对称差}}，其元素或属于$A$，或属于$B$，但不能既属于$A$又属于$B$，记作$A \triangle B$ 。$A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$。
\end{definition}

\begin{proposition}[对称差的性质]
    对称差具有以下性质：
    \begin{enumerate}
        \item $A \triangle B = B \triangle A$；
        \item $A \triangle \varnothing = A$；
        \item $A \triangle A = \varnothing$；
        \item $A \triangle B = (A \cap B^\mathrm{C}) \cup (A^\mathrm{C} \cap B)$；
        \item $(A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C)$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\section{幂集的基数}
\begin{definition}
    给定集合$A$，由$A$的所有子集为元素组成的集合称为$A$的{\bf{幂集}}，记作$\wp (A)$或$2^A$。$\wp (A) = \{ S \mid S \subseteq A \}$。
\end{definition}

\begin{theorem}
    如果有限集$A$有$n$个元素，则其幂集有$2^n$个元素。
\end{theorem}

\section{序列}
\begin{theorem}
    由$k$种指定元素组成的长度为$n$的序列的数量为$k^n$。（长度为$n$的$k$元码个数为$k^n$。）
\end{theorem}

\begin{theorem}
    （乘法原理）设事件$A_1$有$k_1$种产生方式，事件$A_2$有$k_2$种产生方式，\mbox{……，}事件$A_n$有$k_n$种产生方式，则事件$A_1, A_2, \ldots , A_n$依次接连产生共有$k_1k_2\ldots k_n$种不同方式。注意：事件$A_1, A_2, \ldots , A_n$必须是相互独立的。
\end{theorem}

\section{排列与组合}
\begin{definition}
    从$n$个不同的元素中，取$k$个并按次序排列，称为从$n$中取$k$个的一个{\bf{排列}}，全部这样的排列总数记为$P(n, k)$。若$k=n$，则称为$n$个元素的一个\newnoun{置换}{permutation}，且$P(n,n)=n!$。
\end{definition}

\begin{definition}
    从$n$个不同的元素中，取$k$个但是不考虑次序的时候，称为从$n$中取$k$个的一个{\bf{组合}}，全部这样的组合总数记为$C(n, k)$或$\binom{n}{k}$。 % n \choose k 或者$\binom{n}{k}$
\end{definition}

\begin{theorem}
    $P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$。
\end{theorem}

\begin{theorem}
    $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$。
\end{theorem}

\begin{theorem}
    组合数的性质：
    \begin{enumerate}
        \item $C(n, k) = C(n,n-k)$；
        \item 对于$n>k>0$，$C(n-1, k-1) + C(n-1, k) = C(n, k)$；
        \item $C(n, 0) + C(n, 1) + \dots + C(n, n) = 2^n$。
    \end{enumerate}
\end{theorem}