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第四章。

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2022-12-22 20:22:17 +08:00
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26
01线性映射和矩阵.tex
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@@ -5,7 +5,7 @@
\begin{bmatrix}
a_1\\a_2\\\vdots\\a_m
\end{bmatrix}$
称为一个$m$为向量，实数$a_1, a_2, \cdots, a_m$称为向量$\bvec{a}$的分量或坐标。
称为一个$m$为向量，实数$a_1, a_2, \dots, a_m$称为向量$\bvec{a}$的分量或坐标。
分量都是实数的$m$维向量的全体构成的集合记为$\realnum^m$。
\end{definition}
@@ -91,7 +91,7 @@
\begin{bmatrix}
0\\1\\\vdots\\0
\end{bmatrix}
,\quad \cdots, \quad
,\quad \dots, \quad
\bvec{e}_n =
\begin{bmatrix}
0\\0\\\vdots\\1
@@ -100,21 +100,21 @@
\end{definition}
\begin{definition}[线性组合与线性表示]
给定$\realnum^m$中向量组\[\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n\]和一组数\[k_1, k_2, \cdots, k_n \in \realnum\eqco\]称向量$k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \cdots + k_n\bvec{a}_n$是向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$的一个线性组合。
给定$\realnum^m$中向量组\[\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n\]和一组数\[k_1, k_2, \dots, k_n \in \realnum\eqco\]称向量$k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \dots + k_n\bvec{a}_n$是向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$的一个线性组合。
设$\bvec{b}$是$\realnum^m$中的向量，如果存在一组数$k_1, k_2, \cdots, k_n \in \realnum$，使得\[\bvec{b} = k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \cdots + k_n\bvec{a}_n\eqco\]则称$\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示。
设$\bvec{b}$是$\realnum^m$中的向量，如果存在一组数$k_1, k_2, \dots, k_n \in \realnum$，使得\[\bvec{b} = k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \dots + k_n\bvec{a}_n\eqco\]则称$\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性表示。
\end{definition}
\begin{proposition}
设$f, g: \realnum^n \to \realnum^m$是两个线性映射，如果$f(\bvec{e}_i) = g(\bvec{e}_i),i = 1, 2, \cdots, n$，则$f = g$。
设$f, g: \realnum^n \to \realnum^m$是两个线性映射，如果$f(\bvec{e}_i) = g(\bvec{e}_i),i = 1, 2, \dots, n$，则$f = g$。
\end{proposition}
\begin{proposition}
任取$\realnum^m$中的$n$个向量$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_3$，都存在唯一的线性映射$f: \realnum^n \to \realnum^m$，满足$f(\bvec{e}_i) = \bvec{a}_i, i = 1, 2, \cdots, n$。
任取$\realnum^m$中的$n$个向量$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_3$，都存在唯一的线性映射$f: \realnum^n \to \realnum^m$，满足$f(\bvec{e}_i) = \bvec{a}_i, i = 1, 2, \dots, n$。
\end{proposition}
\begin{definition}[线性映射的表示矩阵]
设线性映射$f: \realnum^n \to \realnum^m$，$\bvec{e}_i(i = 1, 2, \cdots, n)$为$\realnum^n$的标准坐标向量，若$\bvec{a}_i = f(\bvec{e}_i)$，则称矩阵
设线性映射$f: \realnum^n \to \realnum^m$，$\bvec{e}_i(i = 1, 2, \dots, n)$为$\realnum^n$的标准坐标向量，若$\bvec{a}_i = f(\bvec{e}_i)$，则称矩阵
\(A =
\begin{bmatrix}
\bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_n
@@ -122,7 +122,7 @@
为线性映射$f$在标准坐标向量下的表示矩阵。
\end{definition}
\begin{definition}[矩阵与向量的成绩]
\begin{definition}[矩阵与向量的乘积]
定义$m \times n$矩阵$A$和$n$维列向量$\bvec{x}$的乘积：
\[A\bvec{x} =
\begin{bmatrix}
@@ -162,8 +162,8 @@
& & & d_n
\end{bmatrix}
:=
\diag(d_1, d_2, \cdots, d_n)\]
如果对角元素依次为$d_1, d_2,\cdots, d_n$，那么这个对角矩阵称为$\diag(d_1, d_2, \cdots, d_n)$表示。
\diag(d_1, d_2, \dots, d_n)\]
如果对角元素依次为$d_1, d_2,\dots, d_n$，那么这个对角矩阵称为$\diag(d_1, d_2, \dots, d_n)$表示。
\end{definition}
\begin{definition}[上下三角矩阵]
@@ -288,7 +288,7 @@
\end{theorem}
\begin{definition}
方程组$A\bvec{x} = \bvec{0}$称为齐次线性方程组。它显然有一组解$x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$，称为零解或平凡解。除此之外其他解（如果存在）称为非零解或非平凡解。对应地，不是齐次的线性方程组，称为非齐次线性方程组。
方程组$A\bvec{x} = \bvec{0}$称为齐次线性方程组。它显然有一组解$x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0$，称为零解或平凡解。除此之外其他解（如果存在）称为非零解或非平凡解。对应地，不是齐次的线性方程组，称为非齐次线性方程组。
\end{definition}
\begin{proposition}
@@ -436,7 +436,7 @@
\begin{bmatrix}
A\bvec{b}_1 & A\bvec{b}_2 & \cdots & A\bvec{b}_n
\end{bmatrix}\eqper\]
特别地，对正整数$k$，方阵$A$的$k$次幂定义为$A^k = \underbrace{AA\cdots A}_{k\text{个}}$。
特别地，对正整数$k$，方阵$A$的$k$次幂定义为$A^k = \underbrace{AA\dots A}_{k\text{个}}$。
\end{definition}
\begin{proposition}
@@ -632,7 +632,7 @@
\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}_{m \times n}\)
对$i = 1, 2, \cdots, n$，都有$\vert a_ii \vert > \sum \limits_{j\neq i} \vert a_{ij} \vert$，则称其为（行）对角占优矩阵。
对$i = 1, 2, \dots, n$，都有$\vert a_ii \vert > \sum \limits_{j\neq i} \vert a_{ij} \vert$，则称其为（行）对角占优矩阵。
\end{definition}
\begin{proposition}