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第四章。

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76
02子空间和维数.tex
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@@ -40,9 +40,9 @@
\end{proposition}
\begin{definition}[线性生成]
设$S: \bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$是$\realnum^m$中的向量组，其线性组合的全体构成$\realnum^m$的一个子集，记作
\[\matspan(S) = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n):=\{k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \cdots + k_n\bvec{a}_n \mid k_1, k_2, \cdots, k_n \in \realnum\}\eqco\]
称为向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$（线性）生成的子集，而$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$称为该集合的一组生成向量。
设$S: \bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$是$\realnum^m$中的向量组，其线性组合的全体构成$\realnum^m$的一个子集，记作
\[\matspan(S) = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n):=\{k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \dots + k_n\bvec{a}_n \mid k_1, k_2, \dots, k_n \in \realnum\}\eqco\]
称为向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$（线性）生成的子集，而$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$称为该集合的一组生成向量。
\end{definition}
\begin{proposition}
@@ -52,8 +52,8 @@
\end{bmatrix}$
，则：
\begin{enumerate}
\item $\columnspace{A} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n)$。
\item 向量$\bvec{b} \in \columnspace{A}$当且仅当它可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示，即当且仅当线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$有解。
\item $\columnspace{A} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n)$。
\item 向量$\bvec{b} \in \columnspace{A}$当且仅当它可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性表示，即当且仅当线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$有解。
\end{enumerate}
\end{proposition}
@@ -66,18 +66,18 @@
\end{proposition}
\begin{definition}[线性相关与线性无关]
给定$\realnum^m$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$，如果存在不全为零的一组数$k_1, k_2, \cdots, k_n \in \realnum$，使得$k_1\bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a}_2 + \cdots k_n \bvec{a}_n = \bvec{0}$，则称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性相关。
给定$\realnum^m$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$，如果存在不全为零的一组数$k_1, k_2, \dots, k_n \in \realnum$，使得$k_1\bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a}_2 + \dots k_n \bvec{a}_n = \bvec{0}$，则称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性相关。
否则，$k_1\bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a}_2 + \cdots k_n \bvec{a}_n = \bvec{0}$一定给出$k_1 = k_2 = \cdots = k_n = 0$，此时称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性无关。
否则，$k_1\bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a}_2 + \dots k_n \bvec{a}_n = \bvec{0}$一定给出$k_1 = k_2 = \dots = k_n = 0$，此时称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性无关。
\end{definition}
\begin{definition}[子空间的基]
给定$\realnum^m$的子空间$\mathcal{M}$，若$\mathcal{M}$中存在有限个向量$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$满足：
给定$\realnum^m$的子空间$\mathcal{M}$，若$\mathcal{M}$中存在有限个向量$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$满足：
\begin{enumerate}
\item $\mathcal{M}$中的任意向量都可以被该向量组线性表示，即$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n)$；
\item $\mathcal{M}$中的任意向量都可以被该向量组线性表示，即$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n)$；
\item 该向量组线性无关；
\end{enumerate}
则称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$是子空间$\mathcal{M}$的一组基。
则称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$是子空间$\mathcal{M}$的一组基。
\end{definition}
\begin{proposition}
@@ -89,17 +89,17 @@
\begin{bmatrix}
\bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_m
\end{bmatrix}$
则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_m$是$\realnum^m$的一组基当且仅当$A$可逆。
则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_m$是$\realnum^m$的一组基当且仅当$A$可逆。
\end{proposition}
\begin{proposition}
如果向量$\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示，则其表示法唯一当且仅当向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性无关。
如果向量$\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性表示，则其表示法唯一当且仅当向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性无关。
\end{proposition}
\begin{proposition}
给定$\realnum^m$的子空间$\mathcal{M}$，则$\mathcal{M}$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$是$\mathcal{M}$的一组基，当且仅当该向量组满足：
给定$\realnum^m$的子空间$\mathcal{M}$，则$\mathcal{M}$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$是$\mathcal{M}$的一组基，当且仅当该向量组满足：
\begin{enumerate}
\item $\mathcal{M}$中的任意向量都可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示，即$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n)$；
\item $\mathcal{M}$中的任意向量都可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性表示，即$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n)$；
\item 且该表示法唯一。
\end{enumerate}
\end{proposition}
@@ -116,28 +116,28 @@
\end{definition}
\begin{definition}[极大线性无关部分组]
给定$\realnum^m$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$，设它的一个部分组是$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots , \bvec{a}_{i_r}$，如果满足：
给定$\realnum^m$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$，设它的一个部分组是$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots , \bvec{a}_{i_r}$，如果满足：
\begin{enumerate}
\item $\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots , \bvec{a}_{i_r}$线性无关；
\item $\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$可以被$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots , \bvec{a}_{i_r}$线性表示；
\item $\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots , \bvec{a}_{i_r}$线性无关；
\item $\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$可以被$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots , \bvec{a}_{i_r}$线性表示；
\end{enumerate}
则称$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots , \bvec{a}_{i_r}$是$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$的一个极大线性无关部分组。
则称$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots , \bvec{a}_{i_r}$是$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$的一个极大线性无关部分组。
\end{definition}
\begin{proposition}
如果向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性无关，那么对任意向量$\bvec{b}$，有：
如果向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性无关，那么对任意向量$\bvec{b}$，有：
\begin{enumerate}
\item $\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示，当且仅当向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n, \bvec{b}$线性相关；
\item $\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n, \bvec{b}$线性无关，当且仅当$\bvec{b}$不能被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示。
\item $\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性表示，当且仅当向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n, \bvec{b}$线性相关；
\item $\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n, \bvec{b}$线性无关，当且仅当$\bvec{b}$不能被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性表示。
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proposition}
任意有限个不全为零的向量组成的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$都存在极大线性无关部分组。
任意有限个不全为零的向量组成的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$都存在极大线性无关部分组。
\end{proposition}
\begin{proposition}
设$S: \bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n; T: \bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \cdots, \bvec{b}_p$是$\realnum^m$中的两个向量组，以下叙述等价：
设$S: \bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n; T: \bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \dots, \bvec{b}_p$是$\realnum^m$中的两个向量组，以下叙述等价：
\begin{enumerate}
\item $S$可以被$T$线性表示；
\item 存在$p \times n$矩阵$U$满足
@@ -149,12 +149,12 @@
\bvec{b}_1 & \bvec{b}_2 & \cdots & \bvec{b}_p
\end{bmatrix}
U\)；
\item 线性生成的子空间满足$\matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n) \subseteq \matspan(\bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \cdots, \bvec{b}_n)$。
\item 线性生成的子空间满足$\matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n) \subseteq \matspan(\bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \dots, \bvec{b}_n)$。
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proposition}
给定$\realnum^m$中的三个向量组$S:\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_p; T:\bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \cdots, \bvec{b}_n;R: \bvec{c}_1, \bvec{c}_2, \cdots, \bvec{c}_q$。若向量组$S$可以被$T$线性表示，$T$可以被$R$线性表示，则$S$可以被$R$线性表示。这称为向量组之间线性表示的传递性。
给定$\realnum^m$中的三个向量组$S:\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_p; T:\bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \dots, \bvec{b}_n;R: \bvec{c}_1, \bvec{c}_2, \dots, \bvec{c}_q$。若向量组$S$可以被$T$线性表示，$T$可以被$R$线性表示，则$S$可以被$R$线性表示。这称为向量组之间线性表示的传递性。
\end{proposition}
\begin{definition}
@@ -170,15 +170,15 @@
\end{proposition}
\begin{proposition}
设向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_p$线性表示。
设向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_p$线性表示。
\begin{enumerate}
\item 如果$n > p$，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性相关；
\item 如果$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性无关，则$n \leq p$。
\item 如果$n > p$，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性相关；
\item 如果$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性无关，则$n \leq p$。
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{corollary}
设向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$和$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_p$线性等价，如果两个向量组都线性无关，则$n = p$。
设向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$和$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_p$线性等价，如果两个向量组都线性无关，则$n = p$。
\end{corollary}
\begin{definition}[秩]
@@ -209,10 +209,10 @@
\end{theorem}
\begin{proposition}
设$\mathcal{M}$是$\realnum^m$的$r$维子空间，给定$\mathcal{M}$中含有$r$个向量的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r$。
设$\mathcal{M}$是$\realnum^m$的$r$维子空间，给定$\mathcal{M}$中含有$r$个向量的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_r$。
\begin{enumerate}
\item 如果$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r$线性无关，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r$是$\mathcal{M}$的一组基；
\item 如果$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r)$，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r$是$\mathcal{M}$的一组基。
\item 如果$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_r$线性无关，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_r$是$\mathcal{M}$的一组基；
\item 如果$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_r)$，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_r$是$\mathcal{M}$的一组基。
\end{enumerate}
\end{proposition}
@@ -250,9 +250,9 @@
\end{bmatrix}\)
左相抵，则：
\begin{enumerate}
\item 部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots, \bvec{a}_{i_r}$线性无关当且仅当对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \cdots, \bvec{b}_{i_r}$线性无关。
\item $A$的列$\bvec{a}_j(j = 1,2, \cdots, n)$可以被部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots, \bvec{a}_{i_r}$表示，即$\bvec{a}_j = k_1 \bvec{a}_{i_1} + k_2 \bvec{a}_{i_2} + \cdots + k_r \bvec{a}_{i_r}$，当且仅当$B$对应的列$\bvec{b}_j$可以被对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \cdots, \bvec{b}_{i_r}$线性表示，且表示法相同，即$\bvec{b}_j = k_1 \bvec{b}_{i_1} + k_2 \bvec{b}_{i_2} + \cdots + k_r \bvec{b}_{i_r}$。
\item 部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots, \bvec{a}_{i_r}$是$A$的列向量组的极大线性无关部分组当且仅当相对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \cdots, \bvec{b}_{i_r}$是$B$的列向量组的极大线性无关部分组。
\item 部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots, \bvec{a}_{i_r}$线性无关当且仅当对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \dots, \bvec{b}_{i_r}$线性无关。
\item $A$的列$\bvec{a}_j(j = 1,2, \dots, n)$可以被部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots, \bvec{a}_{i_r}$表示，即$\bvec{a}_j = k_1 \bvec{a}_{i_1} + k_2 \bvec{a}_{i_2} + \dots + k_r \bvec{a}_{i_r}$，当且仅当$B$对应的列$\bvec{b}_j$可以被对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \dots, \bvec{b}_{i_r}$线性表示，且表示法相同，即$\bvec{b}_j = k_1 \bvec{b}_{i_1} + k_2 \bvec{b}_{i_2} + \dots + k_r \bvec{b}_{i_r}$。
\item 部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots, \bvec{a}_{i_r}$是$A$的列向量组的极大线性无关部分组当且仅当相对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \dots, \bvec{b}_{i_r}$是$B$的列向量组的极大线性无关部分组。
\end{enumerate}
\end{proposition}
@@ -340,7 +340,7 @@
\section{线性方程组的解集}
\begin{theorem}
设$A$是$m \times n$矩阵，秩为$r$，它的行简化阶梯形矩阵包含$r$个主变量，$n-r$个自由变量。对齐次线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{0}$，设$\bvec{k}_i$是第$i$个自由变量取$1$，其余自由变量都取$0$时得到的解，由此得到$n - r$个解$\bvec{k}_1, \bvec{k}_2, \cdots, \bvec{k}_{n-r}$。这$n-r$个解是零空间$\nullspace{A}$的一组基，其中$r = \rank(A)$。特别地，$\dim \nullspace{A} = n - \rank(A)$。
设$A$是$m \times n$矩阵，秩为$r$，它的行简化阶梯形矩阵包含$r$个主变量，$n-r$个自由变量。对齐次线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{0}$，设$\bvec{k}_i$是第$i$个自由变量取$1$，其余自由变量都取$0$时得到的解，由此得到$n - r$个解$\bvec{k}_1, \bvec{k}_2, \dots, \bvec{k}_{n-r}$。这$n-r$个解是零空间$\nullspace{A}$的一组基，其中$r = \rank(A)$。特别地，$\dim \nullspace{A} = n - \rank(A)$。
\end{theorem}
\begin{definition}
@@ -348,8 +348,8 @@
\end{definition}
\begin{theorem}
设线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$的一个特解是$\bvec{k}_0$，其到处方程组的解空间$\nullspace{A}$的一组基是$\bvec{k}_1, \bvec{k}_2, \cdots, \bvec{k}_{n-r}$，其中$r = \rank(A)$，则$A\bvec{x} = \bvec{b}$的解集就是
\[\{\bvec{k}_0 + c_1\bvec{k}_1 + c_2 \bvec{k}_2 + \cdots + c_{n-r} \bvec{k}_{n-r} \mid c_1, c_2, \cdots, c_{n-r} \in \realnum\}\eqper\]
设线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$的一个特解是$\bvec{k}_0$，其到处方程组的解空间$\nullspace{A}$的一组基是$\bvec{k}_1, \bvec{k}_2, \dots, \bvec{k}_{n-r}$，其中$r = \rank(A)$，则$A\bvec{x} = \bvec{b}$的解集就是
\[\{\bvec{k}_0 + c_1\bvec{k}_1 + c_2 \bvec{k}_2 + \dots + c_{n-r} \bvec{k}_{n-r} \mid c_1, c_2, \dots, c_{n-r} \in \realnum\}\eqper\]
\end{theorem}
\begin{theorem}[判定定理]