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第四章。

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26
01线性映射和矩阵.tex
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@@ -5,7 +5,7 @@
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
a_1\\a_2\\\vdots\\a_m a_1\\a_2\\\vdots\\a_m
\end{bmatrix}$ \end{bmatrix}$
称为一个$m$为向量，实数$a_1, a_2, \cdots, a_m$称为向量$\bvec{a}$的分量或坐标。 称为一个$m$为向量，实数$a_1, a_2, \dots, a_m$称为向量$\bvec{a}$的分量或坐标。
分量都是实数的$m$维向量的全体构成的集合记为$\realnum^m$。 分量都是实数的$m$维向量的全体构成的集合记为$\realnum^m$。
\end{definition} \end{definition}
@@ -91,7 +91,7 @@
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
0\\1\\\vdots\\0 0\\1\\\vdots\\0
\end{bmatrix} \end{bmatrix}
,\quad \cdots, \quad ,\quad \dots, \quad
\bvec{e}_n = \bvec{e}_n =
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
0\\0\\\vdots\\1 0\\0\\\vdots\\1
@@ -100,21 +100,21 @@
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition}[线性组合与线性表示] \begin{definition}[线性组合与线性表示]
给定$\realnum^m$中向量组\[\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n\]和一组数\[k_1, k_2, \cdots, k_n \in \realnum\eqco\]称向量$k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \cdots + k_n\bvec{a}_n$是向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$的一个线性组合。 给定$\realnum^m$中向量组\[\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n\]和一组数\[k_1, k_2, \dots, k_n \in \realnum\eqco\]称向量$k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \dots + k_n\bvec{a}_n$是向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$的一个线性组合。
设$\bvec{b}$是$\realnum^m$中的向量，如果存在一组数$k_1, k_2, \cdots, k_n \in \realnum$，使得\[\bvec{b} = k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \cdots + k_n\bvec{a}_n\eqco\]则称$\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示。 设$\bvec{b}$是$\realnum^m$中的向量，如果存在一组数$k_1, k_2, \dots, k_n \in \realnum$，使得\[\bvec{b} = k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \dots + k_n\bvec{a}_n\eqco\]则称$\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性表示。
\end{definition} \end{definition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
设$f, g: \realnum^n \to \realnum^m$是两个线性映射，如果$f(\bvec{e}_i) = g(\bvec{e}_i),i = 1, 2, \cdots, n$，则$f = g$。 设$f, g: \realnum^n \to \realnum^m$是两个线性映射，如果$f(\bvec{e}_i) = g(\bvec{e}_i),i = 1, 2, \dots, n$，则$f = g$。
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
任取$\realnum^m$中的$n$个向量$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_3$，都存在唯一的线性映射$f: \realnum^n \to \realnum^m$，满足$f(\bvec{e}_i) = \bvec{a}_i, i = 1, 2, \cdots, n$。 任取$\realnum^m$中的$n$个向量$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_3$，都存在唯一的线性映射$f: \realnum^n \to \realnum^m$，满足$f(\bvec{e}_i) = \bvec{a}_i, i = 1, 2, \dots, n$。
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{definition}[线性映射的表示矩阵] \begin{definition}[线性映射的表示矩阵]
设线性映射$f: \realnum^n \to \realnum^m$，$\bvec{e}_i(i = 1, 2, \cdots, n)$为$\realnum^n$的标准坐标向量，若$\bvec{a}_i = f(\bvec{e}_i)$，则称矩阵 设线性映射$f: \realnum^n \to \realnum^m$，$\bvec{e}_i(i = 1, 2, \dots, n)$为$\realnum^n$的标准坐标向量，若$\bvec{a}_i = f(\bvec{e}_i)$，则称矩阵
\(A = \(A =
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
\bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_n \bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_n
@@ -122,7 +122,7 @@
为线性映射$f$在标准坐标向量下的表示矩阵。 为线性映射$f$在标准坐标向量下的表示矩阵。
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition}[矩阵与向量的成绩] \begin{definition}[矩阵与向量的乘积]
定义$m \times n$矩阵$A$和$n$维列向量$\bvec{x}$的乘积： 定义$m \times n$矩阵$A$和$n$维列向量$\bvec{x}$的乘积：
\[A\bvec{x} = \[A\bvec{x} =
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
@@ -162,8 +162,8 @@
& & & d_n & & & d_n
\end{bmatrix} \end{bmatrix}
:= :=
\diag(d_1, d_2, \cdots, d_n)\] \diag(d_1, d_2, \dots, d_n)\]
如果对角元素依次为$d_1, d_2,\cdots, d_n$，那么这个对角矩阵称为$\diag(d_1, d_2, \cdots, d_n)$表示。 如果对角元素依次为$d_1, d_2,\dots, d_n$，那么这个对角矩阵称为$\diag(d_1, d_2, \dots, d_n)$表示。
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition}[上下三角矩阵] \begin{definition}[上下三角矩阵]
@@ -288,7 +288,7 @@
\end{theorem} \end{theorem}
\begin{definition} \begin{definition}
方程组$A\bvec{x} = \bvec{0}$称为齐次线性方程组。它显然有一组解$x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$，称为零解或平凡解。除此之外其他解（如果存在）称为非零解或非平凡解。对应地，不是齐次的线性方程组，称为非齐次线性方程组。 方程组$A\bvec{x} = \bvec{0}$称为齐次线性方程组。它显然有一组解$x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0$，称为零解或平凡解。除此之外其他解（如果存在）称为非零解或非平凡解。对应地，不是齐次的线性方程组，称为非齐次线性方程组。
\end{definition} \end{definition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
@@ -436,7 +436,7 @@
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
A\bvec{b}_1 & A\bvec{b}_2 & \cdots & A\bvec{b}_n A\bvec{b}_1 & A\bvec{b}_2 & \cdots & A\bvec{b}_n
\end{bmatrix}\eqper\] \end{bmatrix}\eqper\]
特别地，对正整数$k$，方阵$A$的$k$次幂定义为$A^k = \underbrace{AA\cdots A}_{k\text{个}}$。 特别地，对正整数$k$，方阵$A$的$k$次幂定义为$A^k = \underbrace{AA\dots A}_{k\text{个}}$。
\end{definition} \end{definition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
@@ -632,7 +632,7 @@
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
a_{ij} a_{ij}
\end{bmatrix}_{m \times n}\) \end{bmatrix}_{m \times n}\)
对$i = 1, 2, \cdots, n$，都有$\vert a_ii \vert > \sum \limits_{j\neq i} \vert a_{ij} \vert$，则称其为（行）对角占优矩阵。 对$i = 1, 2, \dots, n$，都有$\vert a_ii \vert > \sum \limits_{j\neq i} \vert a_{ij} \vert$，则称其为（行）对角占优矩阵。
\end{definition} \end{definition}
\begin{proposition} \begin{proposition}

76
02子空间和维数.tex
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@@ -40,9 +40,9 @@
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{definition}[线性生成] \begin{definition}[线性生成]
设$S: \bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$是$\realnum^m$中的向量组，其线性组合的全体构成$\realnum^m$的一个子集，记作 设$S: \bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$是$\realnum^m$中的向量组，其线性组合的全体构成$\realnum^m$的一个子集，记作
\[\matspan(S) = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n):=\{k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \cdots + k_n\bvec{a}_n \mid k_1, k_2, \cdots, k_n \in \realnum\}\eqco\] \[\matspan(S) = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n):=\{k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \dots + k_n\bvec{a}_n \mid k_1, k_2, \dots, k_n \in \realnum\}\eqco\]
称为向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$（线性）生成的子集，而$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$称为该集合的一组生成向量。 称为向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$（线性）生成的子集，而$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$称为该集合的一组生成向量。
\end{definition} \end{definition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
@@ -52,8 +52,8 @@
\end{bmatrix}$ \end{bmatrix}$
，则： ，则：
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item $\columnspace{A} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n)$。 \item $\columnspace{A} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n)$。
\item 向量$\bvec{b} \in \columnspace{A}$当且仅当它可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示，即当且仅当线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$有解。 \item 向量$\bvec{b} \in \columnspace{A}$当且仅当它可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性表示，即当且仅当线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$有解。
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proposition} \end{proposition}
@@ -66,18 +66,18 @@
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{definition}[线性相关与线性无关] \begin{definition}[线性相关与线性无关]
给定$\realnum^m$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$，如果存在不全为零的一组数$k_1, k_2, \cdots, k_n \in \realnum$，使得$k_1\bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a}_2 + \cdots k_n \bvec{a}_n = \bvec{0}$，则称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性相关。 给定$\realnum^m$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$，如果存在不全为零的一组数$k_1, k_2, \dots, k_n \in \realnum$，使得$k_1\bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a}_2 + \dots k_n \bvec{a}_n = \bvec{0}$，则称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性相关。
否则，$k_1\bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a}_2 + \cdots k_n \bvec{a}_n = \bvec{0}$一定给出$k_1 = k_2 = \cdots = k_n = 0$，此时称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性无关。 否则，$k_1\bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a}_2 + \dots k_n \bvec{a}_n = \bvec{0}$一定给出$k_1 = k_2 = \dots = k_n = 0$，此时称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性无关。
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition}[子空间的基] \begin{definition}[子空间的基]
给定$\realnum^m$的子空间$\mathcal{M}$，若$\mathcal{M}$中存在有限个向量$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$满足： 给定$\realnum^m$的子空间$\mathcal{M}$，若$\mathcal{M}$中存在有限个向量$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$满足：
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item $\mathcal{M}$中的任意向量都可以被该向量组线性表示，即$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n)$； \item $\mathcal{M}$中的任意向量都可以被该向量组线性表示，即$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n)$；
\item 该向量组线性无关； \item 该向量组线性无关；
\end{enumerate} \end{enumerate}
则称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$是子空间$\mathcal{M}$的一组基。 则称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$是子空间$\mathcal{M}$的一组基。
\end{definition} \end{definition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
@@ -89,17 +89,17 @@
\begin{bmatrix} \begin{bmatrix}
\bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_m \bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_m
\end{bmatrix}$ \end{bmatrix}$
则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_m$是$\realnum^m$的一组基当且仅当$A$可逆。 则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_m$是$\realnum^m$的一组基当且仅当$A$可逆。
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
如果向量$\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示，则其表示法唯一当且仅当向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性无关。 如果向量$\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性表示，则其表示法唯一当且仅当向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性无关。
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
给定$\realnum^m$的子空间$\mathcal{M}$，则$\mathcal{M}$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$是$\mathcal{M}$的一组基，当且仅当该向量组满足： 给定$\realnum^m$的子空间$\mathcal{M}$，则$\mathcal{M}$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$是$\mathcal{M}$的一组基，当且仅当该向量组满足：
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item $\mathcal{M}$中的任意向量都可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示，即$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n)$； \item $\mathcal{M}$中的任意向量都可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性表示，即$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n)$；
\item 且该表示法唯一。 \item 且该表示法唯一。
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proposition} \end{proposition}
@@ -116,28 +116,28 @@
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition}[极大线性无关部分组] \begin{definition}[极大线性无关部分组]
给定$\realnum^m$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$，设它的一个部分组是$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots , \bvec{a}_{i_r}$，如果满足： 给定$\realnum^m$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$，设它的一个部分组是$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots , \bvec{a}_{i_r}$，如果满足：
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item $\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots , \bvec{a}_{i_r}$线性无关； \item $\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots , \bvec{a}_{i_r}$线性无关；
\item $\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$可以被$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots , \bvec{a}_{i_r}$线性表示； \item $\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$可以被$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots , \bvec{a}_{i_r}$线性表示；
\end{enumerate} \end{enumerate}
则称$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots , \bvec{a}_{i_r}$是$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$的一个极大线性无关部分组。 则称$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots , \bvec{a}_{i_r}$是$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$的一个极大线性无关部分组。
\end{definition} \end{definition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
如果向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性无关，那么对任意向量$\bvec{b}$，有： 如果向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性无关，那么对任意向量$\bvec{b}$，有：
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item $\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示，当且仅当向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n, \bvec{b}$线性相关； \item $\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性表示，当且仅当向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n, \bvec{b}$线性相关；
\item $\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n, \bvec{b}$线性无关，当且仅当$\bvec{b}$不能被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示。 \item $\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n, \bvec{b}$线性无关，当且仅当$\bvec{b}$不能被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性表示。
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
任意有限个不全为零的向量组成的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$都存在极大线性无关部分组。 任意有限个不全为零的向量组成的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$都存在极大线性无关部分组。
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
设$S: \bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n; T: \bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \cdots, \bvec{b}_p$是$\realnum^m$中的两个向量组，以下叙述等价： 设$S: \bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n; T: \bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \dots, \bvec{b}_p$是$\realnum^m$中的两个向量组，以下叙述等价：
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item $S$可以被$T$线性表示； \item $S$可以被$T$线性表示；
\item 存在$p \times n$矩阵$U$满足 \item 存在$p \times n$矩阵$U$满足
@@ -149,12 +149,12 @@
\bvec{b}_1 & \bvec{b}_2 & \cdots & \bvec{b}_p \bvec{b}_1 & \bvec{b}_2 & \cdots & \bvec{b}_p
\end{bmatrix} \end{bmatrix}
U\)； U\)；
\item 线性生成的子空间满足$\matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n) \subseteq \matspan(\bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \cdots, \bvec{b}_n)$。 \item 线性生成的子空间满足$\matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n) \subseteq \matspan(\bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \dots, \bvec{b}_n)$。
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
给定$\realnum^m$中的三个向量组$S:\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_p; T:\bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \cdots, \bvec{b}_n;R: \bvec{c}_1, \bvec{c}_2, \cdots, \bvec{c}_q$。若向量组$S$可以被$T$线性表示，$T$可以被$R$线性表示，则$S$可以被$R$线性表示。这称为向量组之间线性表示的传递性。 给定$\realnum^m$中的三个向量组$S:\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_p; T:\bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \dots, \bvec{b}_n;R: \bvec{c}_1, \bvec{c}_2, \dots, \bvec{c}_q$。若向量组$S$可以被$T$线性表示，$T$可以被$R$线性表示，则$S$可以被$R$线性表示。这称为向量组之间线性表示的传递性。
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{definition} \begin{definition}
@@ -170,15 +170,15 @@
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{proposition} \begin{proposition}
设向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_p$线性表示。 设向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_p$线性表示。
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item 如果$n > p$，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性相关； \item 如果$n > p$，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性相关；
\item 如果$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性无关，则$n \leq p$。 \item 如果$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$线性无关，则$n \leq p$。
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{corollary} \begin{corollary}
设向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$和$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_p$线性等价，如果两个向量组都线性无关，则$n = p$。 设向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_n$和$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_p$线性等价，如果两个向量组都线性无关，则$n = p$。
\end{corollary} \end{corollary}
\begin{definition}[秩] \begin{definition}[秩]
@@ -209,10 +209,10 @@
\end{theorem} \end{theorem}
\begin{proposition} \begin{proposition}
设$\mathcal{M}$是$\realnum^m$的$r$维子空间，给定$\mathcal{M}$中含有$r$个向量的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r$。 设$\mathcal{M}$是$\realnum^m$的$r$维子空间，给定$\mathcal{M}$中含有$r$个向量的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_r$。
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item 如果$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r$线性无关，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r$是$\mathcal{M}$的一组基； \item 如果$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_r$线性无关，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_r$是$\mathcal{M}$的一组基；
\item 如果$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r)$，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r$是$\mathcal{M}$的一组基。 \item 如果$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_r)$，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_r$是$\mathcal{M}$的一组基。
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proposition} \end{proposition}
@@ -250,9 +250,9 @@
\end{bmatrix}\) \end{bmatrix}\)
左相抵，则： 左相抵，则：
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item 部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots, \bvec{a}_{i_r}$线性无关当且仅当对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \cdots, \bvec{b}_{i_r}$线性无关。 \item 部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots, \bvec{a}_{i_r}$线性无关当且仅当对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \dots, \bvec{b}_{i_r}$线性无关。
\item $A$的列$\bvec{a}_j(j = 1,2, \cdots, n)$可以被部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots, \bvec{a}_{i_r}$表示，即$\bvec{a}_j = k_1 \bvec{a}_{i_1} + k_2 \bvec{a}_{i_2} + \cdots + k_r \bvec{a}_{i_r}$，当且仅当$B$对应的列$\bvec{b}_j$可以被对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \cdots, \bvec{b}_{i_r}$线性表示，且表示法相同，即$\bvec{b}_j = k_1 \bvec{b}_{i_1} + k_2 \bvec{b}_{i_2} + \cdots + k_r \bvec{b}_{i_r}$。 \item $A$的列$\bvec{a}_j(j = 1,2, \dots, n)$可以被部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots, \bvec{a}_{i_r}$表示，即$\bvec{a}_j = k_1 \bvec{a}_{i_1} + k_2 \bvec{a}_{i_2} + \dots + k_r \bvec{a}_{i_r}$，当且仅当$B$对应的列$\bvec{b}_j$可以被对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \dots, \bvec{b}_{i_r}$线性表示，且表示法相同，即$\bvec{b}_j = k_1 \bvec{b}_{i_1} + k_2 \bvec{b}_{i_2} + \dots + k_r \bvec{b}_{i_r}$。
\item 部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots, \bvec{a}_{i_r}$是$A$的列向量组的极大线性无关部分组当且仅当相对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \cdots, \bvec{b}_{i_r}$是$B$的列向量组的极大线性无关部分组。 \item 部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots, \bvec{a}_{i_r}$是$A$的列向量组的极大线性无关部分组当且仅当相对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \dots, \bvec{b}_{i_r}$是$B$的列向量组的极大线性无关部分组。
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proposition} \end{proposition}
@@ -340,7 +340,7 @@
\section{线性方程组的解集} \section{线性方程组的解集}
\begin{theorem} \begin{theorem}
设$A$是$m \times n$矩阵，秩为$r$，它的行简化阶梯形矩阵包含$r$个主变量，$n-r$个自由变量。对齐次线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{0}$，设$\bvec{k}_i$是第$i$个自由变量取$1$，其余自由变量都取$0$时得到的解，由此得到$n - r$个解$\bvec{k}_1, \bvec{k}_2, \cdots, \bvec{k}_{n-r}$。这$n-r$个解是零空间$\nullspace{A}$的一组基，其中$r = \rank(A)$。特别地，$\dim \nullspace{A} = n - \rank(A)$。 设$A$是$m \times n$矩阵，秩为$r$，它的行简化阶梯形矩阵包含$r$个主变量，$n-r$个自由变量。对齐次线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{0}$，设$\bvec{k}_i$是第$i$个自由变量取$1$，其余自由变量都取$0$时得到的解，由此得到$n - r$个解$\bvec{k}_1, \bvec{k}_2, \dots, \bvec{k}_{n-r}$。这$n-r$个解是零空间$\nullspace{A}$的一组基，其中$r = \rank(A)$。特别地，$\dim \nullspace{A} = n - \rank(A)$。
\end{theorem} \end{theorem}
\begin{definition} \begin{definition}
@@ -348,8 +348,8 @@
\end{definition} \end{definition}
\begin{theorem} \begin{theorem}
设线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$的一个特解是$\bvec{k}_0$，其到处方程组的解空间$\nullspace{A}$的一组基是$\bvec{k}_1, \bvec{k}_2, \cdots, \bvec{k}_{n-r}$，其中$r = \rank(A)$，则$A\bvec{x} = \bvec{b}$的解集就是 设线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$的一个特解是$\bvec{k}_0$，其到处方程组的解空间$\nullspace{A}$的一组基是$\bvec{k}_1, \bvec{k}_2, \dots, \bvec{k}_{n-r}$，其中$r = \rank(A)$，则$A\bvec{x} = \bvec{b}$的解集就是
\[\{\bvec{k}_0 + c_1\bvec{k}_1 + c_2 \bvec{k}_2 + \cdots + c_{n-r} \bvec{k}_{n-r} \mid c_1, c_2, \cdots, c_{n-r} \in \realnum\}\eqper\] \[\{\bvec{k}_0 + c_1\bvec{k}_1 + c_2 \bvec{k}_2 + \dots + c_{n-r} \bvec{k}_{n-r} \mid c_1, c_2, \dots, c_{n-r} \in \realnum\}\eqper\]
\end{theorem} \end{theorem}
\begin{theorem}[判定定理] \begin{theorem}[判定定理]

240
03内积和正交性.tex Normal file
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@@ -0,0 +1,240 @@
\chapter{内积和正交性}
\section{基本概念}
\subsection{内积}
\begin{definition}[内积]
定义$\realnum^n$上的两个列向量$\bvec{a}, \bvec{b}$的内积为实数$\bvec{a}\trans \bvec{b}$，即如果
\(\bvec{a} = \begin{bmatrix}
a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n
\end{bmatrix}\)，
\(\bvec{b} = \begin{bmatrix}
b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n
\end{bmatrix}\)，
则$\bvec{a}, \bvec{b}$的内积为$a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$。
\end{definition}
\begin{proposition}
向量内积满足如下性质：
\begin{enumerate}
\item 对称：$\bvec{a}\trans \bvec{b} = \bvec{b}\trans \bvec{a}$；
\item 双线性：$\bvec{a}\trans(k_1 b_2 + k_2 b_2) = k_1 \bvec{a}\trans \bvec{b}_1 + k_2 \bvec{a}\trans b_2, (k_1\bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a_2})\trans \bvec{b} = k_1 \bvec{a}_1\trans \bvec{b} + k_2 a_2\trans \bvec{b}$；
\item 正定：$\bvec{a}\trans \bvec{a} \geq 0$，且$\bvec{a}\trans \bvec{a} = 0$当且仅当$\bvec{a} = \bvec{0}$。
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{definition}
定义$n$维向量
\(\bvec{a} = \begin{bmatrix}
a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n
\end{bmatrix}\)
的长度：
\[\norm{\bvec{a}} = \sqrt{\bvec{a}\trans \bvec{a}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}\eqper\]
一个向量的长度为零当且仅当它是零向量。长度为1的向量称为单位向量。单位向量$\dfrac{\bvec{a}}{\norm{\bvec{a}}}$称为非零向量$\bvec{a}$的单位化（向量）。实数$\norm{\bvec{a} - \bvec{b}}$称为向量$\bvec{a},\bvec{b}$之间的距离。
\end{definition}
\begin{theorem}[Cauchy-Schwarz不等式]
$\abs{\bvec{a}\trans \bvec{b}} \leq \norm{\bvec{a}}\norm{\bvec{b}}$，等号成立当且仅当$\bvec{a}, \bvec{b}$共线。
\end{theorem}
\begin{corollary}[三角不等式]
$\norm{\bvec{a} + \bvec{b}} \leq \norm{\bvec{a}} + \norm{\bvec{b}}$。
\end{corollary}
\begin{definition}
Cauchy-Schwarz不等式是我们能定义两个非零向量的夹角为$\arccos \dfrac{\bvec{a}\trans \bvec{b}}{\norm{\bvec{a}}\norm{\bvec{b}}}$。两个非零向量的内积为0当且仅当夹角为$\dfrac{\pi}{2}$。如果$\bvec{a}\trans \bvec{b} = 0$，称二者正交或垂直，记为$\bvec{a} \perp \bvec{b}$。
\end{definition}
\begin{theorem}[勾股定理]
向量$\bvec{a}, \bvec{b}$正交，则$\norm{\bvec{a} \pm \bvec{b}}^2 = \norm{\bvec{a}}^2 + \norm{\bvec{b}}^2$。
\end{theorem}
\begin{definition}
向量$\dfrac{\bvec{a}\trans \bvec{b}}{\bvec{a}\trans \bvec{a}}\bvec{a}$称为向量$\bvec{b}$向直线$\matspan(\bvec{a})$的正交投影。
\end{definition}
\begin{proposition}
设$\bvec{a}, \bvec{b}$是$\realnum^n$中的两个向量，$\bvec{a} \neq \bvec{0}$，则
\[\norm{\bvec{b} - \frac{\bvec{a}\trans \bvec{b}}{\bvec{a}\trans \bvec{a}}\bvec{a}} = \min \limits_{x \in \realnum} \norm{\bvec{b} - x \bvec{a}}\eqper\]
\end{proposition}
\subsection{标准正交基}
\begin{definition}[正交向量组]
设$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2,\dots, \bvec{a}_r$是$\realnum^n$中的向量组，如果这些向量都非零且两两正交，则称该向量组为正交向量组。特别地，如果正交向量组中的向量都是单位向量，则称其为正交单位向量组。
\end{definition}
\begin{proposition}
正交向量组线性无关。
\end{proposition}
\begin{definition}[标准正交基]
设$\mathcal{M}$是$\realnum^n$的子空间，如果它的一组基是正交向量组，则称之为$\mathcal{M}$的一组正交基；如果他的一组基是正交单位向量组，则称之为$\mathcal{M}$的一组标准正交基。
\end{definition}
\begin{proposition}
设$\mathcal{M}$是$\realnum^n$的子空间，则$\mathcal{M}$存在一组正交基，从而存在一组标准正交基。
\end{proposition}
\begin{proposition}[标准正交基的基扩张定理]
设$\mathcal{M}, \mathcal{N}$是$\realnum^n$的两个子空间，如果$\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}$，则$\mathcal{M}$的任意一组标准正交基都可以扩充成$\mathcal{N}$的一组标准正交基。
\end{proposition}
\begin{proposition}
从$\mathcal{M}$的任意一组基$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_r$出发，通过递归能够得到一组正交基。这种方法称为Gram-Schmidt正交化。具体操作如下：
\begin{align*}
\widetilde{\bvec{q}}_1 & = \bvec{a}_1,\\
\widetilde{\bvec{q}}_2 & = \bvec{a}_2 - \frac{\widetilde{\bvec{q}}_1\trans \bvec{a}_2}{\widetilde{\bvec{q}}_1\trans \widetilde{\bvec{q}}_1}\widetilde{\bvec{q}}_1,\\
\widetilde{\bvec{q}}_3 & = \bvec{a}_3 - \frac{\widetilde{\bvec{q}}_1\trans \bvec{a}_3}{\widetilde{\bvec{q}}_1\trans \widetilde{\bvec{q}}_1}\widetilde{\bvec{q}}_1 - \frac{\widetilde{\bvec{q}}_2\trans \bvec{a}_3}{\widetilde{\bvec{q}}_2\trans \widetilde{\bvec{q}}_2}\widetilde{\bvec{q}}_2,\\
&\vdots\\
\widetilde{\bvec{q}}_r & = \bvec{a}_r - \frac{\widetilde{\bvec{q}}_1\trans \bvec{a}_r}{\widetilde{\bvec{q}}_1\trans \widetilde{\bvec{q}}_1}\widetilde{\bvec{q}}_1 - \frac{\widetilde{\bvec{q}}_2\trans \bvec{a}_r}{\widetilde{\bvec{q}}_2\trans \widetilde{\bvec{q}}_2}\widetilde{\bvec{q}}_2 - \dots - \frac{\widetilde{\bvec{q}}_{r-1}\trans \bvec{a}_r}{\widetilde{\bvec{q}}_{r-1}\trans \widetilde{\bvec{q}}_{r-1}}\widetilde{\bvec{q}}_{r-1}
\end{align*}
为了得到标准正交基，只要再把正交基中的每个向量都单位化即可：$\bvec{q}_i = \dfrac{\widetilde{\bvec{q}}_i}{\norm{\widetilde{\bvec{q}}_i}}$。
\end{proposition}
\section{正交矩阵和QR分解}
\subsection{正交矩阵}
\begin{definition}[正交矩阵]
一个$n$阶方阵$Q$如果满足$Q\trans Q = I_n$，则称$Q$是$n$阶正交矩阵。
\end{definition}
\begin{proposition}[正交矩阵的性质]
对$n$阶方阵$Q$，一下叙述等价：
\begin{enumerate}
\item $Q$是正交矩阵，即$Q\trans Q = I_n$；
\item $Q$可逆，且$Q\revmat = Q\trans$；
\item $QQ\trans = I_n$；
\item $Q\trans$是正交矩阵；
\item $Q$可逆，且$Q\revmat$是正交矩阵；
\item $Q$的列向量组成$\realnum^n$的一组标准正交基；
\item $Q$的行向量的转置组成$\realnum^n$的一组标准正交基。
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proposition}
两个$n$阶正交矩阵的乘积还是$n$阶正交矩阵。
\end{proposition}
\begin{proposition}
对$n$阶方阵$Q$，以下叙述等价：
\begin{enumerate}
\item $Q$是正交矩阵，即$Q\trans Q = I_n$；
\item $Q$为保距变换，即，对任意$\bvec{x} \in \realnum^n$，有$\norm{Q\bvec{x}} = \norm{\bvec{x}}$；
\item $Q$为保内积变换，即，对任意$\bvec{x},\bvec{y} \in \realnum^n$，$Q\bvec{x}$与$Q\bvec{y}$的内积等于$\bvec{x}$与$\bvec{y}$的内积。
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proposition}
给定$\realnum^n$中向量$\bvec{x}, \bvec{y}$，满足$\norm{\bvec{x}} = \norm{\bvec{y}}$，则存在反射$\bvec{H_v}$，其中$\bvec{v} = \dfrac{\bvec{y} - \bvec{x}}{\norm{\bvec{y} - \bvec{x}}}$，使得$\bvec{H_v}(\bvec{x}) = \bvec{y}$。
\end{proposition}
\subsection{QR分解}
\begin{theorem}[可逆矩阵的QR分解]
设$A$是$n$阶可逆矩阵，则存在唯一的分解$A = QR$，其中$Q$是正交矩阵，$R$是对角元都是正数的上三角矩阵。
在Gram-Schmidt正交化中，设
\(A = \begin{bmatrix}
\bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_n
\end{bmatrix},
\widetilde{Q} = \begin{bmatrix}
\widetilde{\bvec{q}}_1 & \widetilde{\bvec{q}}_2 & \cdots & \widetilde{\bvec{q}}_n
\end{bmatrix},
Q = \begin{bmatrix}
\bvec{q}_1 & \bvec{q}_2 & \cdots & \bvec{q}_n
\end{bmatrix}\)。
第一步正交化可以用矩阵乘法表示：
\[A = \widetilde{Q}\widetilde{R}, \widetilde{R} =
\begin{bNiceMatrix}
1 & \dfrac{\widetilde{\bvec{q}}_1\trans \bvec{a}_2}{\widetilde{\bvec{q}}_1\trans \widetilde{\bvec{q}}_1} & \cdots & \dfrac{\widetilde{\bvec{q}}_1\trans \bvec{a}_n}{\widetilde{\bvec{q}}_1\trans \widetilde{\bvec{q}}_1}\\
& 1 & \ddots & \vdots\\
& & \ddots & \dfrac{\widetilde{\bvec{q}}_{n-1}\trans \bvec{a}_n}{\widetilde{\bvec{q}}_{n-1}\trans \widetilde{\bvec{q}}_{n-1}}\\
& & & 1
\end{bNiceMatrix}\]
第二步单位化可以写成$\widetilde{Q} = Q \diag(\norm{\widetilde{\bvec{q}}_i})$，因此
\[A = Q \diag(\norm{\widetilde{\bvec{q}}_i}) \widetilde{R} = QR\eqper\]
\end{theorem}
\begin{definition}
矩阵$Q \in \realnum^{m\times n}$，如果满足$Q\trans Q = I_n$，则称为列正交矩阵。此时$m \geq n$。
\end{definition}
\begin{theorem}[QR分解]
对$m \times n$矩阵$A$，其中$m \geq n$，则
\begin{enumerate}
\item 存在$m \times n$列正交矩阵$Q_1$和具有非负对角元的$n$阶上三角矩阵$R_1$，使得$A = Q_1 R_1$；
\item 进一步地，存在$m$阶正交矩阵$Q$和$m \times n$矩阵$R$，使得$A = QR$，其中
\(R = \begin{bmatrix}
R_1\\ O
\end{bmatrix},
Q = \begin{bmatrix}
Q_1 & Q_2
\end{bmatrix}\)，
即$Q$的列向量组由$Q_1$的列向量组扩充而成。
\end{enumerate}
分解$A = QR$称为$A$的QR分解，$A = Q_1R_1$称为$A$的简化QR分解。
\end{theorem}
\section{子空间和投影}
\subsection{正交补}
\begin{proposition}
如果$\bvec{b}$与$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_s$都正交，则$\bvec{b}$与子空间$\matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \dots, \bvec{a}_s)$中的任意向量都正交。
\end{proposition}
\begin{definition}[子空间正交]
给定$\realnum^n$的子空间$\mathcal{M}, \mathcal{N}$，如果$\mathcal{M}$中任意向量和$\mathcal{N}$中任意向量都正交，则称$\mathcal{M}$与$\mathcal{N}$正交，记为$\mathcal{M} \perp \mathcal{N}$。
特别地，如果$\matspan(\bvec{a}) \perp \mathcal{M}$，则简称向量$\bvec{a}$与子空间$\mathcal{M}$正交，记为$\bvec{a} \perp \mathcal{M}$。
\end{definition}
\begin{definition}[正交补]
给定$\realnum^n$的子空间$\mathcal{M}$，$\realnum^n$的子集$\mathcal{M}\orthocomplementation := \{\bvec{a} \in \realnum^n \mid \bvec{a} \perp \mathcal{M}\}$，称为$\mathcal{M}$的正交补。
\end{definition}
\begin{proposition}
如果$\mathcal{M}$是$\realnum^n$的子空间，则其正交补$\mathcal{M}\orthocomplementation$也是$\realnum^n$的子空间。
\end{proposition}
\begin{proposition}
对$\realnum^n$的子空间$\mathcal{M}$，有：
\begin{enumerate}
\item $\mathcal{M} \cap \mathcal{M}\orthocomplementation = \{\bvec{0}\}$；
\item $\dim \mathcal{M}\orthocomplementation = n - \dim \mathcal{M}$；
\item $(\mathcal{M}\orthocomplementation)\orthocomplementation = \mathcal{M}$；
\item 对任意$\bvec{a} \in \realnum^n$，都存在唯一的分解$\bvec{a} = \bvec{a}_1 + \bvec{a}_2$，使得$\bvec{a}_1 \in \mathcal{M}, \bvec{a}_2 \in \mathcal{M}\orthocomplementation$。
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{theorem}
给定$m \times n$矩阵$A$，则：
\begin{enumerate}
\item $\columnspace{A\trans}\orthocomplementation = \nullspace{A}, \columnspace{A}\orthocomplementation = \nullspace{A\trans}$；
\item $\columnspace{A\trans A} = \columnspace{A\trans}, \nullspace{A\trans A} = \nullspace{A}$；
\end{enumerate}
\end{theorem}
\subsection{正交投影}
\begin{definition}
给定$\realnum^n$的子空间$\mathcal{M}$，线性变换$\bvec{P}_\mathcal{M}$称为子空间$\mathcal{M}$上的正交投影（变换），而$\bvec{a}_1 = \bvec{P}_\mathcal{M}(\bvec{a})$称为向量$\bvec{a}$在$\mathcal{M}$上的正交投影。
\end{definition}
\begin{proposition}
给定$\realnum^n$的子空间$\mathcal{M}$和向量$\bvec{a}$，而$\bvec{a}_1 = \bvec{P}_\mathcal{M}(\bvec{a})$为$\bvec{a}$在$\mathcal{M}$上的正交投影，则$\norm{\bvec{a} - \bvec{a}_1} = \min \limits_{\bvec{x} \in \mathcal{M}} \norm{\bvec{a} - \bvec{x}}$。
如何计算正交投影：设$\listout{\bvec{q}}{r}$是$\mathcal{M}$的一组标准正交基。令
\(Q_R = \begin{bmatrix}
\bvec{q}_1 & \cdots & \bvec{q}_r
\end{bmatrix}\)，
它是列正交矩阵。正交投影$\bvec{P}_\mathcal{M}$的表示矩阵就是$Q_r Q_r\trans$，记为$P_\mathcal{M}$。
\end{proposition}
\begin{definition}
给定矩阵$A$，其列空间上的正交投影的表示矩阵$P_{\columnspace{A}}$，称为关于$A$的正交投影矩阵，简记为$P_A$。
\end{definition}
\begin{proposition}
给定$n$阶方阵$P$，则$P$是正交投影矩阵，当且仅当$P^2 = P\trans = P$。
\end{proposition}
\subsection{最小二乘问题}
\begin{theorem}
向量$\bvec{x}$是线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$的最小二乘解，当且仅当$A\trans A \bvec{x} = A\trans \bvec{b}$。
\end{theorem}

156
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\chapter{行列式}
\section{引子}
\section{行列式函数}
\begin{definition}[行列式]
定义在全体$n$阶方阵上的函数$\delta$，如果满足如下性质：
\begin{enumerate}
\item 列多线性：对每个列向量都线性，即对任意$i = 1, 2, \dots, n$，都有
\[\delta(\dots, k\bvec{a}_i + k^\prime \bvec{a}_i^\prime, \dots) = k\delta(\dots, \bvec{a}_i, \dots) + k^\prime \delta(\dots, \bvec{a}_i^\prime, \dots)\]
\item 列反对称：对任意$i,j = 1, 2, \dots, n$，且$i < j$，都有
\[\delta(\dots, \bvec{a}_i, \dots, \bvec{a}_j, \dots) = - \delta(\dots, \bvec{a}_j, \dots, \bvec{a}_i, \dots)\]
\item 单位化：$\delta(I_n) = 1$
\end{enumerate}
则$\delta$就称为一个$n$阶行列式函数。$n$阶方阵的行列式函数存在且唯一。这个唯一的行列式函数在矩阵$A$的值称为$A$的行列式，记为$\det(A)$或$\abs{A}$。
某个$n$阶方阵的行列式可以直接称为一个$n$阶行列式。
\end{definition}
\begin{proposition}
\begin{enumerate}
\item 如果方阵$A$有两列相等，则$\det(A) = 0$；
\item 如果方阵$A$不满秩，即不可逆，则$\det(A) = 0$；
\item 如果方阵$A$有一列为零或有一行为零，则$\det(A) = 0$。
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proposition}
行列式函数在初等矩阵上的取值均不为零，分别是：
\begin{enumerate}
\item $\det(P_{ij}) = -1$；
\item $\det(E_{ii;k}) = k$；
\item $\det(E_{ji;k}) = 1$。
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proposition}
行列式满足：
\begin{enumerate}
\item 对$A$的第$i,j$列位置互换得到$B = AP_{ij}$，则\[\det(B) = \det(AP_{ij}) = -\det(A)\text{；}\]
\item 对$A$的第$i$列乘非零常数$k$得到$B = AE_{ii;k}$，则\[\det(B) = \det(AE_{ii;k}) = k\det(A)\text{；}\]
\item 把$A$的第$j$列的$k$倍加到第$i$列上得到$B = AE{ji;k}$，则\[\det(B) = \det(AE_{ji;k}) = \det (A)\eqper\]
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{theorem}
行列式函数有如下性质：
\begin{enumerate}
\item 对初等矩阵$E$，则$\det(AE) = \det(A)\det(E)$；
\item 设可逆矩阵$A = E_1 E_2 \dots E_m$，其中$E_i$为初等矩阵，则\[\det(A) = \det(E_1) \det(E_2) \cdots \det(E_m)\text{；}\]
\item $\det(A) \neq 0$当且仅当$A$可逆；
\item $\det(AB) = \det(A)\det(B)$；
\item $\det(A\trans) = \det(A)$。
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proposition}
行列式也具有行线性和行反对称两条性质。
\end{proposition}
\begin{proposition}
满足行线性、行反对称和单位化的关于方阵的函数是行列式函数。
\end{proposition}
\begin{proposition}
定义在$n$阶方阵上的行列式函数如果存在，则唯一。
\end{proposition}
\begin{proposition}
定义在$n$阶方阵上的函数$\delta$，如果满足如下性质：
\begin{enumerate}
\item $\delta(AB) = \delta(A) \delta(B)$；
\item 如果$A$不可逆，那么$\delta(A) = 0$；
\item 如果$A = P_{ij}$是对换矩阵，那么$\delta(A) = -1$；
\item 如果$A = E_{ii;k}$是参数为$k \neq 0$的倍乘矩阵，那么$\delta(A) = k$；
\item 如果$A = E_{ji;k}$是倍加矩阵，那么$\delta(A) = 1$；
\end{enumerate}
则$\delta$就是行列式函数。
\end{proposition}
\section{行列式的展开式}
\begin{definition}[代数余子式]
给定$n$阶方阵$A$，$n \geq 2$，令$A \dbinom{i}{j}$表示从$A$中划去第$i$行和第$j$列得到的$n - 1$阶方阵，则$M_{ij} = \det \left(A \dbinom{i}{j}\right)$，称为元素$a_{ij}$的余子式；而$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} = (-1)^{i+j} \det \left(A \dbinom{i}{j}\right)$，称为元素$a_{ij}$的代数余子式。
\end{definition}
\begin{theorem}
给定$n$阶方阵$A = \begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}$，
$n \geq 2$，则函数$a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + \dots + a_{n1}C_{n1}$是行列式函数，即
\[\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + \dots + a_{n1}C_{n1}\eqco\]
这称为行列式按第一列的展开式。
\end{theorem}
\begin{proposition}
行列式按任意一行或任意一列展开：
\begin{enumerate}
\item 按第$j$列展开：$\det(A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \dots + a_{nj}C_{nj}$；
\item 按第$i$行展开：$\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}$。
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proposition}
令
\(A = \begin{bmatrix}
\bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_n
\end{bmatrix}\)，
再记第$j$列元素的代数余子式组成的向量为
\(\bvec{c}_j = \begin{bmatrix}
C_{1j}\\ C_{2j}\\ \vdots\\ C_{nj}
\end{bmatrix}\)。
则当$j^\prime \neq j$时，$a_{j^\prime}\trans \bvec{c}_j = 0$；当$j^\prime = j$时，有$\bvec{a}_{j^\prime}\trans \bvec{c}_j = \det(A)$。
对某行元素的代数余子式组成的向量，也有类似结论。
\end{proposition}
\begin{definition}
对矩阵
\(A = \begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}\)，
记
\(C = \begin{bmatrix}
C_{ij}
\end{bmatrix}_{n \times n}\)，
即$C$的$(i,j)$元是$a_{ij}$的代数余子式，矩阵$C\trans$常称为A的补矩阵。
\end{definition}
\begin{corollary}[逆矩阵公式]
对可逆矩阵$A$，$A\revmat = \dfrac{1}{\det(A)}C\trans$。
\end{corollary}
\begin{corollary}[Cramer法则]
给定方阵$A$，线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$有唯一解，当且仅当$\det(A) \neq 0$，且有唯一解时，唯一解为
\[x_1 = \frac{\det(B_1)}{\det(A)}, x_2 = \frac{\det(B_2)}{\det(A)}, \dots, x_n = \frac{\det(B_n)}{\det(A)},\]
其中$B_j$是把$A$的第$j$列换成$\bvec{b}$得到的矩阵。
\end{corollary}
\begin{definition}[排列]
将正整数$1, 2, \dots, n$按一定顺序排列起来得到$\listout{\sigma}{n}$，称为一个排列或置换。这里称为排列$\sigma$。
对调排列中两个数的顺序，称为对该排列世家一次对换。
排列$\sigma$，如果可以经过奇数次兑换得到$1, 2, \dots, n$，则称为奇排列；如果可以经过偶数次对换得到$1,2, \dots, n$，则称为偶排列。
\end{definition}
\begin{definition}
对排列$\sigma$，如果它是奇排列，则定义其符号为$\sign(\sigma) = -1$；否则它是偶排列，定义其符号为$\sign(\sigma) = 1$。
\end{definition}
\begin{proposition}[行列式完全展开]
如下等式成立：
\begin{enumerate}
\item $\det(A) = \displaystyle\sum_{\text{排列}\sigma} \sign(\sigma) a_{\sigma_1 1} a_{\sigma_2 2} \dots a_{\sigma_n n}$。
\item $\det(A) = \displaystyle\sum_{\text{排列}\sigma} \sign(\sigma) a_{1 \sigma_1} a_{2 \sigma_2} \dots a_{n \sigma_n}$。
\end{enumerate}
\end{proposition}

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线性代数.tex
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