\chapter{线性空间和线性映射}
\section{线性空间}
\begin{definition}[数域]
    给定$\complexnum$的子集$\fnum$，如果$\fnum$中至少包含一个非零复数，且$\fnum$对复数的加减乘除四则运算封闭，即对任意$a, b \in \fnum$，都有$a + b, a - b, ab \in \fnum$，且当$b \neq 0$时$\dfrac{a}{b}\in \fnum$，则称$\fnum$是一个数域。
\end{definition}

\begin{definition}[线性空间]
    给定非空几个$\spacev$和数域$\fnum$，如果：
    \begin{enumerate}
        \item $\spacev$上定义了加法运算，即对任意$\bvec{a}, \bvec{b} \in \spacev$，都以某种法则对应于$\mathcal{V}$中唯一确定的一个元素，记作$\bvec{a} + \bvec{b}$；
        \item $\spacev$的元素和$\fnum$中的数之间定义了数乘运算，即对任意$\bvec{a} \in \spacev, k \in \fnum$，都以某种法则对应于$\spacev$中唯一确定的一个元素，记作$k \bvec{a}$；
    \end{enumerate}
    且这两种运算满足如下八条运算法则：
    \begin{enumerate}
        \item 加法结合律：对任意$\bvec{a}, \bvec{b}, \bvec{c} \in \spacev$，$(\bvec{a} + \bvec{b}) + \bvec{c} = \bvec{a} + (\bvec{b} + \bvec{c})$；
        \item 加法交换律：对任意$\bvec{a}, \bvec{b} \in \spacev$，$\bvec{a} + \bvec{b} = \bvec{b} + \bvec{a}$；
        \item 零元素：存在元素$\bvec{0} \in \spacev$，对任意$\bvec{a}\in \spacev$，$\bvec{a} + \bvec{0} = \bvec{a}$，其中$\bvec{0}$称为零元素；
        \item 负元素：对任意$\bvec{a} \in \spacev$，存在$\bvec{b} \in \spacev$，满足$\bvec{a} + \bvec{b} = \bvec{0}$，称它为$\bvec{a}$的负元素，记为$-\bvec{a}$；
        \item 单位数：对任意$\bvec{a} \in \spacev$，$1 \bvec{a} = \bvec{a}$；
        \item 数乘结合律：对任意$\bvec{a} \in \spacev$，$k, l \in \fnum$，$(kl)\bvec{a} = k(l\bvec{a})$；
        \item 数乘对数的分配律：对任意$\bvec{a} \in \spacev$，$k, l \in \fnum$，$(k + l)\bvec{a} = k\bvec{a} + l\bvec{a}$；
        \item 数乘对向量的分配律：对任意$\bvec{a} \in \spacev$，$k, l \in \fnum$，$k(\bvec{a} + \bvec{b}) = k\bvec{a} + k\bvec{b}$；
    \end{enumerate}
    则称$\spacev$是$\fnum$上的线性空间或向量空间，其中的元素可以称为向量，零元素和负元素可以称为零向量和负向量。
\end{definition}

\begin{proposition}
    在线性空间中，
    \begin{enumerate}
        \item 零向量唯一；
        \item 任意向量的负向量唯一；
        \item 加法消去律，即由$\bvec{a} + \bvec{b} = \bvec{a} + \bvec{c}$可以推出$\bvec{b} = \bvec{c}$；
        \item 可以移项，即由$\bvec{a} + \bvec{b} = \bvec{c}$可以推出$\bvec{a} = \bvec{c} - \bvec{b}$；
        \item $0\bvec{a} = \bvec{0}, (-1)\bvec{a} = -\bvec{a}, k\bvec{0} = \bvec{0}$；
        \item 可以约系数，即由$k\bvec{a} = \bvec{b}, k \neq 0$可以推出$a = \dfrac{1}{k}\bvec{b}$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

记$m$维向量全体为$\fnum^m$。记$m \times n$矩阵的全体为$\fnum^{m \times n}$。

\begin{enumerate}[label=(\alph{*})]
    \item 定义域为$D$的实值函数$f: D \to \realnum$的全体构成$\realnum$上的线性空间。
    \item 定义域相同的实值连续函数的全体页构成$\realnum$上的线性空间，称为连续函数空间，记为$C(D)$。
    \item 定义域相同的实值无穷次可导函数的全体也构成$\realnum$上的线性空间，称为光滑函数空间，记为$C^\infty(D)$。
    \item 实系数多项式的全体也构成$\realnum$上的线性空间，称为多项式空间，记为$\realnum[x]$。
    \item 次数小于$n$的实系数多项式的全体添上零多项式也构成$\realnum$上的线性空间，记为$\realnum[x]_n$。
    \item 类似地，系数取自$\fnum$的多项式，其全体构成的线性空间记为$\fnum[x]$，同样可以由$\fnum[x]_n$。
\end{enumerate}

\begin{definition}[子空间]
    给定数域$\fnum$上的线性空间$\spacev$及其非空子集$\mathcal{M}$。如果$\mathcal{M}$关于$\spacev$上的加法和数乘也构成线性空间，则称$\mathcal{M}$是$\spacev$的（线性）子空间。
\end{definition}

\begin{proposition}
    线性空间$\spacev$的非空子集$\mathcal{M}$是一个子空间，当且仅当它对加法和数乘封闭。
\end{proposition}

\begin{definition}[子空间的交]
    给定线性空间$\spacev$的两个子空间$\mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2$，集合$\mathcal{M}_1 \cap \mathcal{M}_2$是$\spacev$的子空间，称为子空间$\mathcal{M}_1$与$\mathcal{M}_2$的交。
\end{definition}

\begin{definition}[子空间的和]
    给定线性空间$\spacev$的两个子空间$\mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2$，集合
    \[\mathcal{M}_1 + \mathcal{M}_2 := \{\bvec{m}_1 + \bvec{m}_2 \mid \bvec{m}_1 \in \mathcal{M}_1, \bvec{m}_2 \in \mathcal{M}_2\}\]
    是$\spacev$的子空间，称为子空间$\mathcal{M}_1$与$\mathcal{M}_2$的和。
\end{definition}

\begin{definition}[子空间的直和]
    给定线性空间$\spacev$的两个子空间$\mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2, \mathcal{M} = \mathcal{M}_1 + \mathcal{M}_2$。如果$\mathcal{M}$的任意向量$\bvec{m}$的分解式
    \[\bvec{m} = \bvec{m}_1 + \bvec{m}_2, \bvec{m}_1 \in \mathcal{M}_1, \bvec{m}_2 \in \mathcal{M}_2\]
    唯一，则称$\mathcal{M}$为$\mathcal{M}_1$与$\mathcal{M}_2$的直和，也称$\mathcal{M}_1 + \mathcal{M}_2$是直和，记作$\mathcal{M} = \mathcal{M}_1 \oplus \mathcal{M}_2$。
\end{definition}

\begin{theorem}
    对线性空间$\spacev$的两个子空间$\mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2$，以下叙述等价：
    \begin{enumerate}
        \item $\mathcal{M}_1 + \mathcal{M}_2$是直和；
        \item 零向量由唯一的分解式，即$\bvec{0} = \bvec{m}_1 + \bvec{m}_2, \bvec{m}_1 \in \mathcal{M}_1, \bvec{m}_2 \in \mathcal{M}_2$，推出$\bvec{m}_1 = \bvec{m}_2 = \bvec{0}$。
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\section{基和维数}
\begin{definition}[线性组合、线性生成、线性无关]
    给定数域$\fnum$上的线性空间$\spacev$内的向量组$\listout{\bvec{a}}{n}$和数$\listout{k}{n} \in \fnum$，称向量$k_1 \bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a}_2 + \dots + k_n \bvec{a}_n$是向量组$\listout{\bvec{a}}{n}$的一个线性组合。

    若向量$\bvec{b}$和向量组$\listout{\bvec{a}}{n}$的一个线性组合相等，则称$\bvec{b}$可以被向量组$\listout{\bvec{a}}{n}$线性表示。

    若向量组$\listout{\bvec{b}}{m}$中的每一个向量都可以被向量组$\listout{\bvec{a}}{n}$线性表示，则称向量组$\listout{\bvec{b}}{m}$可以被向量组$\listout{\bvec{a}}{n}$线性表示。

    向量组$\listout{\bvec{a}}{n}$的线性组合的全体构成$\spacev$的一个子空间，称为该向量组（线性）生成的子空间，记作$\matspan(\listout{\bvec{a}}{n})$。

    如果存在$\fnum$内的$n$个不全为0的数$\listout{k}{n}$，使得$k_1 \bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a}_2 + \dots + k_n \bvec{a}_n = \bvec{0}$，则称向量组$\listout{\bvec{a}}{n}$线性相关。

    如果由$k_1 \bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a}_2 + \dots + k_n \bvec{a}_n = \bvec{0}$必定推出$k_1 = k_2 = \dots = k_n = 0$，则称向量组$\listout{\bvec{a}}{n}$线性无关。
\end{definition}

\begin{definition}[极大线性无关部分组]
    给定线性空间$\spacev$中的向量组$\listout{\bvec{a}}{s}$，如果其部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots, \bvec{a}_{i_r}$满足：
    \begin{enumerate}
        \item $\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots, \bvec{a}_{i_r}$线性无关：
        \item $\listout{\bvec{a}}{s}$可以被$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots, \bvec{a}_{i_r}$线性表示；
    \end{enumerate}
    则称$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \dots, \bvec{a}_{i_r}$是$\listout{\bvec{a}}{s}$的一个极大线性无关部分组。
\end{definition}

\begin{proposition}
    如果向量组$\listout{\bvec{a}}{s}$线性无关，则对任意向量$\bvec{b}$，有：
    \begin{enumerate}
        \item 向量组$\listout{\bvec{a}}{s}, \bvec{b}$线性相关当且仅当$\bvec{b}$可以被向量组$\listout{\bvec{a}}{s}$线性表示；
        \item $\bvec{b}$不能被向量组$\listout{\bvec{a}}{s}$线性表示当且仅当$\listout{\bvec{a}}{s}, \bvec{b}$线性无关。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proposition}
    如果向量组$\listout{\bvec{a}}{s}$和$\listout{\bvec{b}}{t}$可以互相线性表示，且两个向量组分别线性无关，则$s = t$。
\end{proposition}

如果两个向量组可以互相线性表示，则称二者线性等价。

\begin{definition}[秩]
    一个向量组$S$的任意一个极大线性无关部分组中向量的个数称为这个向量组的秩，记为$\rank(S)$。一个只包含零向量的向量组的秩定义为零。
\end{definition}

\begin{definition}[基、维数]
    给定数域$\fnum$上的线性空间$\spacev$。如果$\spacev$中存在一个线性无关的向量组，$\spacev$中的任意向量都可以被它线性表示，则称该向量组为$\spacev$的一组基。

    如果$\spacev$中存在$n$个向量组成的一组基，则称$\spacev$为$n$维线性空间，又称$\spacev$的维数是$n$，记为$\dim \spacev = n$。

    如果不加$\spacev$中存在任意多个线性无关的向量，则称其为无限维线性空间；反之，则称其为有限维线性空间。

    单由零向量组成的线性空间$\{\bvec{0}\}$，其维数定义为$0$。
\end{definition}

\begin{proposition}
    对$n$维线性空间$\spacev$，给定其中含有$n$个向量的向量组$\listout{\bvec{a}}{n}$。
    \begin{enumerate}
        \item 如果$\listout{\bvec{a}}{n}$线性无关，则$\listout{\bvec{a}}{n}$是$\spacev$的一组基；
        \item 如果$\spacev = \matspan(\listout{\bvec{a}}{n})$，则$\listout{\bvec{a}}{n}$是$\spacev$的一组基。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proposition}
    有限维线性空间$\spacev$中任意$r$个线性无关的向量$\listout{\bvec{a}}{r}$都可以扩充成$\spacev$的一组基。
\end{proposition}

\begin{corollary}
    给定有限维线性空间$\spacev$的子空间$\mathcal{M}$，则$\mathcal{M}$的任意一组基都可以扩充成$\spacev$的一组基。因此$\dim \mathcal{M} \leq \dim \spacev$。
\end{corollary}

\begin{theorem}
    给定有限维线性空间$\spacev$的两个子空间$\mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2$，先取$\mathcal{M}_1 \cap \mathcal{M}_2$的一组基
    \[R: \listout{\bvec{a}}{r}\eqco\]
    将其分别扩充成$\mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2$的一组基$S$和$T$：
    \begin{align*}
        S: \listout{\bvec{a}}{r}, \listout{\bvec{b}}{s}\eqco\\
        T: \listout{\bvec{a}}{r}, \listout{\bvec{c}}{t}\eqper
    \end{align*}
    此时$R = S\cap T$。向量组$S \cup T: \listout{\bvec{a}}{r}, \listout{\bvec{b}}{s}, \listout{\bvec{c}}{t}$是$\mathcal{M}_1 + \mathcal{M}_2$的一组基。特别地，如下维数公式成立：
    \[\dim(\mathcal{M}_1 + \mathcal{M}_2) = \dim \mathcal{M}_1 + \dim \mathcal{M}_2 - \dim (\mathcal{M}_1 \cap \mathcal{M}_2)\eqper\]
\end{theorem}