\chapter{线性映射与矩阵}
\section{线性映射}

系统中的输入和输出满足\textbf{叠加原理}，即，
\begin{enumerate}
    \item 输入放大或缩小某一倍数时，输出也方法或缩小统一倍数；
    \item 两组输入所产生的输出是二者分别产生的独立输出之和。
\end{enumerate}
满足叠加原理的系统称为\textbf{线性系统}。

\begin{definition}[向量]
    一个$m$元有序数组$\boldsymbol{a} = 
    \begin{bmatrix}
        a_1\\
        a_2\\
        \vdots\\
        a_m
    \end{bmatrix}$
    称为一个$m$维\textbf{向量}，实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$称为向量$\boldsymbol{a}$的\textbf{分量}或\textbf{坐标}。

    分量都是实数的$m$维向量的全体构成的集合记为$\mathbb{R}^m$。
\end{definition}

一般地，$n$个输入$m$个输出的线性系统可以表示成如下映射：

\begin{equation*}
    \begin{matrix}
        f: & \mathbb{R}^n & \to & \mathbb{R}^m\eqco\\
        &\bvec{x} = 
        \begin{bmatrix}
            x_1\\
            x_2\\
            \vdots\\
            x_n    
        \end{bmatrix} &
        \mapsto &
        \bvec{y} = 
        \begin{bmatrix}
            y_1\\
            y_2\\
            \vdots\\
            y_m
        \end{bmatrix}
        =
        \begin{bmatrix}
            a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n\\
            a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n\\
            \vdots\\
            a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n\\
        \end{bmatrix} 
    \end{matrix}
\end{equation*}


\begin{definition}[线性运算]
    为$\mathbb{R}^m$中的向量定义两种运算
    \begin{enumerate}
        \item 两个$m$维向量的\textbf{向量加法}：
        $\begin{bmatrix}
            a_1\\
            a_2\\
            \vdots\\
            a_m
        \end{bmatrix} 
        +
        \begin{bmatrix}
            b_1\\
            b_2\\
            \vdots\\
            b_m
        \end{bmatrix}
        :=
        \begin{bmatrix}
            a_1 + b_1 \\
            a_2 + b_2 \\
            \vdots\\
            a_m + b_m
        \end{bmatrix}
        $；
        \item 一个$m$维向量与一个实数的\textbf{相乘}：
        $k
        \begin{bmatrix}
            a_1\\
            a_2\\
            \vdots\\
            a_m
        \end{bmatrix}
        :=
        \begin{bmatrix}
            ka_1\\
            ka_2\\
            \vdots\\
            ka_m
        \end{bmatrix}
        $；
    \end{enumerate}
    向量的加法和数乘统称为向量的\textbf{线性运算}。

    带有线性运算的集合$\mathbb{R}^m$，称为\textbf{向量空间}$\mathbb{R}^m$或\textbf{线性空间}$\mathbb{R}^m$。
\end{definition}

\begin{proposition}
    线性空间$\mathbb{R}^m$中的向量加法和数乘满足如下八条运算法则：
    \begin{enumerate}
        \item 加法结合律：$(\bvec{a} + \bvec{b}) + \bvec{c} = \bvec{a} + (\bvec{b} + \bvec{c})$；
        \item 加法交换律：$\bvec{a} + \bvec{b} = \bvec{b} + \bvec{a}$；
        \item 零向量：存在$m$维\textbf{零向量}$\bvec{0} = 
        \begin{bmatrix}
            0\\
            0\\
            \vdots\\
            0
        \end{bmatrix}$
        ，满足$\bvec{a} + \bvec{0} = \bvec{a}$；
        \item 负向量：对任意$\bvec{a} = 
        \begin{bmatrix}
            a_1\\
            a_2\\
            \vdots\\
            a_m
        \end{bmatrix}$
        ，记$-\bvec{a} = 
        \begin{bmatrix}
            -a_1\\
            -a_2\\
            \vdots\\
            -a_m
        \end{bmatrix}$
        ，则$\bvec{a} + (-\bvec{a}) = \bvec{0}$，称$-\bvec{a}$为$\bvec{a}$的负向量；
        \item 单位数：$1\bvec{a} = \bvec{a}$；
        \item 数乘结合律：$(kl)\bvec{a} = k(l\bvec{a})$；
        \item 数乘关于数的分配律：$(k+l)\bvec{a} = k\bvec{a} + l\bvec{a}$；
        \item 数乘关于向量的分配律：$k(\bvec{a}+\bvec{b}) = k\bvec{a} + k\bvec{b}$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{definition}[线性映射]
    映射$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，如果满足
    \begin{enumerate}
        \item 任取$\bvec{x},\bvec{x'} \in \mathbb{R}^n$，都有$f(\bvec{x}+\bvec{x'}) = f(\bvec{x}) + f(\bvec{x'})$；
        \item 任取$\bvec{x} \in \mathbb{R}^n, k \in \mathbb{R}$，都有$f(k\bvec{x}) = kf(\bvec{x})$；
    \end{enumerate}
    则称$f$为从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^m$的\textbf{线性映射}。
\end{definition}

\begin{definition}[线性变换]
    从$\mathbb{R}^n$到自身的线性映射称为$\mathbb{R}^n$上的\textbf{线性变换}。

    特别地，$\mathbb{R}^n$上的\textbf{恒同变换}
    \begin{align*}
        \bvec{I} = \id : \mathbb{R}^n & \to \mathbb{R}^n\\
        \bvec{x} & \mapsto \bvec{x}
    \end{align*}
    是线性变换。
\end{definition}

\section{线性映射的表示矩阵}
\begin{definition}[标准坐标向量组]
    我们称线性空间中的一组向量$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots , \bvec{a}_n$为一个向量组。首先考虑定义域$\mathbb{R}^n$中一组特殊的向量
    \begin{equation*}
        \bvec{e}_1 = 
        \begin{bmatrix}
            1\\ 0\\ \vdots \\ 0    
        \end{bmatrix}, 
        \bvec{e}_2 = 
        \begin{bmatrix}
            0\\ 1\\ \vdots \\ 0    
        \end{bmatrix},
        \cdots ,
        \bvec{e}_n = 
        \begin{bmatrix}
            0\\ 0\\ \vdots \\ 1    
        \end{bmatrix}.
    \end{equation*}
    这组向量称为$\mathbb{R}^n$的\textbf{标准坐标向量组}，其中$\bvec{e}_i$称为第$i$个\textbf{标准坐标向量}。
\end{definition}

$\mathbb{R}^n$中的任意向量
$\bvec{x} = 
\begin{bmatrix}
    x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n    
\end{bmatrix}$
都可以有它们做线性运算得到：
\begin{equation*}
    \bvec{x} = x_1 \bvec{e}_1 + x_2 \bvec{e}_2 + \cdots + x_n \bvec{e}_n \eqper
\end{equation*}
对线性映射$f$，由于线性映射保持线性运算，因此有
\begin{equation*}
    f(\bvec{x}) = x_1f(\bvec{e}_1) + x_2f(\bvec{e}_2) + \cdots + x_nf(\bvec{e}_n)\eqper
\end{equation*}

\begin{definition}[线性组合与线性表示]
    给定$\mathbb{R}^m$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots , \bvec{a}_n$和一组数$k_1$，$k_2$，$\cdots$，$k_n \in \mathbb{R}$，称向量$k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \cdots + k_n\bvec{a}_n$是向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots , \bvec{a}_n$的一个\textbf{线性组合}。
    
    设$\bvec{b}$是$\mathbb{R}^m$中的向量，如果存在一组数$k_1, k_2, \cdots , k_n \in \mathbb{R}$，使得$\bvec{b} = k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \cdots + k_n\bvec{a}_n$，则称$\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots , \bvec{a}_n$\textbf{线性表示}。
\end{definition}