\chapter{行列式}
\section{引子}

\section{行列式函数}
\begin{definition}[行列式]
    定义在全体$n$阶方阵上的函数$\delta$，如果满足如下性质：
    \begin{enumerate}
        \item 列多线性：对每个列向量都线性，即对任意$i = 1, 2, \dots, n$，都有
        \[\delta(\dots, k\bvec{a}_i + k^\prime \bvec{a}_i^\prime, \dots) = k\delta(\dots, \bvec{a}_i, \dots) + k^\prime \delta(\dots, \bvec{a}_i^\prime, \dots)\]
        \item 列反对称：对任意$i,j = 1, 2, \dots, n$，且$i < j$，都有
        \[\delta(\dots, \bvec{a}_i, \dots, \bvec{a}_j, \dots) = - \delta(\dots, \bvec{a}_j, \dots, \bvec{a}_i, \dots)\]
        \item 单位化：$\delta(I_n) = 1$
    \end{enumerate}
    则$\delta$就称为一个$n$阶行列式函数。$n$阶方阵的行列式函数存在且唯一。这个唯一的行列式函数在矩阵$A$的值称为$A$的行列式，记为$\det(A)$或$\abs{A}$。

    某个$n$阶方阵的行列式可以直接称为一个$n$阶行列式。
\end{definition}

\begin{proposition}
    \begin{enumerate}
        \item 如果方阵$A$有两列相等，则$\det(A) = 0$；
        \item 如果方阵$A$不满秩，即不可逆，则$\det(A) = 0$；
        \item 如果方阵$A$有一列为零或有一行为零，则$\det(A) = 0$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proposition}
    行列式函数在初等矩阵上的取值均不为零，分别是：
    \begin{enumerate}
        \item $\det(P_{ij}) = -1$；
        \item $\det(E_{ii;k}) = k$；
        \item $\det(E_{ji;k}) = 1$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proposition}
    行列式满足：
    \begin{enumerate}
        \item 对$A$的第$i,j$列位置互换得到$B = AP_{ij}$，则\[\det(B) = \det(AP_{ij}) = -\det(A)\text{；}\]
        \item 对$A$的第$i$列乘非零常数$k$得到$B = AE_{ii;k}$，则\[\det(B) = \det(AE_{ii;k}) = k\det(A)\text{；}\]
        \item 把$A$的第$j$列的$k$倍加到第$i$列上得到$B = AE{ji;k}$，则\[\det(B) = \det(AE_{ji;k}) = \det (A)\eqper\]
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{theorem}
    行列式函数有如下性质：
    \begin{enumerate}
        \item 对初等矩阵$E$，则$\det(AE) = \det(A)\det(E)$；
        \item 设可逆矩阵$A = E_1 E_2 \dots E_m$，其中$E_i$为初等矩阵，则\[\det(A) = \det(E_1) \det(E_2) \cdots \det(E_m)\text{；}\]
        \item $\det(A) \neq 0$当且仅当$A$可逆；
        \item $\det(AB) = \det(A)\det(B)$；
        \item $\det(A\trans) = \det(A)$。
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proposition}
    行列式也具有行线性和行反对称两条性质。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    满足行线性、行反对称和单位化的关于方阵的函数是行列式函数。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    定义在$n$阶方阵上的行列式函数如果存在，则唯一。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    定义在$n$阶方阵上的函数$\delta$，如果满足如下性质：
    \begin{enumerate}
        \item $\delta(AB) = \delta(A) \delta(B)$；
        \item 如果$A$不可逆，那么$\delta(A) = 0$；
        \item 如果$A = P_{ij}$是对换矩阵，那么$\delta(A) = -1$；
        \item 如果$A = E_{ii;k}$是参数为$k \neq 0$的倍乘矩阵，那么$\delta(A) = k$；
        \item 如果$A = E_{ji;k}$是倍加矩阵，那么$\delta(A) = 1$；
    \end{enumerate}
    则$\delta$就是行列式函数。
\end{proposition}

\section{行列式的展开式}
\begin{definition}[代数余子式]
    给定$n$阶方阵$A$，$n \geq 2$，令$A \dbinom{i}{j}$表示从$A$中划去第$i$行和第$j$列得到的$n - 1$阶方阵，则$M_{ij} = \det \left(A \dbinom{i}{j}\right)$，称为元素$a_{ij}$的余子式；而$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} = (-1)^{i+j} \det \left(A \dbinom{i}{j}\right)$，称为元素$a_{ij}$的代数余子式。
\end{definition}

\begin{theorem}
    给定$n$阶方阵$A = \begin{bmatrix}
        a_{ij}
    \end{bmatrix}$，
    $n \geq 2$，则函数$a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + \dots + a_{n1}C_{n1}$是行列式函数，即
    \[\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + \dots + a_{n1}C_{n1}\eqco\]
    这称为行列式按第一列的展开式。
\end{theorem}

\begin{proposition}
    行列式按任意一行或任意一列展开：
    \begin{enumerate}
        \item 按第$j$列展开：$\det(A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \dots + a_{nj}C_{nj}$；
        \item 按第$i$行展开：$\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proposition}
    令
    \(A = \begin{bmatrix}
        \bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_n
    \end{bmatrix}\)，
    再记第$j$列元素的代数余子式组成的向量为
    \(\bvec{c}_j = \begin{bmatrix}
        C_{1j}\\ C_{2j}\\ \vdots\\ C_{nj}
    \end{bmatrix}\)。
    则当$j^\prime \neq j$时，$a_{j^\prime}\trans \bvec{c}_j = 0$；当$j^\prime = j$时，有$\bvec{a}_{j^\prime}\trans \bvec{c}_j = \det(A)$。

    对某行元素的代数余子式组成的向量，也有类似结论。
\end{proposition}

\begin{definition}
    对矩阵
    \(A = \begin{bmatrix}
        a_{ij}
    \end{bmatrix}\)，
    记
    \(C = \begin{bmatrix}
        C_{ij}
    \end{bmatrix}_{n \times n}\)，
    即$C$的$(i,j)$元是$a_{ij}$的代数余子式，矩阵$C\trans$常称为A的补矩阵。
\end{definition}

\begin{corollary}[逆矩阵公式]
    对可逆矩阵$A$，$A\revmat = \dfrac{1}{\det(A)}C\trans$。
\end{corollary}

\begin{corollary}[Cramer法则]
    给定方阵$A$，线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$有唯一解，当且仅当$\det(A) \neq 0$，且有唯一解时，唯一解为
    \[x_1 = \frac{\det(B_1)}{\det(A)}, x_2 = \frac{\det(B_2)}{\det(A)}, \dots, x_n = \frac{\det(B_n)}{\det(A)},\]
    其中$B_j$是把$A$的第$j$列换成$\bvec{b}$得到的矩阵。
\end{corollary}

\begin{definition}[排列]
    将正整数$1, 2, \dots, n$按一定顺序排列起来得到$\listout{\sigma}{n}$，称为一个排列或置换。这里称为排列$\sigma$。

    对调排列中两个数的顺序，称为对该排列世家一次对换。

    排列$\sigma$，如果可以经过奇数次兑换得到$1, 2, \dots, n$，则称为奇排列；如果可以经过偶数次对换得到$1,2, \dots, n$，则称为偶排列。
\end{definition}

\begin{definition}
    对排列$\sigma$，如果它是奇排列，则定义其符号为$\sign(\sigma) = -1$；否则它是偶排列，定义其符号为$\sign(\sigma) = 1$。
\end{definition}

\begin{proposition}[行列式完全展开]
    如下等式成立：
    \begin{enumerate}
        \item $\det(A) = \displaystyle\sum_{\text{排列}\sigma} \sign(\sigma) a_{\sigma_1 1} a_{\sigma_2 2} \dots a_{\sigma_n n}$。
        \item $\det(A) = \displaystyle\sum_{\text{排列}\sigma} \sign(\sigma) a_{1 \sigma_1} a_{2 \sigma_2} \dots a_{n \sigma_n}$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}