\chapter{子空间和维数}
\section{基本概念}
\begin{proposition}
    \begin{enumerate}
        \item 线性映射$\bvec{A}$是单射，当且仅当线性方程组$A \bvec{x} = \bvec{0}_m$只有唯一解$\bvec{0}_n$；
        \item 线性映射$\bvec{A}$是满射，当且仅当对任意$\bvec{b} \in \realnum^m$，线性方程组$\bvec{A}(\bvec{x}) = A \bvec{x} = \bvec{b}$有解。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{definition}
    映射$\bvec{A}$的像集记为$\columnspace{A}$，即，
    \[\columnspace{A} = \{\bvec{b} \in \realnum^n \mid \exists \bvec{x} \in \realnum^n, A\bvec{x} = \bvec{b}\} = \{A\bvec{x} \mid x \in \realnum^n\} \subseteq \realnum^m\eqper\]
\end{definition}

\begin{proposition}
    对$m \times n$矩阵$A$，有：
    \begin{enumerate}
        \item 线性映射$\bvec{A}$是满射当且仅当$\columnspace{A} = \realnum^m$；
        \item 线性映射$\bvec{A}$是单射，当且仅当$\nullspace{A} = \{\bvec{0}\}$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{definition}[子空间]
    设$\mathcal{M}$是线性空间$\realnum^m$的非空子集，如果对任意$\bvec{a}, \bvec{b} \in \mathcal{M}, k \in \realnum$都满足如下两个条件：
    \begin{enumerate}
        \item $\bvec{a} + \bvec{b} \in \mathcal{M}$；
        \item $k\bvec{a} \in \mathcal{M}$；
    \end{enumerate}
    则称$\mathcal{M}$为$\realnum^m$的一个（线性）子空间。

    特别地，$\realnum^m$有两个平凡子空间，即$\{\bvec{0}\}$和$\realnum^m$自身。二者之外的子空间，称为非平凡子空间。
\end{definition}

\begin{proposition}
    给定$m \times n$矩阵$A$，则：
    \begin{enumerate}
        \item $\columnspace{A}$是$\realnum^m$的子空间，称为矩阵$A$的列（向量）空间；
        \item $\nullspace{A}$是$\realnum^n$的子空间，称为矩阵$A$的零空间，也称为其齐次线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{0}$的解空间。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{definition}[线性生成]
    设$S: \bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$是$\realnum^m$中的向量组，其线性组合的全体构成$\realnum^m$的一个子集，记作
    \[\matspan(S) = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n):=\{k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \cdots + k_n\bvec{a}_n \mid k_1, k_2, \cdots, k_n \in \realnum\}\eqco\]
    称为向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$（线性）生成的子集，而$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$称为该集合的一组生成向量。
\end{definition}

\begin{proposition}
    设$A = 
    \begin{bmatrix}
        \bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_n
    \end{bmatrix}$
    ，则：
    \begin{enumerate}
        \item $\columnspace{A} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n)$。
        \item 向量$\bvec{b} \in \columnspace{A}$当且仅当它可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示，即当且仅当线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$有解。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proposition}
    设$S$是$\realnum^m$中的向量组，则：
    \begin{enumerate}
        \item 子集$\matspan(S)$是$\realnum^m$的子空间。
        \item 如果$S$中的向量都在$\realnum^m$的某个子空间中，则$\matspan(S)$中的向量也都在该子空间中。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{definition}[线性相关与线性无关]
    给定$\realnum^m$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$，如果存在不全为零的一组数$k_1, k_2, \cdots, k_n \in \realnum$，使得$k_1\bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a}_2 + \cdots k_n \bvec{a}_n = \bvec{0}$，则称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性相关。

    否则，$k_1\bvec{a}_1 + k_2 \bvec{a}_2 + \cdots k_n \bvec{a}_n = \bvec{0}$一定给出$k_1 = k_2 = \cdots = k_n = 0$，此时称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性无关。
\end{definition}

\begin{definition}[子空间的基]
    给定$\realnum^m$的子空间$\mathcal{M}$，若$\mathcal{M}$中存在有限个向量$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$满足：
    \begin{enumerate}
        \item $\mathcal{M}$中的任意向量都可以被该向量组线性表示，即$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n)$；
        \item 该向量组线性无关；
    \end{enumerate}
    则称向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$是子空间$\mathcal{M}$的一组基。
\end{definition}

\begin{proposition}
    线性空间$\realnum^m$中，如果$n > m$，则任意$n$个向量都线性相关。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    设$m$阶方阵$A = 
    \begin{bmatrix}
        \bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_m
    \end{bmatrix}$
    则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_m$是$\realnum^m$的一组基当且仅当$A$可逆。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    如果向量$\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示，则其表示法唯一当且仅当向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性无关。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    给定$\realnum^m$的子空间$\mathcal{M}$，则$\mathcal{M}$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$是$\mathcal{M}$的一组基，当且仅当该向量组满足：
    \begin{enumerate}
        \item $\mathcal{M}$中的任意向量都可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示，即$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n)$；
        \item 且该表示法唯一。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{definition}
    设$\mathcal{M}, \mathcal{N}$是$\realnum^m$的两个子空间，定义子空间$\mathcal{M}$与$\mathcal{N}$的和$\mathcal{M} + \mathcal{N}$：
    \[\mathcal{M} + \mathcal{N} := \{\bvec{m} + \bvec{n} \mid \bvec{m} \in \mathcal{M}, \bvec{n} \in \mathcal{N}\}\eqper\]
\end{definition}

\section{基和维数}
\subsection{向量的线性关系}
\begin{definition}
    设$S,T$是$\realnum^m$中的两个向量组，如果$S$中的每一个向量都可以被$T$线性表示，则称向量组$S$可以被$T$线性表示。
\end{definition}

\begin{definition}[极大线性无关部分组]
    给定$\realnum^m$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$，设它的一个部分组是$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots , \bvec{a}_{i_r}$，如果满足：
    \begin{enumerate}
        \item $\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots , \bvec{a}_{i_r}$线性无关；
        \item $\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$可以被$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots , \bvec{a}_{i_r}$线性表示；
    \end{enumerate}
    则称$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots , \bvec{a}_{i_r}$是$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$的一个极大线性无关部分组。
\end{definition}

\begin{proposition}
    如果向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性无关，那么对任意向量$\bvec{b}$，有：
    \begin{enumerate}
        \item $\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示，当且仅当向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n, \bvec{b}$线性相关；
        \item $\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n, \bvec{b}$线性无关，当且仅当$\bvec{b}$不能被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性表示。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proposition}
    任意有限个不全为零的向量组成的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$都存在极大线性无关部分组。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    设$S: \bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n; T: \bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \cdots, \bvec{b}_p$是$\realnum^m$中的两个向量组，以下叙述等价：
    \begin{enumerate}
        \item $S$可以被$T$线性表示；
        \item 存在$p \times n$矩阵$U$满足
        \(\begin{bmatrix}
            \bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_n
        \end{bmatrix}
        =
        \begin{bmatrix}
            \bvec{b}_1 & \bvec{b}_2 & \cdots & \bvec{b}_p
        \end{bmatrix}
        U\)；
        \item 线性生成的子空间满足$\matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n) \subseteq \matspan(\bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \cdots, \bvec{b}_n)$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proposition}
    给定$\realnum^m$中的三个向量组$S:\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_p; T:\bvec{b}_1, \bvec{b}_2, \cdots, \bvec{b}_n;R: \bvec{c}_1, \bvec{c}_2, \cdots, \bvec{c}_q$。若向量组$S$可以被$T$线性表示，$T$可以被$R$线性表示，则$S$可以被$R$线性表示。这称为向量组之间线性表示的传递性。
\end{proposition}

\begin{definition}
    如果两个向量组可以互相线性表示，则称二者线性等价。特别地，如果一个向量组和某个向量线性等价，则称该向量组中的向量共线。
\end{definition}

\begin{proposition}
    设$S,T$是$\realnum^m$中的两个向量组，则$S$与$T$线性等价当且仅当$\matspan(S) = \matspan(T)$。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    向量组的线性等价是等价关系。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    设向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$可以被$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_p$线性表示。
    \begin{enumerate}
        \item 如果$n > p$，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性相关；
        \item 如果$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$线性无关，则$n \leq p$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{corollary}
    设向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_n$和$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_p$线性等价，如果两个向量组都线性无关，则$n = p$。
\end{corollary}

\begin{definition}[秩]
    一个向量组$S$的任意一个极大线性无关部分组中的向量的个数为这个向量组的秩，记为$\rank(S)$。一个只包含零向量的向量组的秩定义为零。
\end{definition}

\subsection{基和维数}
\begin{theorem}[基存在定理]
    给定$\realnum^m$的子空间$\mathcal{M}$，如果$\mathcal{M} \neq \{\bvec{0}\}$，则$\mathcal{M}$存在一组基，且基中向量个数不大于$m$。
\end{theorem}

\begin{theorem}[基扩充定理]
    设$\mathcal{M}, \mathcal{N}$是$\realnum^m$的子空间，且$\mathcal{M} \neq \{\bvec{0}\}$。如果$\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}$，则$\mathcal{M}$的任意一组基都能扩充成$\mathcal{N}$的一组基。特别地，当$\mathcal{N} = \realnum^m$时，子空间$\mathcal{M}$的任意一组基都能扩充成$\realnum^m$的一组基。
\end{theorem}

\begin{definition}[维数]
    一个子空间$\mathcal{M}$的任意一组基中向量的个数称为这个子空间的位数，记为$\dim \mathcal{M}$。平凡子空间$\{\bvec{0}\}$的位数定义为零。

    维数是$r$的子空间，常称为$r$维子空间。
\end{definition}

\begin{theorem}
    \begin{enumerate}
        \item 线性空间$\realnum^m$的维数是$m$；
        \item 设$\mathcal{M}$是$\realnum^m$的子空间，则$\dim \mathcal{M} \leq m$；
        \item 设$\mathcal{M}, \mathcal{N}$是$\realnum^m$的两个子空间，且$\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}$，则$\dim \mathcal{M} \leq \dim \mathcal{N}$。
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proposition}
    设$\mathcal{M}$是$\realnum^m$的$r$维子空间，给定$\mathcal{M}$中含有$r$个向量的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r$。
    \begin{enumerate}
        \item 如果$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r$线性无关，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r$是$\mathcal{M}$的一组基；
        \item 如果$\mathcal{M} = \matspan(\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r)$，则$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots, \bvec{a}_r$是$\mathcal{M}$的一组基。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proposition}
    设$\mathcal{M}, \mathcal{N}$是$\realnum^m$的两个子空间，且$\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}$。如果$\dim \mathcal{M} = \dim \mathcal{N}$，则$\mathcal{M} = \mathcal{N}$。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    给定$m$阶方阵$A$，$\bvec{A}: \realnum^m \to \realnum^m, \bvec{x} \mapsto A \bvec{x}$是其诱导的线性变换，以下叙述等价：
    \begin{enumerate}
        \item $A$可逆，即存在$m$阶方阵$B$，满足$AB = BA = I_m$；
        \item 存在$m$阶方阵$B$，满足$BA = I_m$；
        \item 存在$m$阶方阵$B$，满足$AB = I_m$；
        \item $\bvec{A}$是双射；
        \item $\bvec{A}$是单射；
        \item $\bvec{A}$是满射。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\section{矩阵的秩}
\begin{definition}[秩]
    矩阵$A$的列空间的维数$\dim \columnspace{A}$称为矩阵$A$的秩，记为$\rank(A)$。
\end{definition}

\begin{proposition}
    设矩阵
    \(A = 
    \begin{bmatrix}
        \bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_n
    \end{bmatrix}\)
    与矩阵
    \(B =
    \begin{bmatrix}
        \bvec{b}_1 & \bvec{b}_2 & \cdots & \bvec{b}_n
    \end{bmatrix}\)
    左相抵，则：
    \begin{enumerate}
        \item 部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots, \bvec{a}_{i_r}$线性无关当且仅当对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \cdots, \bvec{b}_{i_r}$线性无关。
        \item $A$的列$\bvec{a}_j(j = 1,2, \cdots, n)$可以被部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots, \bvec{a}_{i_r}$表示，即$\bvec{a}_j = k_1 \bvec{a}_{i_1} + k_2 \bvec{a}_{i_2} + \cdots + k_r \bvec{a}_{i_r}$，当且仅当$B$对应的列$\bvec{b}_j$可以被对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \cdots, \bvec{b}_{i_r}$线性表示，且表示法相同，即$\bvec{b}_j = k_1 \bvec{b}_{i_1} + k_2 \bvec{b}_{i_2} + \cdots + k_r \bvec{b}_{i_r}$。
        \item 部分组$\bvec{a}_{i_1}, \bvec{a}_{i_2}, \cdots, \bvec{a}_{i_r}$是$A$的列向量组的极大线性无关部分组当且仅当相对应的部分组$\bvec{b}_{i_1}, \bvec{b}_{i_2}, \cdots, \bvec{b}_{i_r}$是$B$的列向量组的极大线性无关部分组。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{corollary}
    矩阵的行简化阶梯形唯一。
\end{corollary}

\begin{proposition}
    $\rank(A)$等于$A$化成的阶梯形矩阵的阶梯数。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    矩阵$A$的行空间的维数$\rank(A\trans)$等于$A$化成的阶梯形矩阵的阶梯数。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    设$A$是$m \times n$矩阵，则$\rank(A\trans) = \rank(A)$。
\end{proposition}

\begin{definition}
    设$m \times n$矩阵
    \(A =
    \begin{bmatrix}
        \bvec{a}_1 & \bvec{a}_2 & \cdots & \bvec{a}_n
    \end{bmatrix}\)。
    当$\rank(A) = n$时，称矩阵$A$列满秩。当$\rank(A) = m$时，称矩阵$A$行满秩。

    特别地，如果$\rank(A) = m = n$，则称矩阵$A$满秩。
\end{definition}

\begin{proposition}
    设$A$是$m \times n$矩阵，$\bvec{A}: \realnum^n \to \realnum^m, \bvec{x} \mapsto A \bvec{x}$是其诱导的线性映射，则：
    \begin{enumerate}
        \item $\bvec{A}$是满射当且仅当$A$行满秩。
        \item $\bvec{A}$是单射当且仅当$A$列满秩。
        \item $\bvec{A}$是双射当且仅当$A$满秩。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proposition}
    \begin{enumerate}
        \item 矩阵$A$可逆当且仅当$A$满秩。
        \item 矩阵$A$是零矩阵当且仅当$\rank(A) = 0$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proposition}
    设$A,B$分别为$l \times m$矩阵和$m \times n$矩阵，则$\columnspace{AB} \subseteq \columnspace{A}$。特别地，如果$B$可逆，则$\columnspace{AB} = \columnspace{A}$。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    设$A,B$分别是$l \times m$矩阵和$m \times n$矩阵，则：
    \[\rank(AB) \leq \rank(A),\quad \rank(AB) \leq \rank(B)\eqco\]
    即矩阵乘法不增加秩。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    设$A$是$m \times n$矩阵，$P$和$Q$分别是$m$阶和$n$阶可逆矩阵，则$\rank(PAQ) = \rank(A)$。即，矩阵的秩在初等行变换和初等列变换下不变。
\end{proposition}

\begin{definition}[相抵]
    如果矩阵$A$可以经过一系列初等行变换和初等列变换化成矩阵$B$，则称$A$和$B$相抵。
\end{definition}

\begin{proposition}
    给定两个$m \times n$矩阵$A,B$。那么二者相抵，当且仅当存在$m$阶可逆矩阵$P$和$n$阶可逆矩阵$Q$，使得$PAQ = B$。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    设$A$是$m \times n$矩阵，则存在$m$阶可逆矩阵$P$和$n$阶可逆矩阵$Q$，使得$PAQ = D_r =
    \begin{bmatrix}
        I_r & O\\
        O & O
    \end{bmatrix}$，
    其中$r = \rank(A)$。
\end{proposition}

\begin{definition}
    命题中的$D_r$称为矩阵$A$的相抵标准形。
\end{definition}

\begin{corollary}
    设$A,B$是$m \times n$矩阵，则$A$和$B$相抵，当且仅当$\rank(A) = \rank(B)$。
\end{corollary}

\section{线性方程组的解集}
\begin{theorem}
    设$A$是$m \times n$矩阵，秩为$r$，它的行简化阶梯形矩阵包含$r$个主变量，$n-r$个自由变量。对齐次线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{0}$，设$\bvec{k}_i$是第$i$个自由变量取$1$，其余自由变量都取$0$时得到的解，由此得到$n - r$个解$\bvec{k}_1, \bvec{k}_2, \cdots, \bvec{k}_{n-r}$。这$n-r$个解是零空间$\nullspace{A}$的一组基，其中$r = \rank(A)$。特别地，$\dim \nullspace{A} = n - \rank(A)$。
\end{theorem}

\begin{definition}
    称$A\bvec{x} = \bvec{0}$是$A\bvec{x} = \bvec{b}$的导出方程组。$A\bvec{x} = \bvec{b}$的一个解$\bvec{k}_0$称为特解。
\end{definition}

\begin{theorem}
    设线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$的一个特解是$\bvec{k}_0$，其到处方程组的解空间$\nullspace{A}$的一组基是$\bvec{k}_1, \bvec{k}_2, \cdots, \bvec{k}_{n-r}$，其中$r = \rank(A)$，则$A\bvec{x} = \bvec{b}$的解集就是
    \[\{\bvec{k}_0 + c_1\bvec{k}_1 + c_2 \bvec{k}_2 + \cdots + c_{n-r} \bvec{k}_{n-r} \mid c_1, c_2, \cdots, c_{n-r} \in \realnum\}\eqper\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[判定定理]
    对$n$个变量的线性方程组$A\bvec{x} = \bvec{b}$，它的解有如下情形：
    \begin{enumerate}
        \item 它有解，当且仅当其系数矩阵与增广矩阵秩相等，即$\rank(A) = \rank(
        \begin{bmatrix}
            A & \bvec{b}
        \end{bmatrix})$；
        \item 它有唯一解，当且仅当$\rank(A) = \rank(
            \begin{bmatrix}
                A & \bvec{b}
            \end{bmatrix}
        ) = n$；
        \item 它有无穷多组解，当且仅当$\rank(A) = \rank(
            \begin{bmatrix}
                A & \bvec{b}
            \end{bmatrix}
        ) < n$。
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}[维数公式]
    设$A$是$m \times n$矩阵，则
    \[\dim \columnspace{A} + \dim \nullspace{A} = n,\quad \dim \columnspace{A\trans} + \dim \nullspace{A\trans} = m\eqper\]
\end{theorem}

\begin{definition}
    $\realnum^m$的子空间$\nullspace{A\trans}$，称为矩阵$A$的左零空间，得名于其中向量$\bvec{x}$满足$\bvec{x}\trans A = \bvec{0}\trans$。
\end{definition}