\chapter{特征值和特征向量}
\section{引子}
\begin{theorem}[代数学基本定理]
    复系数一元$n$次多项式在$\complexnum$上至少有一个根。
\end{theorem}

\begin{corollary}
    复系数一元$n$次多项式$p(x)$，在$\complexnum$上恰好有$n$个根（可能相同），即存在因式分解$p(x) = a_0(x- x_1)^{n_1} (x - x_2)^{n_2}\dots (x - x_s)^{n_s}$，其中$n_1 + n_2 + \dots + n_s  = n$。

    在上述因式分解中，$n_i$称为复根$x_i$的重数，$x_i$称为$p(x)$的$n_i$重根。
\end{corollary}

\begin{theorem}[Vieta定理]
    复系数一元$n$次多项式$p(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n$的$n$个根（计重数）$x_1, x_2, \dots, x_n$满足：
    \begin{align*}
        -\frac{a_1}{a_0} & = x_1 + x_2 + \dots + x_n,\\
        & ~ \vdots\\
        (-1)^k \frac{a_k}{a_0} & = \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_k \leq n} x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_k},\\
        & ~ \vdots\\
        (-1)^n \frac{a_n}{a_0} & = x_1 x_2 \dots x_n\eqper
    \end{align*}
\end{theorem}

如果不加特别说明，本章将出现的矩阵都是复矩阵。

\section{基本概念}
\begin{definition}[特征值]
    给定$n$阶方阵$A$，如果对$\lambda \in \complexnum$，存在非零向量$\bvec{x} \in \complexnum^n$，使得$A\bvec{x} = \lambda \bvec{x}$，则称$\lambda$为方阵$A$（在$\complexnum$上）得一个特征值，而称非零向量$\bvec{x}$为方阵$A$（在$\complexnum$上）得一个属于特征值$\lambda$的特征向量。

    二元组$(\lambda, \bvec{x})$常称为方阵$A$的一个特征对。

    特别地，对实方阵$A$，如果特征对$(\lambda, \bvec{x})$满足$\lambda \in \realnum, \bvec{x} \in \realnum^n$，则分别称二者为$A$在$\realnum$上的特征值和特征向量，称该二元组为$A$在$\realnum$上的特征对。
\end{definition}

\begin{proposition}
    数$\lambda_0$是$A$的特征值，当且仅当$\det(\lambda_0 I_n - A) = 0$特别地，$0$是$A$的特征值当且仅当$A$不可逆。
\end{proposition}

\begin{definition}
    多项式
    \[p_A(\lambda) := \det(\lambda I_n - A) = 
    \begin{vmatrix}
        \lambda - a_{11} & - a_{12} & \cdots & -a_{1n}\\
        -a_{21} & \lambda - a_{22} & \ddots & \vdots\\
        \vdots & \ddots & \ddots & -a_{n-1,n}\\
        -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn}
    \end{vmatrix}\]
    称为矩阵$A$的特征多项式。
\end{definition}

\begin{theorem}
    设$n$阶方阵$A$的特征多项式为$p_A(\lambda)$，那么：
    \begin{enumerate}
        \item 数$\lambda_0$是$A$的特征值，当且仅当$p_A(\lambda_0) = 0$，即$\lambda_0$是特征多项式$p_A(\lambda)$的根。
        \item 向量$\bvec{x}_0 \in \complexnum^n$是$A$的属于$\lambda_0$的特征向量，当且仅当$\bvec{x}_0 \in \nullspace{\lambda_0 I_n - A}$且$\bvec{x}_0 \neq 0$，即$\bvec{x}_0$是$\lambda_0 I_n - A$的零空间中的非零向量。
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proposition}
    上（下）三角矩阵的全部特征值就是其所有对角元素。
\end{proposition}

\begin{theorem}[Gershgorin圆盘定理]
    对矩阵
    \(A = \begin{bmatrix}
        a_{ij}
    \end{bmatrix}_{n \times n}\)，
    定义如下$n$个圆盘
    \[G_i(A) := \left\{z \bigg| \abs{z - a_{ii}} \leq \sum_{j \neq i} \abs{a_{ij}}\right\}\eqco\]
    那么矩阵的任意特征值$\lambda$一定落在某个圆盘中。因此，矩阵的全部特征值一定落在这$n$个圆盘中。
\end{theorem}

\begin{definition}[代数重数]
    给定$n$阶方阵$A$及$A$的一个特征值$\lambda_0 \in \complexnum$，如果$\lambda_0$是特征多项式$p_A(\lambda)$的$n_0$重根，则称$n_0$为$\lambda_0$作为$A$的特征值的代数重数（简称重数），称$\lambda_0$是$A$的一个$n_0$重特征值。

    一个1重特征值，又称为单特征值。
\end{definition}

\begin{proposition}
    给定$n$阶实方阵$A$，如果$\lambda_0$是它的一个非实数特征值，则$\overline{\lambda}_0$也是它的特征值，且其代数重数和$\lambda_0$的代数重数相等。进一步地，如果复向量$\bvec{x}_0$是属于$\lambda_0$的特征向量，则$\overline{\bvec{x}}_0$是属于$\overline{\lambda}_0$的特征向量。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    给定$n$阶方阵$A$，其特征多项式具有如下形式：
    \[p_A(\lambda) = \lambda^n - \trace(A) \lambda^{n-1} + \dots + (-1)^n \det(A)\eqper\]
\end{proposition}

\section{对角化和谱分解}
如果线性空间存在一组基$\bvec{x}_1, \bvec{x}_2,\dots, \bvec{x}_n$，且基向量$\bvec{x}_i(i = 1, 2, \dots, n)$是矩阵$A$的属于$\lambda_i$的特征向量，那么$A$可以写作$A + X\varLambda X\revmat$，其中
\(X = \begin{bmatrix}
    \bvec{x}_1 & \bvec{x}_2 & \dots & \bvec{x}_n
\end{bmatrix}\)，
$\varLambda = \diag(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$。

\begin{definition}[谱分解]
    对方阵$A$，如果存在可逆矩阵$X$使得$X\revmat A X = \varLambda$是对焦矩阵，则称$A$是（在$\complexnum$上）可对角化的，$X$把$A$对角化，或$X$对角化$A$。

    如果方阵$A, X, \varLambda$都是实矩阵，则称$A$在$\realnum$上可对角化。

    当$A$可对角化，分解$A = X \varLambda X\revmat$称为$A$的谱分解。
\end{definition}

\begin{proposition}
    对$n$阶方阵$A$，$A$可对角化，当且仅当$A$有$n$个线性无关的特征向量。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。
\end{proposition}

\begin{corollary}
    有$n$个不同特征值的$n$阶方阵，即特征值都是单特征值的方阵，可对角化。
\end{corollary}

\begin{definition}[几何重数]
    给定$n$阶方阵$A$及其特征值$\lambda_0$，称特征子空间$\nullspace{\lambda_0I_n - A}$的维数为$\lambda_0$作为$A$的特征值的几何重数。
\end{definition}

\begin{proposition}
    方阵的特征值的几何重数不大于其代数重数。
\end{proposition}

\begin{definition}
    几何重数和代数重数相等的特征值，称为半单特征值。几何重数小于代数重数的特征值，称为亏损特征值。
\end{definition}

\begin{theorem}
    \begin{enumerate}
        \item $n$阶方阵$A$可对角化，当且仅当其特征值都半单。
        \item $n$阶是方阵$A$在$\realnum$上可对角化，当且仅当其特征多项式的根都是实根，且其特征值都半单。
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proposition}
    设分块对角矩阵
    \(A = \begin{bmatrix}
        A_1 & & & \\
        & A_2 & & \\
        & & \ddots & \\
        & & & A_r
    \end{bmatrix}\)，
    其中$A_i, i = 1, 2, \dots, r$都是方阵，则$A$可对角化当且仅当所有的$A_i$都可对角化。
\end{proposition}

\begin{example}
    将$A$对角化。
\end{example}
\begin{enumerate}
    \item 求特征值：求$\det(\lambda I - A) = 0$的根$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k$。
    \item 对每个$\lambda_i$，求$\nullspace{\lambda_i I - A}$的一组基$\bvec{x}_{i,1}, \bvec{x}_{i,2}, \dots, \bvec{x}_{i,r_i}$。
    \item 若有亏损特征值，则$A$不可对角化；若所有的特征值都是半单的，则令
    \[X = \begin{bmatrix}
        \bvec{x}_{1,1} & \cdots & \bvec{x}_{1,r_1} & \bvec{x}_{2,1} & \cdots & \bvec{x}_{2, r_2} & \cdots & \bvec{x}_{k,1} & \cdots & \bvec{x}_{k, r_k}
    \end{bmatrix}\]
    \[\varLambda = \diag(\underbrace{\lambda_1 \dots \lambda_1}_{r_1\text{个}}\underbrace{\lambda_2 \dots \lambda_2}_{r_2\text{个}}\dots \underbrace{\lambda_k \dots \lambda_k}_{r_k\text{个}})\]
    则有$A = X\varLambda X\revmat$。
\end{enumerate}

\section{相似}
\begin{definition}[相似]
    对方阵$A, B$，如果存在可逆矩阵$X$使得$X\revmat A X = B$，则称$A$和$B$相似，或$A$相似于$B$。
\end{definition}

\begin{proposition}
    方阵的相似关系是等价关系。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    方阵的相似关系有如下不变量：
    \begin{enumerate}
        \item 秩；
        \item 特征多项式、特征值、特征值的代数重数、迹、行列式；
        \item 特征值的几何重数。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{corollary}
    两个对角矩阵相似当且仅当它们的对角元素除排列次序外相同。
\end{corollary}

\begin{definition}
    如果$A$可对角化，则称对角化得到的对角矩阵为$A$的相似标准形。
\end{definition}

\begin{proposition}
    对$n$阶方阵$A$，存在可逆矩阵$X$，使得$X\revmat A X = T$是上三角矩阵，且$T$的对角元素是$A$的$n$个特征值（记重数）。进一步地，通过选择特定的$X$，能够令$T$的对角元素是$A$的特征值的任意排列。
\end{proposition}

\begin{theorem}[Hamilton-Cayley定理]
    设方阵$A$的特征多项式为$p_A(\lambda)$，则$p_A(A) = O$。
\end{theorem}

\begin{theorem}[Jordan分解]
    对$n$阶方阵$A$，存在可逆矩阵$X$，使得
    \[X\revmat A X = J = \begin{bmatrix}
        J_{n_1}(\lambda_1) & & & \\
        & J_{n_2}(\lambda_2) & & \\
        & & \ddots & \\
        & & & J_{n_r}(\lambda_r)
    \end{bmatrix}\eqco\]
    其中
    \(J_{n_i}(\lambda_i) = \begin{bmatrix}
        \lambda_i & 1 & & \\
        & \lambda_i & \ddots &\\
        & & \ddots & 1\\
        & & & \lambda_i
    \end{bmatrix}_{n_i \times n_i}\)
    是$n_i$阶Jordan块，而$n_1 + n_2 + \dots + n_r = n$，且除了这些Jordan块的排列次序外，$J$被$A$唯一确定。注意$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_r$中可能有相同的数。另外，当$A$是实方阵且$\lambda_i$全是实数时，$X$也可取作实方阵。
\end{theorem}

\begin{definition}
    设$A, B$是$n$阶方阵，如果存在可逆矩阵$X$使得$X\revmat A X = \varLambda_1$和$X\revmat B X = \varLambda_2$都是对角矩阵，则称$A, B$可以同时对角化。
\end{definition}

\begin{proposition}
    对可对角化的$n$阶方阵$A, B$，以下叙述等价：
    \begin{enumerate}
        \item $A,B$可以同时对角化；
        \item 存在$n$个线性无关的向量，同时是$A, B$的特征向量；
        \item $A, B$可交换，即$AB = BA$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}