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TeX
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\chapter{线性映射与矩阵}
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\section{线性映射}
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系统中的输入和输出满足\textbf{叠加原理}，即，
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\begin{enumerate}
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\item 输入放大或缩小某一倍数时，输出也方法或缩小统一倍数；
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\item 两组输入所产生的输出是二者分别产生的独立输出之和。
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\end{enumerate}
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满足叠加原理的系统称为\textbf{线性系统}。
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\begin{definition}[向量]
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一个$m$元有序数组$\boldsymbol{a} =
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\begin{bmatrix}
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a_1\\
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a_2\\
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\vdots\\
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a_m
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||
\end{bmatrix}$
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称为一个$m$维\textbf{向量}，实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$称为向量$\boldsymbol{a}$的\textbf{分量}或\textbf{坐标}。
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分量都是实数的$m$维向量的全体构成的集合记为$\mathbb{R}^m$。
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\end{definition}
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一般地，$n$个输入$m$个输出的线性系统可以表示成如下映射：
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\begin{equation*}
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\begin{matrix}
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f: & \mathbb{R}^n & \to & \mathbb{R}^m\eqco\\
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&\bvec{x} =
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\begin{bmatrix}
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x_1\\
|
||
x_2\\
|
||
\vdots\\
|
||
x_n
|
||
\end{bmatrix} &
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\mapsto &
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\bvec{y} =
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\begin{bmatrix}
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y_1\\
|
||
y_2\\
|
||
\vdots\\
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||
y_m
|
||
\end{bmatrix}
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||
=
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\begin{bmatrix}
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||
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n\\
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||
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n\\
|
||
\vdots\\
|
||
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n\\
|
||
\end{bmatrix}
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||
\end{matrix}
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\end{equation*}
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\begin{definition}[线性运算]
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为$\mathbb{R}^m$中的向量定义两种运算
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\begin{enumerate}
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\item 两个$m$维向量的\textbf{向量加法}：
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$\begin{bmatrix}
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a_1\\
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||
a_2\\
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\vdots\\
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||
a_m
|
||
\end{bmatrix}
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||
+
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||
\begin{bmatrix}
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||
b_1\\
|
||
b_2\\
|
||
\vdots\\
|
||
b_m
|
||
\end{bmatrix}
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||
:=
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||
\begin{bmatrix}
|
||
a_1 + b_1 \\
|
||
a_2 + b_2 \\
|
||
\vdots\\
|
||
a_m + b_m
|
||
\end{bmatrix}
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$；
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\item 一个$m$维向量与一个实数的\textbf{相乘}：
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$k
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\begin{bmatrix}
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a_1\\
|
||
a_2\\
|
||
\vdots\\
|
||
a_m
|
||
\end{bmatrix}
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||
:=
|
||
\begin{bmatrix}
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||
ka_1\\
|
||
ka_2\\
|
||
\vdots\\
|
||
ka_m
|
||
\end{bmatrix}
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||
$；
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\end{enumerate}
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向量的加法和数乘统称为向量的\textbf{线性运算}。
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带有线性运算的集合$\mathbb{R}^m$，称为\textbf{向量空间}$\mathbb{R}^m$或\textbf{线性空间}$\mathbb{R}^m$。
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\end{definition}
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\begin{proposition}
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线性空间$\mathbb{R}^m$中的向量加法和数乘满足如下八条运算法则：
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\begin{enumerate}
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\item 加法结合律：$(\bvec{a} + \bvec{b}) + \bvec{c} = \bvec{a} + (\bvec{b} + \bvec{c})$；
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\item 加法交换律：$\bvec{a} + \bvec{b} = \bvec{b} + \bvec{a}$；
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\item 零向量：存在$m$维\textbf{零向量}$\bvec{0} =
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\begin{bmatrix}
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||
0\\
|
||
0\\
|
||
\vdots\\
|
||
0
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\end{bmatrix}$
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，满足$\bvec{a} + \bvec{0} = \bvec{a}$；
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\item 负向量：对任意$\bvec{a} =
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\begin{bmatrix}
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a_1\\
|
||
a_2\\
|
||
\vdots\\
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a_m
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||
\end{bmatrix}$
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，记$-\bvec{a} =
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\begin{bmatrix}
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-a_1\\
|
||
-a_2\\
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||
\vdots\\
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||
-a_m
|
||
\end{bmatrix}$
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，则$\bvec{a} + (-\bvec{a}) = \bvec{0}$，称$-\bvec{a}$为$\bvec{a}$的负向量；
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\item 单位数：$1\bvec{a} = \bvec{a}$；
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\item 数乘结合律：$(kl)\bvec{a} = k(l\bvec{a})$；
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\item 数乘关于数的分配律：$(k+l)\bvec{a} = k\bvec{a} + l\bvec{a}$；
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\item 数乘关于向量的分配律：$k(\bvec{a}+\bvec{b}) = k\bvec{a} + k\bvec{b}$。
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\end{enumerate}
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\end{proposition}
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\begin{definition}[线性映射]
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映射$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，如果满足
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\begin{enumerate}
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\item 任取$\bvec{x},\bvec{x'} \in \mathbb{R}^n$，都有$f(\bvec{x}+\bvec{x'}) = f(\bvec{x}) + f(\bvec{x'})$；
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\item 任取$\bvec{x} \in \mathbb{R}^n, k \in \mathbb{R}$，都有$f(k\bvec{x}) = kf(\bvec{x})$；
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\end{enumerate}
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则称$f$为从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^m$的\textbf{线性映射}。
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\end{definition}
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\begin{definition}[线性变换]
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从$\mathbb{R}^n$到自身的线性映射称为$\mathbb{R}^n$上的\textbf{线性变换}。
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特别地，$\mathbb{R}^n$上的\textbf{恒同变换}
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\begin{align*}
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\bvec{I} = \id : \mathbb{R}^n & \to \mathbb{R}^n\\
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\bvec{x} & \mapsto \bvec{x}
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\end{align*}
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是线性变换。
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\end{definition}
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\section{线性映射的表示矩阵}
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\begin{definition}[标准坐标向量组]
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我们称线性空间中的一组向量$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots , \bvec{a}_n$为一个向量组。首先考虑定义域$\mathbb{R}^n$中一组特殊的向量
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\begin{equation*}
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\bvec{e}_1 =
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\begin{bmatrix}
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1\\ 0\\ \vdots \\ 0
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\end{bmatrix},
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\bvec{e}_2 =
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\begin{bmatrix}
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||
0\\ 1\\ \vdots \\ 0
|
||
\end{bmatrix},
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||
\cdots ,
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||
\bvec{e}_n =
|
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\begin{bmatrix}
|
||
0\\ 0\\ \vdots \\ 1
|
||
\end{bmatrix}.
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\end{equation*}
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这组向量称为$\mathbb{R}^n$的\textbf{标准坐标向量组}，其中$\bvec{e}_i$称为第$i$个\textbf{标准坐标向量}。
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\end{definition}
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$\mathbb{R}^n$中的任意向量
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$\bvec{x} =
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\begin{bmatrix}
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x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n
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\end{bmatrix}$
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都可以有它们做线性运算得到：
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\begin{equation*}
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\bvec{x} = x_1 \bvec{e}_1 + x_2 \bvec{e}_2 + \cdots + x_n \bvec{e}_n \eqper
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\end{equation*}
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对线性映射$f$，由于线性映射保持线性运算，因此有
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\begin{equation*}
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f(\bvec{x}) = x_1f(\bvec{e}_1) + x_2f(\bvec{e}_2) + \cdots + x_nf(\bvec{e}_n)\eqper
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\end{equation*}
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\begin{definition}[线性组合与线性表示]
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给定$\mathbb{R}^m$中的向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots , \bvec{a}_n$和一组数$k_1$，$k_2$，$\cdots$，$k_n \in \mathbb{R}$，称向量$k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \cdots + k_n\bvec{a}_n$是向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots , \bvec{a}_n$的一个\textbf{线性组合}。
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设$\bvec{b}$是$\mathbb{R}^m$中的向量，如果存在一组数$k_1, k_2, \cdots , k_n \in \mathbb{R}$，使得$\bvec{b} = k_1\bvec{a}_1 + k_2\bvec{a}_2 + \cdots + k_n\bvec{a}_n$，则称$\bvec{b}$可以被向量组$\bvec{a}_1, \bvec{a}_2, \cdots , \bvec{a}_n$\textbf{线性表示}。
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\end{definition} |