diff --git a/02函数及其连续性.tex b/02函数及其连续性.tex index 77ae39d..2708869 100644 --- a/02函数及其连续性.tex +++ b/02函数及其连续性.tex @@ -625,7 +625,7 @@ $x = 0$是$f$的第二类间断点。 \section{一致连续性} \begin{definition} 令$f: I \to \realnum$，$I$是一个区间（开、闭、半开半闭、有界、无界均可），如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得 - \[\forall x^\prime, x^{\prime \prime} \in I\text{只要满足}\vert x^\prime - x^{\prime \prime} < \delta \text{都有}\vert f(x^\prime) - f(x^{\prime \prime} \vert < \varepsilon)\] + \[\forall x^\prime, x^{\prime \prime} \in I\text{只要满足} \vert x^\prime - x^{\prime \prime} \vert < \delta \text{都有}\vert f(x^\prime) - f(x^{\prime \prime}) \vert < \varepsilon\] 则称$f$在$I$上一致连续。 \end{definition} diff --git a/07函数的积分.tex b/07函数的积分.tex index dea620f..c8cc670 100644 --- a/07函数的积分.tex +++ b/07函数的积分.tex @@ -576,6 +576,27 @@ C^n [a,b] = \{f \in C[a,b] \mid f^{(n)} \in C[a,b]\}\] 当$p \leq 1$时无穷积分$\dint_a^{+\infty} \dfrac{\dif x}{x^p}$发散到无穷。 \end{proof} +\begin{example}\label{广义积分例子} + 讨论广义积分$\dint_e^{+\infty} \dfrac{1}{x(\ln x)^p} \dif x$的收敛性。 +\end{example} + +\begin{proof}[解] + $p = 1$时， + \[\int_e^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^p} \dif x = \int_e^{+\infty} \frac{1}{\ln x} \dif \ln x = \eval{\ln \ln x}_e^{+\infty} = + \infty \eqper\] + + $p \neq 1$时， + \begin{align*} + \int_e^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^p \dif x} & = \int_e^{+\infty} \frac{1}{(\ln x)^p} \dif \ln x\\ + & = \eval{\frac{1}{1 - p}(\ln x)^{1 - p}}_e^{+\infty}\\ + & = \begin{cases} + \frac{1}{p - 1}, p > 1\\ + +\infty, p < 1 + \end{cases} + \end{align*} + + 综上，$\dint_1^{+\infty} \frac{1}{x (\ln x)^p} \dif x$当$p > 1$时收敛，当$p \leq 1$时发散。 +\end{proof} + \begin{theorem}[广义Newtown-Leibniz公式] 设$f \in C[a,+\infty)$有原函数$F \in C[a,+\infty)$，则 \[\int_a^{+\infty} f(x) \dif x = \eval{F(x)}_a^{+\infty} = \tolim{x}{+\infty} F(x) - F(a)\eqper\] diff --git a/10数项级数.tex b/10数项级数.tex new file mode 100644 index 0000000..de5f0d4 --- /dev/null +++ b/10数项级数.tex @@ -0,0 +1,294 @@ +\chapter{数项级数} +\section{无穷级数的概念} +\begin{definition} + 无穷级数 + \begin{equation}\label{数项级数例子} + \sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n + \cdots + \end{equation} + 的前$n$项的和 + \[S_n = a_1 + \dots + a_n\] + 称为这个级数的第$n$个部分和。如果这些部分和构成的数列$\{S_n\}$有有限的极限$S$，就说级数\eqref{数项级数例子}是收敛的，其和为$S$，记作 + \[\sum_{n=1}^\infty a_n = S\] + 如果数列$\{S_n\}$中没有有限的极限，就说级数\eqref{数项级数例子}是发散的。 +\end{definition} + +\begin{remark} + 这个定义就意味着$\dsum_{n=1}^{+\infty}$收敛（发散）等价于$\{S_n\}$收敛（发散）。 +\end{remark} + +\begin{example} + \[\sum_{n = 1}^{\infty} n = 1 + 2 + 3 + \dots + n + \cdots \eqper\] +\end{example} + +\begin{proof}[解] + \[S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2} \to + \infty\] + 因此，级数$\dsum_{n = 1}^\infty n$发散。 +\end{proof} + +结论可以推广到一般的等差级数都是发散的，除非通项为0。 + +\begin{example} + \[\sum_{n = 1}^\infty = \frac{1}{\sqrt{n}} \eqper\] +\end{example} + +\begin{proof}[解] + \[S_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}}} > \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} \to +\infty\] + 由此导出级数$\dsum_{n = 1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$发散。 +\end{proof} + +\begin{example} + 求$S = \dsum_{n = 1}^{+\infty} \frac{n}{2^n}$。 +\end{example} + +\begin{proof}[解] + \begin{align*} + a_n & = \frac{n}{2^n}\\ + a_{n + 1} & = \frac{n + 1}{2^{n + 1}} = \frac{n}{2^{n + 1}} + \frac{1}{2^{n + 1}} = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{2^{n + 1}}\\ + S - \frac{1}{2} & = \sum_{n = 1}^{+\infty} a_{n + 1} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{a_n}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{2^{n + 1}} = \frac{1}{2} S + \frac{1}{2}\\ + S & = 2\qedhere + \end{align*} +\end{proof} + +\section{无穷级数的性质} +\subsection*{通项性质} +\begin{theorem} + 如果$\sum a_n$收敛，则$\tolim{n}{\infty} a_n = 0$。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + 记$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n, n = 1, 2, \dots$。那么$a_n = S_n - S_{n - 1}$。已知 + \[\tolim{n}{\infty} S_n = S\] + 极限存在，因此 + \[\tolim{n}{\infty} a_n = \tolim{n}{\infty} (S_n - S_{n - 1}) = S - S = 0\eqper \qedhere\] +\end{proof} + +这个命题的逆命题不成立，$\tolim{n}{\infty} a_n = 0$是$\sum a_n$收敛的必要条件。 + +\subsection*{线性性质} +\begin{theorem} + 设$\sum a_n, \sum b_n$都收敛，则$\sum (\alpha a_n + \beta b_n)$收敛于$\alpha \sum a_n + \beta \sum b_n$。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + 令$A_n = \dsum_{k = 1}^n a_k \to A, B_n = \dsum_{k = 1}^n b_k \to B (n \to \infty)$。 + + 那么 + \begin{align*} + \sum_{k = 1}^n (\alpha a_k + \beta b_k) & = \alpha \sum_{k = 1}^n a_k + \beta \sum_{k = 1}^n b_k\\ + & = \alpha A_n + \beta B_n \to \alpha A + \beta B \eqper \qedhere + \end{align*} +\end{proof} + +\subsection*{结合律} +\begin{theorem} + 在收敛级数中任意加括号得到新级数仍收敛，且和不变。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + 由收敛数列的子列的性质立得。 +\end{proof} + +\begin{corollary} + 如果加括号后的级数发散，则原级数必发散。 +\end{corollary} + +\subsection*{``截尾''性质} +\begin{theorem} + 级数$\dsum_{n = 1}^{\infty} a_n$的收敛性由其它任意$k$项后的余项级数$\dsum_{n = k + 1}^\infty a_n$决定。 +\end{theorem} + +\begin{corollary} + 改变级数的有限项其收敛性不变（收敛级数的和会改变）。 +\end{corollary} + +\section{正项级数的收敛性判别} +\begin{definition}[正项级数（非负级数）] + 级数 + \[\sum_{n=1}^\infty a_n, a_n > 0, n = 1, 2, \dots (a_n \geq 0)\] + 称为正项级数（非负级数）。 +\end{definition} + +\begin{corollary} + 正项级数的部分和数列是（严格）单调增的。 +\end{corollary} + +\begin{theorem} + 正项级数$\dsum_{n = 1}^\infty a_n$收敛的充分必要条件是其部分和数列$\{S_n\}$有界。 +\end{theorem} + +\begin{theorem}[Cauchy积分判别法] + 若函数$f: [1, +\infty) \to \realnum$非负单调减，$a_n = f(n), n = 1, 2, \dots$则级数$\dsum_{n = 1}^\infty a_n$与无穷积分$\dint_1^{+\infty} f(x) \dif x$同时收敛或发散。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + 由$f$单调减，当$n \leq x \leq n + 1$， + \[a_{n + 1} = f(n + 1) \leq f(x) \leq f(n) = a_n, n = 1, 2, \dots\] + 在$[n, n+1]$上积分 + \[a_{n + 1} \leq \int_{n}^{n + 1} f(x) \dif x \leq a_n , n = 1, 2, \dots\] + 关于$n$从1到$N$求和（$N = 1, 2, \dots$） + \[\sum_{n = 1}^N a_{n + 1} \leq \int_1^{N + 1} f(x) \dif x \leq \sum_{n = 1}^N a_n \eqper \qedhere\] +\end{proof} + +\begin{example} + 判断敛散性： + \(\dsum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^p (\ln n)^\alpha}\)。 +\end{example} + +\begin{proof} + 考虑函数$f(x) = \dfrac{1}{x^p (\ln x)^\alpha} > 0$的无穷积分 + \[\int_2^{+\infty} f(x) \dif x = \int_2^{+\infty} \frac{\dif x}{x^p (\ln x)^\alpha}\] + 参考\ref{广义积分例子}得到结论：级数$\dsum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^p (\ln n)^\alpha}$仅在$p > 1$或者 + \(\begin{cases} + p = 1\\ + \alpha > 1 + \end{cases}\) + 时收敛。 +\end{proof} + +\begin{theorem}[比较判别法] + 设有两个正项级数$\sum a_n$和$\sum b_n$。设$n$充分大之后有$0 \leq a_n \leq b_n$， + \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})] + \item 若$\sum b_n$收敛，则$\sum a_n$也收敛； + \item 若$\sum a_n$发散，则$\sum b_n$必发散。 + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + 只证（1）。对于正项级数，考虑部分和数列有界即可。 +\end{proof} + +\begin{theorem}[比较判别法的极限形式] + 设$n$充分大之后$a_n, b_n > 0$且$\tolim{n}{\infty} \frac{a_n}{b_n} = c, 0 < c < + \infty$，则级数$\sum a_n$与$\sum b_n$有同样的敛散性。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + 依题意$n$充分大后有 + \[\frac{c}{2} \leq \frac{a_n}{b_n} \leq \frac{3c}{2}\] + 进而 + \[\frac{cb_n}{2} \leq a_n \leq \frac{3cb_n}{2}\] + 由此应用比较判别法便导出结论。 +\end{proof} + +\begin{remark} + 若上面$c = 0$，则可由$\sum b_n$收敛导出$\sum a_n$收敛； + + 若上面$c = +\infty$，则可由$\sum b_n$发散导出$\sum a_n$发散。 +\end{remark} + +\begin{theorem}[比阶法] + 设$n$充分大之后$a_n > 0$，且$\tolim{n}{\infty} n^p a_n = c, 0 < c < +\infty$， + \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})] + \item 若$p > 1$则级数$\sum a_n$收敛； + \item 若$p \leq 1$则级数$\sum a_n$发散。 + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{remark} + 若上面$c = 0$，$a_n$是$\dfrac{1}{n^p}$的高阶无穷小，$p > 1$时级数收敛； + + 若上面$c = +\infty$，$a_n$是$\dfrac{1}{n^p}$的低阶无穷小，$p \leq 1$时级数发散。 +\end{remark} + +\begin{example} + 研究收敛性：$\dsum_{n = 1}^\infty \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right)$。 +\end{example} + +\begin{proof}[解] + 注意$\ln \left(1 + \frac{1}{n}\right) \sim \dfrac{1}{n} (n \to \infty)$。 + + 已知级数$\dsum_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{n}$发散，所以$\dsum_{n = 1}^\infty \ln \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)$发散。 +\end{proof} + +\begin{theorem}[Cauchy根式判别法] + 设$\sum a_n$是一个正项级数。 + \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})] + \item 如果存在证书$q < 1$，使得对充分大的$n$都有 + \[\sqrt[n]{a_n} \leq q < 1\] + 那么级数$\sum a_n$收敛； + \item 如果对无穷多个$n$都有 + \[\sqrt[n]{a_n} \geq 1\] + 那么级数$\sum a_n$发散。 + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + 对（1），已知$n$充分大后$0 \leq a_n \leq q^n$，而$\sum q^n$收敛，因此由比较判别法知$\sum a_n$收敛。 + + 对（2），有无穷多项都不小于1，因而$\tolim{n}{\infty} a_n \neq 0$，因此级数$\sum a_n$发散。 +\end{proof} + +\begin{theorem}[Cauchy根式判别法的极限形式] + 设对所有$n = 1, 2, \dots$有$a_n \geq 0$，且 + \[\tolim{n}{\infty} \sup \sqrt[n]{a_n} = q\] + 那么 + \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})] + \item 当$q < 1$时，$\sum a_n$收敛； + \item 当$q > 1$时，$\sum a_n$发散。 + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + 由题，$n$充分大时有$\abs{\sqrt[n]{a_n} - q} < \varepsilon$。当$q < 1$时，存在$\varepsilon_0 > 0$使得$q + \varepsilon < 1$。因此存在$N$，使得$n > N$时有$\sqrt[n]{a_n} < q + \varepsilon_0 < 1$，而$\sum (q + \varepsilon_0)^n$收敛，由比较判别法可知级数收敛。 + + （2）的证明是类似的。 +\end{proof} + +\begin{remark} + 定理中的$q = 1$时，代表此方法不能判定敛散性。 +\end{remark} + +\begin{theorem}[D' Alembert比值判别法] + \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})] + \item 如果存在正数$q < 1$，使得当$n \geq n_0$时有 + \[\frac{a_{n + 1}}{a_n} \leq q\] + 那么级数$\sum a_n$收敛； + \item 如果当$n \geq n_0$时有 + \[\frac{a_{n + 1}}{a_n} \geq 1\] + 那么级数$\sum a_n$发散。 + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + 对（1）：不妨令$a_n > 0$，$\dfrac{a_{n + 1}}{a_n} \leq q, n = 1, 2, \dots$。由此，有 + \[0 < a_{n + 1} \leq q a_n \leq q^2 a_{n - 1} \leq \dots \leq q^n a_1\] + 注意$0 < q < 1$，$\sum q^n$收敛，因此$\sum a_n$收敛。 + + 对（2）：此时级数不满足$\tolim{n}{\infty} a_n = 0$。 +\end{proof} + +\begin{theorem}[D' Alembert比值判别法的极限形式] + 设$n$充分大后$a_n > 0$。 + \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})] + \item 如果$\tolim{n}{\infty} \sup \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = q < 1$，那么$\sum a_n < + \infty$； + \item 如果$\tolim{n}{\infty} \inf \dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = q^\prime > 1$，那么$\sum a_n = +\infty$。 + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\section{一般级数} +一般级数$\sum a_n$是指$a_n$可正可负。 + +\begin{theorem}[Cauchy收敛原理] + 级数$\sum a_n$收敛的充分必要条件是，对任意$\varepsilon > 0$，存在正整数$N$，当$n > N$时， + \[\abs{a_{n + 1} + \dots + a_{n + p}} < \varepsilon\] + 对一切正整数$p$成立。 +\end{theorem} + +交错级数是指正负项交替出现的级数。 + +\begin{theorem}[Leibniz判别法] + 如果$\{a_n\}$递减趋于0，那么交错级数$\sum (-1)^{n - 1} a_n$收敛。 +\end{theorem} + +我们把满足上述条件的交错级数称为Leibniz级数。 + +\begin{proof} + 用$S_n$记交错级数的部分和。由于$\{a_n\}$递减，$a_{2n - 1} - a_{2n} \geq 0$，所以 + \[S_{2n} = S_{2n - 2} + (a_{2n - 1} - a_{2n}) \geq S_{2n - 2}\] + 这说明$\{S_{2n}\}$是一个递增的数列；又因为 + \[S_{2n} = a_1 - (a_2 - a_3) - \dots - (a_{2n - 2} - a_{2n - 1}) - a_{2n} \leq a_1\] + 因此$\{S_{2n}\}$有上界，因而$S_{2n}$是个收敛数列，记其极限为$S$。于是 + \[S_{2n + 1} = S_{2n} + a_{2n + 1} \to S, n \to \infty\] + 因此$\{S_n\}$的奇偶子列有相同的极限$S$，因此$\{S_n\}$也是以$S$为极限的收敛数列，即 + \[\sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n - 1} a_n\] + 收敛。 +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/高等微积分.tex b/高等微积分.tex index b50c6c3..ef40e84 100644 --- a/高等微积分.tex +++ b/高等微积分.tex @@ -21,8 +21,8 @@ \geometry{a4paper,scale=0.8} \defaultCJKfontfeatures{Mapping = fullwidth-stop} -\setCJKmainfont{simsun.ttc}[AutoFakeBold, ItalicFont=simkai.ttf] -% \ctexset{fontset=macnew} +% \setCJKmainfont{simsun.ttc}[AutoFakeBold, ItalicFont=simkai.ttf] +\ctexset{fontset=macnew} % \ctexset{fontset=windows} % On Windows \allowdisplaybreaks[3] @@ -53,6 +53,7 @@ \newcommand{\delx}{\Delta x} \newcommand{\dint}{\displaystyle\int} \newcommand{\bderiv}[1]{{#1}^{\prime \prime}} +\newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} @@ -61,7 +62,7 @@ \date{} % linespread{1.5} -% \includeonly{09常微分方程.tex} +% \includeonly{10数项级数.tex} \begin{document} \maketitle @@ -81,4 +82,5 @@ \include{07函数的积分.tex} \include{08定积分应用.tex} \include{09常微分方程.tex} + \include{10数项级数.tex} \end{document} \ No newline at end of file