From 12e4c77d7a3ad8adfb76ab495d0af0d97cbf58f7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unlockable Date: Fri, 16 Sep 2022 07:57:12 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E6=9B=B4=E6=94=B9=E6=95=B0=E9=9B=86=E7=9A=84?= =?UTF-8?q?=E8=A1=A8=E7=A4=BA=E6=96=B9=E5=BC=8F=E3=80=82?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 01实数和数列极限.tex | 26 +++++++++++++------------- 1 file changed, 13 insertions(+), 13 deletions(-) diff --git a/01实数和数列极限.tex b/01实数和数列极限.tex index 4e9663b..6a3e06a 100644 --- a/01实数和数列极限.tex +++ b/01实数和数列极限.tex @@ -2,18 +2,18 @@ \section{实数及其性质} \begin{definition} （通用记号约定）数集：\par - $\mathbf{N}$——自然数全体，关于加法和乘法运算封闭；\par - $\mathbf{Z}$——整数全体，自然数集的扩充，$\mathbf{N} \subset \mathbf{Z}$。关于加法的逆运算（减法）也封闭；\par - $\mathbf{Q}$——有理数全体，整数集的扩充。关于加、乘及其逆运算（减、除）封闭；\par - $\mathbf{R}$——实数全体，有理数集的扩充，关于极限运算封闭。 + $\mathbb{N}$——自然数全体，关于加法和乘法运算封闭；\par + $\mathbb{Z}$——整数全体，自然数集的扩充，$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$。关于加法的逆运算（减法）也封闭；\par + $\mathbb{Q}$——有理数全体，整数集的扩充。关于加、乘及其逆运算（减、除）封闭；\par + $\mathbb{R}$——实数全体，有理数集的扩充，关于极限运算封闭。 \end{definition} \begin{theorem} - （有理数的稠密性）$\forall a, b \in \mathbf{R}$，$a < b$，$\exists r \in \mathbf{Q}$，s.t. $a < r < b$。 + （有理数的稠密性）$\forall a, b \in \mathbb{R}$，$a < b$，$\exists r \in \mathbb{Q}$，s.t. $a < r < b$。 \end{theorem} \begin{definition} - （上界、下界、有界、无界） $A$为非空数集。若$\exists M \in \mathbf{R}$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \leq M$，则称$M$为$A$的一个\textbf{上界}。若$\exists m \in R$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \geq m$，则称$m$为$A$的一个\textbf{下界}。若$A$既有上界又有下界，则称 $A$ \text{有界}，否则称 $A$ \textbf{无界}。 + （上界、下界、有界、无界） $A$为非空数集。若$\exists M \in \mathbb{R}$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \leq M$，则称$M$为$A$的一个\textbf{上界}。若$\exists m \in R$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \geq m$，则称$m$为$A$的一个\textbf{下界}。若$A$既有上界又有下界，则称 $A$ \text{有界}，否则称 $A$ \textbf{无界}。 \end{definition} \begin{definition} @@ -33,7 +33,7 @@ \section{数列和收敛数列} \subsection{收敛和发散} \begin{definition} - （收敛）设数列$\{ a_n \}$，$a \in \mathbf{R}$。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbf{N}$，使得$\forall n > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$则称数列数列$\{ a_n \}$\textbf{收敛}于$a$（$n$趋于无穷时），记为$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$或$a_n \to a \ (n \to \infty)$。$a$称为$\{ a_n \}$的极限。 + （收敛）设数列$\{ a_n \}$，$a \in \mathbb{R}$。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得$\forall n > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$则称数列数列$\{ a_n \}$\textbf{收敛}于$a$（$n$趋于无穷时），记为$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$或$a_n \to a \ (n \to \infty)$。$a$称为$\{ a_n \}$的极限。 \end{definition} \begin{definition} @@ -43,7 +43,7 @@ 收敛的含义：对于$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$， \begin{enumerate} \item $\forall \varepsilon > 0$……$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$：$\varepsilon$可以任意小； - \item $\exists n_0 \in \mathbf{N}$：$n$可能与$\varepsilon$有关； + \item $\exists n_0 \in \mathbb{N}$：$n$可能与$\varepsilon$有关； \item $\forall n > n_0$：$n$充分大之后。 \end{enumerate} 综上，只要$n$充分大，就能使$a_n$任意接近$a$。 @@ -118,11 +118,11 @@ \begin{remark} $\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$\par - $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$\par - $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n \geq N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \varepsilon$\par - $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < k\varepsilon$（$k$为任意非零常数）\par - $\Leftrightarrow \forall \varepsilon \in (0,1)$, $\exists N \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$（强调$\varepsilon$``任意地小''的部分而不强调``任意地大''的部分）\par - $\Leftrightarrow \forall k \in \mathbf{N}$, $\exists N = N(k) \in \mathbf{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \dfrac{1}{k}$。 + $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$\par + $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n \geq N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \varepsilon$\par + $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < k\varepsilon$（$k$为任意非零常数）\par + $\Leftrightarrow \forall \varepsilon \in (0,1)$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$（强调$\varepsilon$``任意地小''的部分而不强调``任意地大''的部分）\par + $\Leftrightarrow \forall k \in \mathbb{N}$, $\exists N = N(k) \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \dfrac{1}{k}$。 \end{remark} \section{由已知极限求未知极限}