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@@ -359,3 +359,179 @@ C^n [a,b] = \{f \in C[a,b] \mid f^{(n)} \in C[a,b]\}\]
 \[\int_T^{a+T} f(x) \dif x = \int_0^a f(t + T) \dif t = \int_0^a f(t) \dif t \tag{2} \label{周期函数积分2}\]
 将\eqref{周期函数积分2}式带入\eqref{周期函数积分1}式中，得到
 \[\int_a^{a+T} f(x) \dif x = \int_a^0 f(x) \dif x + \int_0^T f(x) \dif x + \int_0^a f(x) \dif x = \int_0^T f(x) \dif x \text{对} \forall a \in \realnum\text{成立。}\]
+
+\section{Riemann可积函数理论}
+目标：寻找函数Riemann可积的充分必要条件。
+假设$f: [a,b] \to \realnum$有界，记
+\[M = \sup \limits_{a \leq x \leq b} f(x), \quad m = \inf \limits_{a \leq x \leq b} f(x)\]
+记$\omega = M - m$，称为$f$在$[a,b]$上的振幅。
+
+对分割$T: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，记
+\[\Delta x_i = x_i - x_{i-1}, i = 1, 2, \cdots, n \eqco \Vert T \Vert = \max \limits_{i=1, 2, \cdots, n} \Delta x_i\]
+在每个子区间上，分别记函数的上下确界和振幅为
+\[M_i = \sup \limits_{[x_{i-1}, x_i]} f\eqco m_i = \inf \limits_{[x_{i-1}, x_i]} f \eqco \omega_i = M_i - m_i\]
+
+同时我们定义Darboux上下和：
+\[\text{上和：}\overline{S}(f, T) = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i \eqco \text{下和：}\underline{S}(f, T) = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i\eqper\]
+
+\begin{corollary}
+    \[0 \leq \overline{S}(f, T) - \underline{S}(f, T) = \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i\eqper\]
+\end{corollary}
+
+再记Riemman和为
+\[S(f,T) = \sum_{i=1}^n f(c_i) \Delta x_i, c_i \in [x_{i-1}, x_i]\text{任取}, i = 1, 2, \cdots, n\]
+
+\begin{corollary}
+    \[\underline{S}(f,T) \leq S(f, T) \leq \overline{S}(f, T) \eqper\]
+\end{corollary}
+
+在$x_0$与$x_1$之间多加一个分割点$t$，获得加细的分割$T^\prime: a = x_0 < t < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$记
+\[M_1^\prime = \sup \limits_{[x_{0}, t]}\eqco m_1^\prime = \inf \limits_{[x_0,t]} f\eqco M_2^\prime = \sup \limits_{[t,x_1]} f\eqco m_2^\prime \inf_{[t,x_1]} f\]
+易得
+\[M_1^\prime, M_2^\prime \leq M_1, m_1 \leq m_1^\prime, m_2^\prime\]
+分割加细之后的Darboux和
+\begin{align*}
+    \overline{S}(f, T^\prime) & = M_1^\prime (t-x_0) + M_2^\prime (x_1 - t) + \sum_{i=2}^n M_i \Delta x_i\\
+    & \leq M_1 (t-x_0) + M_1(x_1 - t) + \sum_{i=2}^n M_i \Delta x_i\\
+    & = \overline{S}(f,T)\\
+    \underline{S}(f, T^\prime) & = m_1^\prime (t-x_0) + m_2^\prime (x_1 - t) + \sum_{i=2}^n m_i \Delta x_i\\
+    & \geq m_1 (t-x_0) + m_1(x_1 - t) + \sum_{i=2}^n m_i \Delta x_i\\
+    & = \underline{S}(f, T)
+\end{align*}
+
+\begin{corollary}
+    对任意的加细分割$T^\prime$有
+    \[\overline{S}(f, T^\prime) \leq \overline{S}(f, T)\eqco \underline{S}(f, T^\prime) \geq \underline{S}(f, T)\eqper\]
+\end{corollary}
+
+\begin{corollary}
+    设$T_1, T_2$为$[a,b]$上的任意两个有限分割，则
+    \[m(b-a) \leq \underline{S}(f, T_1) \leq \overline{S}(f, T_2) \leq M(b-a)\eqper\]
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+    记$T_0$是区间$[a,b]$两个端点构成的分割，再记$T_1 + T_2$为$T_1$与$T_2$合成的分割。那么有
+    \begin{align*}
+        \underline{S}(f, T_0) \leq \underline{S}(f, T_1) & \leq \underline{S}(f, T_1 + T_2)\\
+        & \leq \overline{S}(f, T_1 + T_2) \leq \overline{S}(f, T_2) \leq \overline{S}(f, T_0)
+    \end{align*}
+    注意$\underline{S}(f, T_0) = m(b-a), \overline{S}(f, T_0) = M(b-a)$。
+\end{proof}
+
+我们引入上下积分：
+\[\text{上积分：}\overline{\int_a^b} f(x) \dif x = \inf \limits_T \overline{S}(f, T)\]
+\[\text{下积分：}\underline{\int_a^b} f(x) \dif x = \sup \limits_T \underline{S}(f, T)\]
+
+\begin{corollary}\label{Riemann可积推论4}
+    设$T_1, T_2$为$[a,b]$上任意两个有限分割，则
+    \[\underline{S}(f, T_1) \leq \underline{\int_a^b} f(x) \dif x \leq \overline{\int_a^b}f(x) \dif x \leq \overline{S}(f, T_2)\]
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+    依照上下界的定义，第一和第三个不等号成立。假设$\beta = \sup \limits_T \underline{S}(f, T) > \alpha = \inf \limits_T \overline{S}(f, T)$，记$2 \varepsilon = \beta - \alpha > 0$。由确界的定义，
+    \begin{equation*}
+        \left.
+            \begin{aligned}
+                \exists T_1 \text{使得} \underline{S}(f, T_1) \in (\beta - \varepsilon, \beta]\\
+                \exists T_2 \text{使得} \overline{S}(f, T_2) \in [\alpha, \alpha + \varepsilon)
+            \end{aligned}
+        \right\}
+        \overline{S}(f, T_2) \leq \underline{S}(f, T_1)
+    \end{equation*}
+    这与推论\ref{Riemann可积推论4}矛盾。
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}[Darboux定理]
+    对$[a,b]$上的任意有界函数，有
+    \[\overline{\int_a^b}f(x) \dif x = \tolim{\Vert T \Vert}{0}\overline{S}(f, T) \eqco \underline{\int_a^b}f(x) \dif x = \tolim{\Vert T \Vert }{0} \underline{S}(f, T)\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    假设极限存在。由下界的定义，极限保序
+    \[\alpha = \overline{\int_a^b}f(x) \dif x \leq \tolim{\Vert T \Vert}{0} \overline{S}(f, T)\]
+    由下确界的性质，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists T_1$使得$\alpha \leq \overline{S}(f, T_1) < \alpha + \varepsilon$。因此只要极限存在，必有
+    \[\tolim{\Vert T \Vert}{0} \overline{S}(f, T) = \alpha\]
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    设$f:[a,b] \to \realnum$有界，则以下结论等价：
+    \begin{enumerate}
+        \item $f \in R[a,b]$；
+        \item $\tolim{\Vert T \Vert}{0} \left[\overline{S}(f, t) - \underline{S}(f, T)\right] = \tolim{\Vert T \Vert}{0} \displaystyle\sum_{i=1}^n \omega_i\Delta x_i = 0$；
+        \item $\forall \varepsilon > 0$，存在分割$T$，使得$0 \leq \overline{S}(f, T) - \underline{S}(f, T) < \varepsilon$；
+        \item $\overline{\dint_a^b}f(x) \dif x = \underline{\dint_a^b} f(x) \dif x$。
+    \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+    设$f$是定义在$[a,b]$上的单调函数，则$f$在$[a,b]$上可积。
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    不妨令函数单调增，$f(b) > f(a)$。任取一个$[a,b]$上的分割$T$，由$f$的单调性
+    \begin{align*}
+        0 & \leq \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i = \sum_{i=1}^n (M_i - m_i) \Delta x_i = \sum_{i=1}^n [f(x_i) - f(x_{i-1})] \Delta x_i\\
+        & \leq \Vert T \Vert \sum_{i=1}^n [f(x_i) - f(x_{i-1})] = \Vert T \Vert [f(b) - f(a)]
+    \end{align*}
+    由此可得
+    \[\tolim{\Vert T \Vert}{0}\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i = 0\]
+    因此$f \in R[a,b]$。
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    设$f: [a,b] \to \realnum$是连续函数，则$f$在$[a,b]$上可积。
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    $f$在$[a,b]$上一致连续，因此$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$使得$\forall x, b \in [a,b]$，只要$\vert x - y \vert < \delta$都有$\vert f(x) - f(y) \vert < \varepsilon$。
+
+    那么只要任取$[a,b]$上的一个分割$T$满足$\Vert T \Vert < \delta$，那么对于分割的每个子区间$[x_{i-1}, x_i]$都有$\Delta x_i = x_i - x_{i-1} < \delta$。因此$f$在$[x_{i-1}, x_i]$上的振幅$\omega_i = M_i - m_i \leq \varepsilon$。那么
+    \[0 \leq \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i \leq \varepsilon \sum_{i=1}^n \Delta x_i = \varepsilon(b-a)\]
+    由此可得
+    \[\tolim{\Vert T \Vert}{0}\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i = 0\]
+    因此$f \in R[a,b]$。
+\end{proof}
+
+\section{Legesgue定理}
+\begin{definition}
+    定义函数$f$的间断点集$D(f) = \{x_0 \in [a,b] \mid f\text{在}x_0\text{间断}\}$。
+\end{definition}
+\begin{definition}
+    设$A$为实数的集合。如果对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在至多可数的一列开区间$\{I_n, n \in \naturalnum^\ast\}$，使得
+    \begin{enumerate}
+        \item $A \subset \displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty I_i$；
+        \item $\displaystyle\sum_{i=1}^N \vert I_n \vert < \varepsilon, N = 1, 2, \cdots$（$\vert I_n \vert$表示区间$I_i$的长度）。
+    \end{enumerate}
+    则称$A$为一维零测集，简称零测集。
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    零测集有下列简单性质：
+    \begin{enumerate}
+        \item 至多可数个零测集的并集是零测集。
+        \item 设$A$为零测集，若$B \subset A$，则$B$也是零测集。
+    \end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{theorem}[Lebesgue定理]
+    设$f: [a,b] \to \realnum$有界。那么$f \in R[a,b]$当且仅当$D(f)$是零测集。
+\end{theorem}
+换言之，有界函数可积的充要条件是其所有间断点总长度为0。
+
+\begin{corollary}
+    容易由Legesgue定理得到以下结论：
+    \begin{enumerate}
+        \item 若$f \in R[a,b]$，则$\vert f \vert \in R[a,b]$；
+        \item 若$f, g \in R[a,b]$，则$fg \in R[a,b]$；
+        \item 若$f \in R[a,b]$且$\dfrac{1}{f}$有界，则$\dfrac{1}{f} \in R[a,b]$；
+        \item 设$f \in R[a,b], \varphi \in C[\alpha, \beta]$且$f([a,b]) \subset [\alpha, \beta]$，则$\varphi \circ f \in R[a,b]$。
+    \end{enumerate}
+\end{corollary}
+
+\begin{proposition}
+    令$a < c < b$，则$f \in R[a,b]$当且仅当$f \in R[a,c]$且$f \in R[c,b]$。
+\end{proposition}
+\begin{proof}
+    注意$D(f) \cap [a,c] \subset D(f)$，$D(f) \cap [c,b] \subset D(f)$，以及
+    \[D(f) = \left(D(f) \cap [a,c]\right)\cup\left(D(f) \cap [c,b]\right)\eqper\]
+\end{proof}
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