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42
01实数和数列极限.tex
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@@ -114,7 +114,7 @@
\end{equation*}
于是$\forall n > n_0$，都有$n \geq n_0 + 1 > \dfrac{2}{\varepsilon^2} + 1$，那么
\begin{equation*}
\left| \sqrt[n]{n} \right| < \sqrt{\dfrac{2}{n-1}} < \varepsilon \eqper
\left| \sqrt[n]{n} \right| < \sqrt{\dfrac{2}{n-1}} < \varepsilon \eqper \qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
@@ -448,7 +448,7 @@
其次，因为$A$是$S$的上确界，因此有$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0, a_{n_0} > A - \varepsilon$。而$\{a_n\}$单调增，$\forall n > n_0$，$a_n \geq a_{n_0} > A - \varepsilon$。
因此，$\toinf a_n = A$
因此，$\toinf a_n = A$。
\end{proof}
\section{自然对数底e}
@@ -497,23 +497,23 @@
\begin{proof}
由上证
\[\begin{aligned}
\begin{align*}
a_n & = 2 + \dfrac{1}{2!}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{k!}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{k-1}{n}\right) + \cdots\\
& + \dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{n-1}{n}\right)\\
& \leq 2 + \dfrac{1}{2!}\left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right) + \cdots + \dfrac{1}{k!}\left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{k-1}{n+1}\right) + \cdots \\
& + \dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{n-1}{n+1}\right) + \dfrac{1}{(n+1)!}\left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right)\cdots \left(1 - \dfrac{n}{n+1}\right)\\
& = a_{n+1}
\end{aligned}\]
& = a_{n+1} \eqper\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
在此，我们可以证明定理\ref{Definition of e}的正确性。
\begin{proof}
由极限的保序性，引理\ref{e lemma 2} $\Rightarrow a \leq b$。
\[\begin{aligned}
\begin{align*}
a_n & = 2 + \dfrac{1}{2!}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{k!}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{k-1}{n}\right) + \cdots\\
& + \dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{n-1}{n}\right)\\
& \geq 2 + \dfrac{1}{2!}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{k!}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)
\end{aligned}\]
\end{align*}
对$k \leq n$成立。固定$k$，令$n \to \infty$，得
\[a \geq 2 + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{k!} = b_k\]
再令$k \to \infty$，有
@@ -534,7 +534,7 @@
\begin{proof}
令$\toinf a_n = a$。则$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n, n^\prime > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}, \vert a_{n^\prime} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}$。由三角不等式
\[\vert a_n - a_{n^\prime} = \vert a_n - a - (a_{n^\prime} - a) \vert \leq \vert a_n - a \vert + \vert a_{n^\prime} - a \vert < \varepsilon\]
\[\vert a_n - a_{n^\prime} = \vert a_n - a - (a_{n^\prime} - a) \vert \leq \vert a_n - a \vert + \vert a_{n^\prime} - a \vert < \varepsilon \eqper \qedhere\]
\end{proof}
\begin{theorem}[Cauchy收敛原理]\label{cauchy principle of convergence}
@@ -594,7 +594,7 @@
又因为$\lim \limits_{k \to \infty} (M_k - m_k) = \lim \limits_{k \to \infty} \dfrac{M_1 - m_1}{2^{k-1}} = 0$，因此
\[\lim \limits_{k \to \infty} M_k = \lim \limits_{k \to \infty} m_k = A\eqco\]
从而
\[\lim \limits_{k \to \infty} a_{n_k} = A \eqper\]
\[\lim \limits_{k \to \infty} a_{n_k} = A \eqper \qedhere\]
\end{proof}
证法二：利用确界概念选子数列。
@@ -634,7 +634,7 @@
任取数列$\{a_n\}$，定义其``龙头项''为：固定$k \in \naturalnum$，若$\forall n > k, a_k > a_n$，则称$a_k$为一个``龙头项''。那么一个数列必属于下列两种情况之一：
\begin{enumerate}
\item $\{a_n\}$有无穷多个``龙头项''，依次记为$a_{k_1}, a_{k_2}, \cdots , a_{k_n}, \cdots$。注意$k_1 < k_2 < \cdots < k_n < \cdots$，因此$a_{k_1} > a_{k_2} > \cdots > a_{k_n} > \cdots$，这时$\{a_n\}$中有严格单调减子列$\{a_{k_n}\}$；
\item ``龙头项''只有有限多，那么$\exists n_0 \in \naturalnum$，$\forall n \geq n_0$，$a_n$不是``龙头项''，取$a_{k_1} = a_{n_0}$，那么$a_{k_1}$不是``龙头项''，$\exists k_2 > k_1, a_{k_2} \geq a_{k_1}$，而$a_{k_2}$也不是``龙头项''，$\exists k_3 > k_2, a_{k_3} \geq a_{k_2}$，……依此类推，得到单调增子列$\{a_{k_n}\}$。
\item ``龙头项''只有有限多，那么$\exists n_0 \in \naturalnum$，$\forall n \geq n_0$，$a_n$不是``龙头项''，取$a_{k_1} = a_{n_0}$，那么$a_{k_1}$不是``龙头项''，$\exists k_2 > k_1, a_{k_2} \geq a_{k_1}$，而$a_{k_2}$也不是``龙头项''，$\exists k_3 > k_2, a_{k_3} \geq a_{k_2}$，……依此类推，得到单调增子列$\{a_{k_n}\}$。\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
@@ -660,7 +660,7 @@
\end{equation*}
综上，当$n > n_0 = \max{\{n_1, n_2\}} \in \naturalnum$，因为$k_n \geq n > n_0$，因此\eqref{cauchy principle of convergence eq1}与\eqref{cauchy principle of convergence eq2}都成立，
\[\vert a_n - a \vert \leq \vert a_n - a_{k_n} \vert + \vert a_{k_n} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \eqper\]
\[\vert a_n - a \vert \leq \vert a_n - a_{k_n} \vert + \vert a_{k_n} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \eqper \qedhere\]
\end{proof}
基本列的定义中不涉及极限的具体值，这是与收敛数列定义的根本区别。
@@ -706,16 +706,14 @@
\end{example}
\begin{proof}
$\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \naturalnum$，则$\vert x_n - x_{n+1} \leq \dfrac{1}{n^2} \eqco \forall n$。于是$\forall p, n > 1$
\[
\begin{aligned}
\vert x_n - x_{n+p} \vert & \leq \vert x_n - x_{n+1} \vert + \vert x_{n+1} - x_{n+2} \vert + \cdots + \vert x_{n+p-1} - x_{n+p} \vert \\
& \leq \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{(n+p-1)^2}\\
& \leq \frac{1}{n(n-1)} + \cdots + \frac{1}{(n+p-1)(n+p-2)}\\
& = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+p-1}\\
& < \frac{1}{n-1} \eqper
\end{aligned}
\]
$\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \naturalnum$，则$\vert x_n - x_{n+1} \leq \dfrac{1}{n^2} \eqco \forall n$。于是$\forall p, n > 1$，
\begin{align*}
\vert x_n - x_{n+p} \vert & \leq \vert x_n - x_{n+1} \vert + \vert x_{n+1} - x_{n+2} \vert + \cdots + \vert x_{n+p-1} - x_{n+p} \vert \\
& \leq \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{(n+p-1)^2}\\
& \leq \frac{1}{n(n-1)} + \cdots + \frac{1}{(n+p-1)(n+p-2)}\\
& = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+p-1}\\
& < \frac{1}{n-1} \eqper \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
证明的核心思想是通过放缩把$n, p$两个任意的数只留下一个，这样就可以说明他在什么情况下一定小于一个$\varepsilon$。
@@ -767,7 +765,7 @@
由闭区间套定理，$\exists ! \xi \in \bigcap \limits_{n \geq 1} [a_n, b_n]$，且$\toinf a_n = \toinf b_n = \xi$。
$[a_1, b_1]$中包含\setname{X_n}的无穷多项，因此$\exists x_{n_1} \in [a_1, b_1]$。$[a_2, b_2]$中包含\setname{X_n}的无穷多项，因此$\exists X_{n_2} \in [a_1, b_2]$且$n_2 > n_1$。依次做下去，$\exists x_{n_{k+1}} \in [a_{k+1}, b_{k+1}]$且$n_{k+1} > n_k$。由此可以得到\setname{X_n}的子列\setname{X_{n_k}}，满足$\forall k, a_k \leq x_{n_k} \leq b_k$。令$k \to \infty$，由夹逼原理得
\[\lim \limits_{k \to \infty} x_{n_k} = \lim \limits_{k \to \infty} a_k = \lim \limits_{k \to \infty} b_k = \xi \eqper\]
\[\lim \limits_{k \to \infty} x_{n_k} = \lim \limits_{k \to \infty} a_k = \lim \limits_{k \to \infty} b_k = \xi \eqper \qedhere\]
\end{proof}
\begin{theorem}[有限覆盖定理]