第十五周前半。

17曲线积分.tex

@@ -1,10 +1,10 @@
 \chapter{曲线积分}
-\section*{第一型曲线积分}
+\section{第一型曲线积分}
 \begin{definition}
     设$D \in \realnum^3$是一个区域，函数$f: D \to \realnum$。光滑曲线$L \in D$，其两个端点分别记为\bvec{A}和\bvec{B}。在$L$上依次取一列点$\{\bvec{p}_i: i = 0, 1, \dots, n\}$，使得$\bvec{p}_0 = \bvec{A}, \bvec{p}_n = \bvec{B}$。称$\wideparen{\bvec{p}_{i - 1}\bvec{p}_i}$为$L$的第$i$段曲线。令$\Delta s_i = s(\wideparen{\bvec{p}_{i - 1}\bvec{p}_i})$，即$L$的第$i$段曲线的弧长。在$\wideparen{\bvec{p}_{i - 1}\bvec{p}_i}$上任取一点$\bvec{\xi}_i(i = 1, 2, \dots, n)$，如果极限
     \[\tolim{\max\{\Delta s_i\}}{0} \sum_{i = 1}^n f(\bvec{\xi}_i) \Delta s_i\]
     是一个有限数，并且其值不依赖于点\bvec{\xi}在$\wideparen{\bvec{p}_{i - 1}\bvec{p}_i}$上的选择，那就把这极限值记为
-    \[\int \limits_L f(\bvec{p}) \dif x \text{或者} \int \limits_L f(x, y, z) \dif s\]
+    \[\int \limits_L f(\bvec{p}) \dif s \text{或者} \int \limits_L f(x, y, z) \dif s\]
     称之为函数$f$在$L$上的第一型曲线积分。
 \end{definition}
 
@@ -20,7 +20,7 @@
     \[\int \limits_L f \dif s = \int_\alpha^\beta f(x, \varphi(x)) \sqrt{1 + \left(\deriv{\varphi}(x)\right)^2} \dif x\eqper\]
 \end{corollary}
 
-\section*{第二型曲线积分}
+\section{第二型曲线积分}
 \begin{definition}
     设区域$D \subset \realnum^3$，在$D$上定义了一个向量值函数$\bvec{F} = \bvec{F}(\bvec{p}), \bvec{p} \in D$。这时称\bvec{F}是在$D$上定义的一个向量场。
 \end{definition}
@@ -62,4 +62,20 @@
 \begin{theorem}[Green定理]
     设$\Omega \subset \realnum^2$时由有限条分段光滑的曲线围成的闭区域，如果函数$P(x, y)$和$Q(x, y)$在$\Omega$上连续并且有连续的偏导数，那么就有
     \[\int \limits_{\partial \Omega} P \dif x + Q \dif y = \iint \limits_\Omega \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\dif x \dif y\eqper\]
-\end{theorem}
+\end{theorem}
+
+\begin{example}
+    设$D$是适合Green公式的平面闭区域，则有
+    \[\sigma(D) = \int \limits_{\partial D} s \dif y = - \int \limits_{\partial D} y \dif x = \frac{1}{2} \int \limits_{\partial D} x \dif y - y \dif x\eqper\]
+\end{example}
+
+\begin{proof}
+    利用Green公式
+    \[\int \limits_{\partial D} x \dif y = \iint \limits_{D} \left(\frac{\partial x}{\partial x} - 0\right) \dif x \dif y = \iint \limits_{D} \dif \sigma\] 
+    即
+    \[\sigma(D) = \int \limits_{\partial D} x \dif y\]
+    同理有
+    \[\sigma(D) = -\int \limits_{\partial D} y \dif x\]
+    以上两式相加，得出
+    \[\sigma(D) = \frac{1}{2} \int \limits_{\partial D} x \dif y - y \dif x\eqper\]
+\end{proof}