From 73f10b5c4d83b69652510beb64db2d8979b1643c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unlockable Date: Sun, 11 Dec 2022 01:21:25 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=8F=8D=E5=B8=B8=E7=A7=AF=E5=88=86=E3=80=82?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 07函数的积分.tex | 116 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 高等微积分.tex | 2 +- 2 files changed, 115 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/07函数的积分.tex b/07函数的积分.tex index 38be79a..101bd20 100644 --- a/07函数的积分.tex +++ b/07函数的积分.tex @@ -492,7 +492,7 @@ C^n [a,b] = \{f \in C[a,b] \mid f^{(n)} \in C[a,b]\}\] 因此$f \in R[a,b]$。 \end{proof} -\section{Legesgue定理} +\section{Lebesgue定理} \begin{definition} 定义函数$f$的间断点集$D(f) = \{x_0 \in [a,b] \mid f\text{在}x_0\text{间断}\}$。 \end{definition} @@ -519,7 +519,7 @@ C^n [a,b] = \{f \in C[a,b] \mid f^{(n)} \in C[a,b]\}\] 换言之，有界函数可积的充要条件是其所有间断点总长度为0。 \begin{corollary} - 容易由Legesgue定理得到以下结论： + 容易由Lebesgue定理得到以下结论： \begin{enumerate} \item 若$f \in R[a,b]$，则$\vert f \vert \in R[a,b]$； \item 若$f, g \in R[a,b]$，则$fg \in R[a,b]$； @@ -534,4 +534,116 @@ C^n [a,b] = \{f \in C[a,b] \mid f^{(n)} \in C[a,b]\}\] \begin{proof} 注意$D(f) \cap [a,c] \subset D(f)$，$D(f) \cap [c,b] \subset D(f)$，以及 \[D(f) = \left(D(f) \cap [a,c]\right)\cup\left(D(f) \cap [c,b]\right)\eqper\] +\end{proof} + +\section{反常积分} +前述的积分都是研究有界函数在有限区间上的积分，如果突破这两个限制，将得到反常积分。 + +\subsection{无穷积分} +设$f:[a, +\infty) \to \realnum$，且$\forall A > a, f \in R[a,A]$。定义 +\[\int_a^{+\infty} f(x) \dif x := \tolim{A}{+\infty} \int_a^A f(x) \dif x\] +若极限存在，则称该无穷积分收敛，否则称其发散。 + +类似地，我们可对$f: (-\infty, b] \to \realnum$定义 +\[\int_{-\infty}^b f(x) \dif x := \tolim{B}{-\infty} \int_B^b f(x) \dif x\] +也可对$f: (-\infty, +\infty) \to \realnum$定义 +\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \dif x := \int_{-\infty}^a f(x) \dif x + \int_a^{+\infty} f(x) \dif x, a \in \realnum \text{任取}\] + +\begin{remark} + 另外可定义Principal Value主值，其收敛性较弱： + \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \dif x := \tolim{A}{\infty} \int_{-A}^A f(x) \dif x \eqper\] +\end{remark} + +\begin{example} + 研究$\dint_1^{+\infty} \frac{\dif x}{x^p}$的收敛性。 +\end{example} + +\begin{proof}[解] + 对任意的$A > 1$， + + 若$p \neq 1$， + \[\int_1^A \frac{\dif x}{x^p} = \frac{1}{1 - p} \eval{x^{1-p}}_1^A = \frac{A^{1-p} - 1}{1 - p} \to + \begin{cases} + \frac{1}{p-1} & p > 1\\ + +\infty & p < 1 + \end{cases} (A \to +\infty)\] + + 若$p = 1$，则 + \[\int_1^A \frac{\dif x}{x} = \eval{\ln x}_1^A = \ln A \to +\infty (A \to +\infty)\] + + 综上，当$p > 1$时无穷积分收敛， + \[\int_1^{+\infty} \frac{\dif x}{x^p} = \frac{1}{p-1}\] + 当$p \leq 1$时无穷积分$\dint_a^{+\infty} \dfrac{\dif x}{x^p}$发散到无穷。 +\end{proof} + +\begin{theorem}[广义Newtown-Leibniz公式] + 设$f \in C[a,+\infty)$有原函数$F \in C[a,+\infty)$，则 + \[\int_a^{+\infty} f(x) \dif x = \eval{F(x)}_a^{+\infty} = \tolim{x}{+\infty} F(x) - F(a)\eqper\] + 相应地，有 + \[\int_{-\infty}^b f(x) \dif x = \eval{F(x)}_{-\infty}^b = F(b) - \tolim{x}{-\infty}F(x)\] + \[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \dif x = \eval{F(x)}_{-\infty}^{+\infty} = \tolim{x}{+\infty}F(x) - \tolim{x}{-\infty}F(x)\eqper\] +\end{theorem} + +分部积分、换元、积分的线性性质、保序性、积分区间可加性仍然成立。 + +\subsection{瑕积分} +接下来我们讨论无界函数的积分。 + +\begin{definition} + $f$在$[a,b)$上有定义，在$b$点附近无界。此时，称$x = b$为$f$的一个瑕点。若$\forall \delta \in (0,b-a)$，$f \in R[a,b-\delta]$，且 + \[\tolim{\delta}{0^+} \int_a^{b - \delta} f(x) \dif x = I\eqco\] + 则称$f$在$[a,b)$上的瑕积分收敛，称$I$为$f$在$[a,b)$上的瑕积分（值），记作 + \[\int_a^b f(x) \dif x = \tolim{\delta}{0^+}\int_a^{b - \delta} f(x) \dif x\eqper\] + 若该极限不存在，则称瑕积分$\int_a^b f(x) \dif x$发散。 +\end{definition} + +\begin{definition} + $f$在$(a,b)$上有定义，且$a,b$为瑕点。若$\exists c \in (a,b)$，满足瑕积分$\int_a^c f(x) \dif x$与$\int_c^b f(x) \dif x$均收敛，则 + \[\int_a^b f(x) \dif x := \int_a^c f(x) \dif x + \int_c^b f(x) \dif x\] + 此时， + \[\int_a^b f(x) \dif x = \int_a^d f(x) \dif x + \int_d^b f(x) \dif x, \forall d \in (a,b)\] + \begin{align*} + \int_a^b f(x) \dif x & = \tolim{\alpha}{a^+} \int_\alpha^c f(x) \dif x + \tolim{\beta}{b^-} \int_c^\beta f(x) \dif x\\ + & = \lim \limits_{\alpha \to a^+, \beta \to b^-} \int_\alpha^\beta f(x) \dif x + \end{align*} +\end{definition} + +\begin{lemma}[Riemann-Lebesgue] + $f$在$[a,b]$上可积或广义绝对可积（$f$与$\vert f \vert$均在$[a,b]$上广义可积），则 + \[\tolim{\lambda}{\infty} \int_a^b f(x) \cos \lambda x \dif x = 0, \tolim{\lambda}{\infty} \int_a^b f(x) \sin \lambda x \dif x = 0\eqper\] +\end{lemma} + +\begin{proof} + 只证第一式，第二式同理。 + + \emph{情况一：}设$f$在$[a,b]$上可积，则$f$在$[a,b]$上有界，设其上界为$M$，那么 + \[\forall x \in [a,b], \vert f(x) \leq M\] + 对任意的$\lambda > 1$，令$n = \left\lfloor \lambda \right\rfloor$。将$[a,b]$区间$n$等分，有 + \[x_i = a + i\frac{b-a}{n}, i = 0, 1, 2, \cdots, n\] + 设 + \[\omega_i(f) = \sup \{f(\xi) - f(\eta) \mid \xi, \eta \in[x_{i-1}, x_i]\}\] + $f$在$[a,b]$上可积，则$\tolim{n}{\infty} \displaystyle\sum_{i=1}^n \omega_i(f) \Delta x_i = 0$。那么 + \begin{align*} + \left|\int_a^b f(x) \cos \lambda x \dif x \right| & = \left| \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) \cos \lambda x \dif x \right|\\ + & \leq \left| \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} \left(f(x) - f(x_i)\right)\cos \lambda x \dif x \right| + \left|\sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x_i) \cos \lambda x \dif x\right|\\ + & \leq \sum_{i=1}^n \omega_i(f) \Delta x_i + \sum_{i=1}^n \left|f(x_i)\right|\left|\int_{x_{i-1}}^{x_i} \cos \lambda x \dif x\right|\\ + & \leq \sum_{i=1}^n \omega_i(f) \Delta x_i + \frac{2Mn}{\lambda}\\ + & = \sum_{i=1}^{\left\lfloor \lambda \right\rfloor} \omega_i(f) \Delta x_i + \frac{2M \left\lfloor \lambda \right\rfloor}{\lambda} + \end{align*} + 当$\lambda \to +\infty$时，上式趋近于0。 + + \emph{情况二：}$f$在$[a,b]$上广义绝对可积。不妨设$a$为唯一的瑕点。那么$\forall \varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，满足$f$在$[a+\delta, b]$可积，且 + \[\int_a^{a + \delta} \vert f(x) \vert \dif x < \frac{\varepsilon}{2}\] + 从而 + \[\left|\int_a^{a + \delta} f(x) \cos \lambda x \dif x \right| \leq \int_a^{a + \delta} \vert f(x) \vert \dif x < \frac{\varepsilon}{2}\] + 因此 + \[\tolim{\lambda}{+ \infty} \int_{a + \delta}^b f(x) \cos \lambda x \dif x = 0\eqper\] + + 于是$\exists \Lambda > 0$，当$\lambda > \Lambda$时， + \[\left|\int_{a+ \delta}^b f(x) \cos \lambda x \dif x \right| < \frac{\varepsilon}{2}\] + 进一步有对任意的$\lambda > \Lambda$， + \begin{align*} + \left|\int_a^b f(x) \cos \lambda x \dif x \right| & \leq \left|\int_a^{a + \delta} f(x) \cos x \lambda x \dif x \right| + \left|\int_{a + \delta}^b f(x) \cos \lambda x \dif x \right|\\ + & < \frac{\varepsilon}{2} = \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\eqper \qedhere + \end{align*} \end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/高等微积分.tex b/高等微积分.tex index 8315cde..d4c1a35 100644 --- a/高等微积分.tex +++ b/高等微积分.tex @@ -59,7 +59,7 @@ \date{} % linespread{1.5} -% \includeonly{07函数的积分.tex} +\includeonly{07函数的积分.tex} \begin{document} \maketitle