第五周。

12Fourier分析.tex

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     \item 若延拓为偶函数，则$b_n = \dfrac{1}{l} \dint_{-l}^l f(x) \sin \dfrac{n \pi x}{l} \dif x = 0, n = 1, 2, \dots$，因此
     \[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \cos \frac{n \pi x}{l}, 0 \leq x \leq l\]
     我们得到的是一个余弦级数。
-\end{enumerate}
+\end{enumerate}
+
+\section{Fourier级数的平均收敛}
+\begin{definition}[三角多项式]
+    \[T_N(x) = \frac{\alpha_0}{2} + \sum_{n = 1}^N (\alpha_n \cos nx + \beta_n \sin nx)\]
+    称为$N$次三角多项式（周期$2\pi$）。
+\end{definition}
+
+问题：给定函数$f \in R[-\pi, \pi]$（或其它$2\pi$周期函数），用$N$次三角多项式逼近$f$，如何才能使得区间上平均误差
+\[\norm{f - T_N}^2 := \int_{-\pi}^\pi \abs{f(x) - F_N(x)}^2 \dif x\]
+达到最小？
+
+综合结论：
+\begin{proposition}
+    用$N$次三角多项式逼近函数$f \in R[-\pi, \pi]$（或周期函数），取其Fourier展开系数
+    \[T_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^N (a_n \cos nx + b_n \sin nx)\]
+    这时区间上平均误差$\norm{f - F_N}^2$最小。
+\end{proposition}
+
+\begin{proposition}[Bessel不等式]
+    $f(x)$的Fourier展开系数满足：对任意的$N$，
+    \[\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n = 1}^N (a_n^2 + b_n^2) \leq \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) \dif x\]
+
+    进一步，只要$f(x)$可积，不等式右端为定值，因而$f(x)$的Fourier系数级数一致收敛，进而$f(x)$的Fourier级数一致收敛。
+\end{proposition}
+
+\begin{proposition}[Parseval等式]
+    若$f(x)$满足收敛定理条件，还成立等式
+    \[\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) \dif x \eqper\]
+\end{proposition}