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Date: Sun, 1 Jan 2023 21:30:30 +0800
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 02函数及其连续性.tex   | 2 +-
 04微分与Taylor定理.tex | 2 +-
 07函数的积分.tex       | 8 ++++----
 09常微分方程.tex       | 6 ++++--
 4 files changed, 10 insertions(+), 8 deletions(-)

diff --git a/02函数及其连续性.tex b/02函数及其连续性.tex
index ebf693e..77ae39d 100644
--- a/02函数及其连续性.tex
+++ b/02函数及其连续性.tex
@@ -437,7 +437,7 @@
 \begin{definition}
     设函数$f$与$g$在$x_0$近旁（$x_0$除外）有定义，并且$g(x) \neq 0$。
     \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
-        \item 当$x \to x_0$时，若比值$\dfrac{f(x)}{g(x)}$保持有界，即存在正常数$M$，使得$\vert f(x) \leq M \vert g(x) \vert$成立，就用$f(x) = O(g(x))\ (x \to x_0)$表示。
+        \item 当$x \to x_0$时，若比值$\dfrac{f(x)}{g(x)}$保持有界，即存在正常数$M$，使得$\abs{f(x)} \leq M \abs{g(x)}$成立，就用$f(x) = O(g(x))\ (x \to x_0)$表示。
         \item 当$x \to x_0$时，若比值$\dfrac{f(x)}{g(x)}$是一个无穷小，即
             \[\lim \limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0\]
             时，就用$f(x) = o(g(x))\ (x \to x_0)$来表示。
diff --git a/04微分与Taylor定理.tex b/04微分与Taylor定理.tex
index 50d0249..b6b96aa 100644
--- a/04微分与Taylor定理.tex
+++ b/04微分与Taylor定理.tex
@@ -253,6 +253,6 @@
 \end{proof}
 
 \begin{remark}
-    带Lagrange余项的Taylor公式也常常写作：设$f$在$(a,b)$内$n+1$阶可导，$\forall ~ x_0, x \in (a,b)$，$\exists ~ \xi$在$x_0$与$x$之间满足
+    带Lagrange余项的Taylor公式也常常写作：设$f$在$(a,b)$内$n+1$阶可导，$\forall x_0, x \in (a,b)$，$\exists \xi$在$x_0$与$x$之间满足
     \[f(x) = P_n(x - x_0) + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\Delta x^{n+1}\eqper\]
 \end{remark}
\ No newline at end of file
diff --git a/07函数的积分.tex b/07函数的积分.tex
index e5fe2f8..dea620f 100644
--- a/07函数的积分.tex
+++ b/07函数的积分.tex
@@ -65,7 +65,7 @@
     \[T: \Delta x = \frac{b-a}{n}, x_i = a + i\Delta x, i = 0, 1, \cdots, n\]
     则可以取$c_i = x_i$，于是有
     \[\int_a^b f(x) \dif x = \tolim{n}{\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x\]
-    \item 借助几何定义：$f(x)$在$x$轴上方围城的的面积$-$ $f(x)$在$x$轴下方围成的面积。
+    \item 借助几何定义：$f(x)$在$x$轴上方围成的面积$-$ $f(x)$在$x$轴下方围成的面积。
 \end{enumerate}
 
 \begin{example}
@@ -106,7 +106,7 @@
     \[F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \dif x\eqper \qedhere\]
 \end{proof}
 
-因此可以将求可积函数$f$的积分问题转化为了求$f$的原函数的问题。
+因此可以将求可积函数$f$的积分问题转化为求$f$的原函数的问题。
 
 \section{可积函数的性质}
 目的：寻找可积函数的特性，寻找函数可积的判别条件。
@@ -239,7 +239,7 @@ C^n [a,b] = \{f \in C[a,b] \mid f^{(n)} \in C[a,b]\}\]
     因此
     \begin{align*}
         \text{所求} & = \tolim{x}{0} \frac{1}{\deriv{\left(x^3\right)}} \deriv{\left(\int_0^x tf(t) \dif t\right)} = \tolim{x}{0} \frac{xf(x)}{3x^2}\\
-        & = \frac{1}{3} \tolim{x}{0} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{3} \tolim{x}{0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{\deriv{f}(0)}{3} \qedhere
+        & = \frac{1}{3} \tolim{x}{0} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{3} \tolim{x}{0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{\deriv{f}(0)}{3} \eqper\qedhere
     \end{align*}
 \end{proof}
 
@@ -354,7 +354,7 @@ C^n [a,b] = \{f \in C[a,b] \mid f^{(n)} \in C[a,b]\}\]
 设$f \in C(-\infty, + \infty)$有周期$T > 0$。由区间可加性
 \[\int_a^{a+T} f(x) \dif x = \int_a^0 f(x) \dif x + \int_0^T f(x) \dif x + \int_T^{a+T} f(x) \dif x \tag{1} \label{周期函数积分1}\]
 引入换元$x = t + T$，那么
-\[\dif x = dif t, x(0) = T, x(a) = a + T\]
+\[\dif x = \dif t, x(0) = T, x(a) = a + T\]
 因此
 \[\int_T^{a+T} f(x) \dif x = \int_0^a f(t + T) \dif t = \int_0^a f(t) \dif t \tag{2} \label{周期函数积分2}\]
 将\eqref{周期函数积分2}式带入\eqref{周期函数积分1}式中，得到
diff --git a/09常微分方程.tex b/09常微分方程.tex
index 5740b3a..82dd99e 100644
--- a/09常微分方程.tex
+++ b/09常微分方程.tex
@@ -23,7 +23,7 @@
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[微分方程的解]
-    如果把函数$y = y(x)$带入方程\eqref{n阶微分方程一般形式}使方程称为恒等式，则称函数$y = y(x)$是微分方程\eqref{n阶微分方程一般形式}的一个解。
+    如果把函数$y = y(x)$带入方程\eqref{n阶微分方程一般形式}使方程成为恒等式，则称函数$y = y(x)$是微分方程\eqref{n阶微分方程一般形式}的一个解。
 
     $n$阶微分方程\eqref{n阶微分方程一般形式}的包含$n$个独立的任意常数的解$y = f(x, C_1, \dots, C_n)$称为微分方程的通解。
 
@@ -324,7 +324,8 @@
 我们已经会求对应的齐次方程了。解这个方程的关键是找到一个特解。一种方法是待定系数法。它只适用于$f(x)$是几种特殊形式时。
 \begin{enumerate}
     \item $f(x) = P_m(x)e^{r x}$。其中$P_m(x)$是$m$次多项式。令$Q_m(x)$为一个各项系数待定的$m$次多项式，即
-    \[Q_m = Ax^m + Bx^{m-1} + \dots\]。那么可设特解为
+    \[Q_m = Ax^m + Bx^{m-1} + \dots\]
+    那么可设特解为
     \[y^\ast (x) = x^k Q_m(x) e^{rx}\]
     其中
     \[k = \begin{cases}
@@ -362,6 +363,7 @@
 \subsection{二阶线性变系数微分方程}
 对方程
 \[\bderiv{y} + a_1(x)\deriv{y} + a_2(x)y = f(x)\]
+
 情况一：已知对应的齐次方程的一个非零解$y_1(x)$。那么可设$y^\ast = c(x)y_1(x)$。带入非齐次方程可以解得一个特解。带入对应的齐次方程可以得到另一个基本解。
 
 情况二：已知对应齐次方程的通解为$C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$。设$y^\ast(x) = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x)$。带入非齐次方程可得一个特解。于是通解为$y(x) = y^\ast(x) + C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$。