第六周。

13多变量函数的连续性.tex

@@ -137,11 +137,11 @@
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[内点、内部与开集]
-    设$E \subset \ndreal$，如果点$\bvec{a} \in E$，并且存在$r > 0$使得$B_r(\bvec{a}) \subset E$，那么$\bvec{a}$称为$E$的一个内点。点集$E$的全体内点之集合记作$\interior{E}$，称之为$E$的内部。如果$\interior{E} = E$，那么称$E$为$\ndreal$中的开集。
+    设$E \subset \ndreal$，如果点$\bvec{a} \in E$，并且存在$r > 0$使得$B_r(\bvec{a}) \subset E$，那么$\bvec{a}$称为$E$的一个内点。点集$E$的全体内点之集合记作$E\interior$，称之为$E$的内部。如果$E\interior = E$，那么称$E$为$\ndreal$中的开集。
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}
-    对任何集$E$，$E$的内部$\interior{E}$是开集。
+    对任何集$E$，$E$的内部$E\interior$是开集。
 \end{theorem}
 
 \begin{theorem}
@@ -154,11 +154,11 @@
 \end{theorem}
 
 \begin{definition}[补集]
-    设$E \subset \ndreal$，$\compleset{E} = \ndreal \setminus E$称$\compleset{E}$为点集$E$的补集。
+    设$E \subset \ndreal$，$E\compleset = \ndreal \setminus E$称$E\compleset$为点集$E$的补集。
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[闭集]
-    设$F \subset \ndreal$，如果$\compleset{F}$是开集，则称$F$是闭集。
+    设$F \subset \ndreal$，如果$F\compleset$是开集，则称$F$是闭集。
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}
@@ -185,11 +185,11 @@
 \end{theorem}
 
 \begin{theorem}
-    $\interior{E}$是含于$E$的最大开集，$\closure{E}$是包含着$E$的最小闭集。
+    $E\interior$是含于$E$的最大开集，$\closure{E}$是包含着$E$的最小闭集。
 \end{theorem}
 
 \begin{definition}[外部、边界点、边界]
-    点集$E \subset \ndreal$，$\interior{\left(\compleset{E}\right)}$中的点称为$E$的外点，$E$的外点的全体称为$E$的外部；既不是$E$的内点也不是$E$的外点的点称为$E$的边界点，$E$的边界点的全体称为$E$的边界，记为$\partial E$。
+    点集$E \subset \ndreal$，$\left(E\compleset\right)\interior$中的点称为$E$的外点，$E$的外点的全体称为$E$的外部；既不是$E$的内点也不是$E$的外点的点称为$E$的边界点，$E$的边界点的全体称为$E$的边界，记为$\partial E$。
 \end{definition}
 
 \begin{proposition}
@@ -275,7 +275,7 @@
 \end{remark}
 
 \begin{definition}[无穷远处的极限]
-    设$f: D \to \realnum$，且对任意的$r > 0$，$\compleset{B_r(\bvec{0})} \cap D \neq \varnothing$。如果对任意的$\varepsilon > 0$，总存在$M > 0$，使得对任意的$\bvec{x} \in D \cap \compleset{B_M(\bvec{0})}$，有
+    设$f: D \to \realnum$，且对任意的$r > 0$，$B_r(\bvec{0})\compleset \cap D \neq \varnothing$。如果对任意的$\varepsilon > 0$，总存在$M > 0$，使得对任意的$\bvec{x} \in D \cap B_M(\bvec{0})\compleset$，有
     \[\abs{f(\bvec{x}) - b} < \varepsilon\]
     则称$\tolim{\bvec{x}}{\infty} f(\bvec{x}) = b$。
 \end{definition}
@@ -301,4 +301,202 @@
 
 \begin{theorem}[Cauchy收敛原理]
     设$D \subset \ndreal$，$\bvec{a} \in \deriv{D}$，$f:D \to \realnum$。那么极限$\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} f(\bvec{x})$存在的充分必要条件是：对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对任意的$\bvec{x}^\prime, \bvec{x}^{\prime \prime} \in D \cap B_\delta(\hat{\bvec{a}})$，有$\abs{f(\bvec{x}^\prime) - f(\bvec{x}^{\prime \prime})} < \varepsilon$。
-\end{theorem}
+\end{theorem}
+
+\section{累次极限}
+\begin{definition}
+    定义
+    \begin{align*}
+        \tolim{y}{y_0} \tolim{x}{x_0} f(x, y) & := \tolim{y}{y_0} \left(\tolim{x}{x_0} f(x, y)\right)\\
+        \tolim{x}{x_0} \tolim{y}{y_0} f(x, y) & := \tolim{x}{x_0} \left(\tolim{y}{y_0} f(x, y)\right)\eqper
+    \end{align*}
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+    任意固定$y \neq y_0$若$\tolim{x}{x_0} f(x, y)$存在，记为
+    \[g(y) = \tolim{x}{x_0} f(x, y)\]
+    若$\tolim{y}{y_0} g(y) = A$，则$\tolim{y}{y_0} \tolim{x}{x_0} f(x, y) = \tolim{y}{y_0} g(y) = A$。
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+    $\tolim{(x, y)}{(x_0, y_0)} f(x, y)$称为二重极限。
+\end{remark}
+
+\begin{theorem}
+    若$f(x, y)$在$(x_0, y_0)$存在重极限与一个累次极限，则他们相等。
+\end{theorem}
+
+\begin{corollary}
+    若$f(x, y)$在$(x_0, y_0)$重极限与两个累次极限都存在，则三者相等。
+\end{corollary}
+
+\begin{corollary}
+    若$f(x, y)$在$(x_0, y_0)$的两个累次极限存在但不相等，则重极限不存在。
+\end{corollary}
+
+\section{多元函数的连续性}
+\begin{definition}[多变量连续函数]
+    设$D \subset \ndreal$，$f: D \to \realnum$，$\bvec{a} \in D$。如果对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$使得当$\bvec{x} \in D \cap B_\delta (\bvec{a})$时，一定有
+    \[\abs{f(\bvec{x}) - f(\bvec{a})} < \varepsilon\]
+    则说函数$f$在点$\bvec{a}$连续，$\bvec{a}$称为$f$的一个连续点；$D$中$f$的非连续点称为$f$的间断点。
+
+    如果$f$在$D$內每一点都连续，则称$f$在$D$上连续。
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    对区域（开或闭）$D \subset \ndreal$，定义记号
+    \[C(D) = \{f: D \to \realnum \mid \text{$f$在$D$中每一点都连续}\}\eqper\]
+\end{definition}
+
+\begin{corollary}
+    $C(D)$是一个线性空间，即对任意的$f, g \in C(D)$，$\alpha, \beta \in \realnum$，有$\alpha f + \beta g \in C(D)$。
+\end{corollary}
+
+\begin{corollary}
+    连续函数经过四则运算（分母不为0）仍连续。
+\end{corollary}
+
+\begin{example}
+    考察下列函数的连续性：
+    \begin{enumerate}
+        \item 常值函数$\phi(x, y) \equiv c$，在$\realnum^2$上处处连续；
+        \item 线性函数$g(x, y) = ax + by$，在$\realnum^2$上处处连续；
+        \item 多项式函数$P(x, y) = \dsum_{i = 0}^n \dsum_{j = 0}^m a_{ij} x^i y^j$在$\realnum^2$上处处连续；
+        \item 有理函数$f(x, y) = \dfrac{P(x, y)}{Q(x, y)}$除去$Q(x, y)$零点外处处连续。
+    \end{enumerate}
+\end{example}
+
+\begin{definition}[多元实值函数的一致连续]
+    $D \subset \ndreal$，$f: D \to \realnum$。如果任意给定$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得凡是$\bvec{x}, \bvec{y} \in D$且$\norm{\bvec{x} - \bvec{y}} < \delta$时，便有$\abs{f(\bvec{x}) - f(\bvec{y})} < \varepsilon$，则称$f$在$D$上一致连续。
+\end{definition}
+
+\begin{corollary}
+    若$f$在$D$上一致连续，则$f$在$D$中每一点都连续，即对任意$\bvec{a} \in \deriv{D}$，都有$\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} f(\bvec{x}) = f(\bvec{a})$。
+\end{corollary}
+
+\section{向量值函数的概念}
+\begin{definition}[向量值函数]
+    $\boldf: D \to \realnum^m$称为向量值函数，也记为$\bvec{y} = \boldf(\bvec{x})$。其中$\boldf$的定义域$D \subset \ndreal$，值域$\boldf(D) \subset \realnum^m$。
+
+    如果令$\bvec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in D$，$\bvec{y} = (y_1, y_2, \dots, y_m) \in \realnum^m$，那么函数也可以写成
+    \[\left\{
+        \begin{aligned}
+            y_1 & = f_1(x_1, x_2, \dots, x_n)\\
+            & \quad \vdots\\
+            y_m & = f_m(x_1, x_2, \dots, x_n)
+        \end{aligned}
+    \right.\]
+    这里$(f_1, f_2, \dots, f_m) = \boldf$。
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[复合函数/复合映射]
+    设$\bvec{g}: D \to \realnum^m$，$\boldf: \Omega \to \realnum^k$，$\Omega \subset \realnum^m$。如果$\bvec{g}(D) \subset \Omega$，则可以定义复合函数$\boldf \circ \bvec{g}: D \to \realnum^k$，也即$\boldf \circ \bvec{g} = \boldf(\bvec{g}(\bvec{x})), \bvec{x} \in D$。
+\end{definition}
+
+\section{向量值函数的极限与连续}
+
+\begin{definition}[向量值函数的极限]
+    设$D \subset \ndreal$，$\boldf: D \to \realnum^m$，又设$\bvec{a} \in \deriv{D}, \bvec{p} \in \realnum^m$。如果对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$使得凡是$\bvec{x} \in D \cap B_\delta (\hat{\bvec{a}})$时便有
+    \[\norm{\boldf(\bvec{x}) - \bvec{p}} < \varepsilon\]
+    那么就称映射$\boldf$在点$\bvec{a}$有极限$\bvec{p}$，记为
+    \[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf(\bvec{x}) = \bvec{p}\]
+    也可以简记为
+    \[\boldf(\bvec{x}) \to \bvec{p} (\bvec{x} \to \bvec{a})\eqper\]
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+    设$D \in \ndreal$，$\boldf: D \to \realnum^m$，$\bvec{a} \in \deriv{D}$，$\bvec{p} = (p_1, p_2, \dots, p_m) \in \realnum^m$，$\boldf = (f_1, f_2, \dots, f_m)$。那么
+    \[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf(\bvec{x}) = \bvec{p}\]
+    当且仅当
+    \[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} f_i(\bvec{x}) = p_i, i = 1, 2, \dots, m\eqper\]
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[向量值函数极限的性质]
+    设$D \subset \ndreal$，$\bvec{a}\in \deriv{D}$。又设$\boldf: D \to \realnum^m$以及$\bvec{g}: D \to \realnum^m$，并且
+    \[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf(\bvec{x}) = \bvec{p}, \tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \bvec{g}(\bvec{x}) = \bvec{q}\]
+    于是
+    \begin{enumerate}
+        \item 对任意$\alpha, \beta \in \realnum$，$\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \left[\alpha \bvec{p} + \beta \bvec{q}\right]$；
+        \item $\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \brak{\boldf(\bvec{x}), \bvec{g}(\bvec{x})} = \brak{\bvec{p}, \bvec{q}}$。
+    \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[向量值函数的Cauchy收敛准则]
+    设$D \subset \ndreal$，$\bvec{a} \in \deriv{D}$，$\boldf: D \to \realnum^m$。那么极限$\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf(\bvec{x})$存在的充分必要条件时：对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对任意的$\bvec{x}^\prime, \bvec{x}^{\prime \prime} \in D \cap B_\delta (\hat{\bvec{a}})$，有$\norm{\boldf(\bvec{x}^\prime) - \boldf(\bvec{x}^{\prime \prime})} < \varepsilon$。
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[向量值函数的点列判别准则]
+    设$\boldf: \Omega \to \realnum^m$，$\Omega \subset \realnum^n$，$\bvec{x}_0 \in \Omega$。则$\boldf$在$\bvec{x}_0$处连续的充分必要条件是：对$\Omega$中任意点列$\{\bvec{x}_k\}$，当$\tolim{k}{\infty} \norm{\bvec{x}_k - \bvec{x}_0} = 0$时，有$\tolim{k}{\infty} \norm{\boldf(\bvec{x}_k) - \boldf(\bvec{x}_0)} = 0$。
+\end{theorem}
+
+\begin{definition}[连续向量值函数]
+    点集$D \subset \ndreal$，$\boldf: D \to \realnum^m$，$\bvec{a} \in D$。如果对任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$使得凡是$\bvec{x} \in D \cap B_\delta (\bvec{a})$时便有$\boldf (\bvec{x}) \in B_\varepsilon (\boldf(\bvec{a}))$，称映射$\boldf$在点$\bvec{a}$连续。
+
+    当\boldf 在$D$中每一点都连续时，称映射\boldf 在$D$上连续。
+
+    引入记号$C\left(D, \realnum^m\right) = \{\boldf: D \to \realnum^m \mid \text{\boldf 在$D$中每一点都连续}\}$。$D \subset \ndreal$可以是区域可以不是区域。特别地，有$C(D, \realnum^1) = C(D)$。
+\end{definition}
+
+\begin{corollary}
+    $C(D, \realnum^m)$是一个线性空间，即对任意的$\boldf, \bvec{g} \in C(D, \realnum^m)$和任意的$\alpha, \beta \in \realnum$，有$\alpha \boldf + \beta \bvec{g} \in C(D, \realnum^m)$。
+\end{corollary}
+
+\begin{theorem}[连续映射的开集特征]
+    设$D \subset \ndreal$是开集，$\boldf: D \to \realnum^m$。则\boldf 在$D$中处处连续的充分必要条件是对任意的$\realnum^m$中的开集$G$，原像集$\boldf^{-1}(G)$是$\ndreal$中的开集。这里
+    \[\boldf^{-1} (G) = \{\bvec{x} \in D \mid \boldf(\bvec{x}) \in G\}\eqper\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    \textbf{先证明必要性}：设\boldf 在$D$中处处连续。取$G \subset \realnum^m$为开集，要证明$\boldf^{-1}(G)$是开集。不妨令$\boldf^{-1}(G) = \{\bvec{x} \in D \mid \boldf(\bvec{x}) \in G\} \neq \varnothing$。
+
+    对任意的$\bvec{x}_0 \in \boldf^{-1}(G)$，往证$\bvec{x}_0 \in \left(\boldf^{-1}(G)\right)\interior$。
+
+    注意$\boldf(\bvec{x_0}) \in G = G\interior$，即存在$\varepsilon > 0$使得$B_\varepsilon (\boldf(\bvec{x}_0)) \subset G$。由\boldf 的连续性，存在$\delta > 0$使得对任意的$\bvec{x} \in B_\delta(\bvec{x}_0)$都有$\norm{\boldf(\bvec{x}) - \boldf(\bvec{x}_0)} < \varepsilon$，即$\boldf(\bvec{x}) \in B_\varepsilon (\boldf(\bvec{x})) \subset G$。
+
+    因而$B_\delta(\bvec{x}_0) \subset \boldf^{-1}(G)$，因而$\bvec{x}_0 \in (\boldf^{-1}(G))\interior$。
+
+    \textbf{再证明充分性}：已知对任意的开集$G \subset \realnum^m$，原像集$\boldf^{-1}(G)$也是开集，要证\boldf 在$D$中处处连续。对任意的$\bvec{x}_0 \in D$，那么对任意的$\varepsilon > 0$，取开集$G = B_\varepsilon (\boldf(\bvec{x}_0)) \subset \realnum^m$。根据题设，原像集
+    \[\boldf^{-1}(G) = \{\bvec{x} \mid \boldf(\bvec{x}) \in B_\varepsilon (\boldf(\bvec{x_0}))\}\]
+    是开集。
+    
+    注意到$\bvec{x}_0 \in \boldf^{-1}(G)$，因此存在$\delta > 0$满足$B_\delta(\bvec{x}_0) \subset \boldf^{-1}(G)$。这说明对任意的$\bvec{x} \in B_\delta(\bvec{x}_0)$，$\boldf(\bvec{x}) \in B_\varepsilon(\boldf(\bvec{x}_0))$，即对任意的$\bvec{x}$满足$\norm{\bvec{x} - \bvec{x}_0} < \delta$，总有$\norm{\boldf(\bvec{x}) - \boldf(\bvec{x}_0)} < \varepsilon$。
+\end{proof}
+
+\begin{remark}
+    连续映射不一定把开集映射为开集。
+\end{remark}
+
+\begin{theorem}[复合函数的极限]
+    设$\bvec{g}: D \to \realnum^m$，$\boldf: \Omega \to \realnum^k$，$\bvec{G}(D) \subset \Omega$。又设$\bvec{a} \in \deriv{D}$，$\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \bvec{g}(\bvec{x}) = \bvec{p}, \tolim{\bvec{y}}{\bvec{p}} \boldf(\bvec{y}) = \boldf(\bvec{p})$，那么
+    \[\tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf \circ \bvec{g}(\bvec{x}) = \tolim{\bvec{x}}{\bvec{a}} \boldf(\bvec{g}(\bvec{x})) = \boldf(\bvec{p})\eqper\]
+\end{theorem}
+
+\section{连续函数/映射的性质}
+\begin{definition}[向量值函数的一致连续]
+    对$D \subset \ndreal$，$\boldf: D \to \realnum^m$。如果对任意的$\varepsilon > 0$，存在$\delta$使得对任意的$\bvec{x}^\prime, \bvec{x}^{\prime \prime} \in D$只要满足$\norm{\bvec{x}^\prime - \bvec{x}^{\prime \prime} < \delta}$都有$\norm{\boldf(\bvec{x}^\prime) - \boldf(\bvec{x}^{\prime \prime})} < \varepsilon$，那么称映射\boldf 在$D$上一致连续。
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}[紧致集上的连续性]
+    设$D \subset \ndreal$，$\boldf: D \to \realnum^m$是$D$上的连续映射。如果$D$是紧致集，那么\boldf 在$D$上是一致连续的。
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[连续映射的紧致性]
+    设$D \subset \ndreal$，映射$\boldf: D \to \realnum^m$在$D$上连续。如果$D$的\ndreal 中的紧致集，那么$\boldf(D)$是$\realnum^m$中的紧致集。
+\end{theorem}
+
+\begin{corollary}
+    若上面$m = 1$，则$f$在$D$上可达到最大最小值，即存在$\underline{\bvec{x}}, \overline{\bvec{x}} \in D$，使得对任意的$\bvec{x} \in D$，有
+    \[f(\underline{\bvec{x}}) \leq f(\bvec{x}) \leq f(\overline{\bvec{x}})\eqper\]
+\end{corollary}
+
+\begin{proposition}
+    一维欧氏空间中道路连通集$E$必是一个区间。
+\end{proposition}
+
+\begin{theorem}[连续映射的连通性质]
+    设$\boldf \in C(D, \realnum^m)$，若$D$道路连通，则$\boldf(D)$也道路连通。
+\end{theorem}
+
+\begin{corollary}[数值函数介值定理]
+    设$f \in C(D)$，若$D$道路连通，则$f$在$D$上有介质性质：令$\bvec{a}, \bvec{b} \in D$，$f(\bvec{a}) \neq f(\bvec{b})$，则对任意介于$f(\bvec{a})$与$f(\bvec{b})$之间的$r$，都存在$\bvec{c} \in D$使得$f(\bvec{c}) = r$。
+\end{corollary}