From 9f5836ec9535d68d06805fe9561420059b9f75bc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unlockable Date: Wed, 5 Oct 2022 13:32:31 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E7=AC=AC=E4=B8=89=E5=91=A8=E3=80=82?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 01实数和数列极限.tex | 126 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 高等微积分.tex | 2 +- 2 files changed, 125 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/01实数和数列极限.tex b/01实数和数列极限.tex index f253880..ee0b2c1 100644 --- a/01实数和数列极限.tex +++ b/01实数和数列极限.tex @@ -456,7 +456,7 @@ \[a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n, b_n = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{n!}\] \begin{theorem}\label{Definition of e} - $\toinf a_n = a$与$\toinf b_n = b$均存在，且$a=b$，今后记为$\mathe$。 + $\toinf a_n = a$与$\toinf b_n = b$均存在，且$a=b$，今后记为$e$。 \end{theorem} \begin{lemma}\label{e lemma 1} @@ -686,7 +686,7 @@ 同样，若$E \cap \left[\dfrac{a_1 + b_1}{2}, b_1\right]$非空，取$[a_2, b_2] = \left[\dfrac{a_1 + b_1}{2}, b_1\right]$；否则，取$[a_2, b_2] \\ = \left[a_1, \dfrac{a_1 + b_1}{2}\right]$。 依此类推，得到数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$，它们具有以下性质： - \begin{enumerate}[label=(a)] + \begin{enumerate}[label=(\alph{*})] \item $\{a_n\}$单调增，$\{b_n\}$单调减，且$a_n \leq b_n, n = 1, 2, \cdots$；\label{sup inf prove a} \item $b_n - a_n = \dfrac{b_0 - a_0}{2^n}, n = 1, 2, \cdots$；\label{sup inf prove b} \item $E \cap [a_n, b_n]$非空，$b_n$是$E$上界，$n = 1, 2, \cdots$。\label{sup inf prove c} @@ -700,3 +700,125 @@ \end{proof} 回忆约定：若$E$无上界，则记$\sup E = + \infty$；若$E$无下界，则记$\inf E = - \infty$。 + +\begin{example} + 证明：若$\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \mathbb{N}$，则$\{x_n\}$为柯西列。 +\end{example} + +\begin{proof} + $\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \mathbb{N}$，则$\vert x_n - x_{n+1} \leq \dfrac{1}{n^2} \eqco \forall n$。于是$\forall p, n > 1$ + \[ + \begin{aligned} + \vert x_n - x_{n+p} \vert & \leq \vert x_n - x_{n+1} \vert + \vert x_{n+1} - x_{n+2} \vert + \cdots + \vert x_{n+p-1} - x_{n+p} \vert \\ + & \leq \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{(n+p-1)^2}\\ + & \leq \frac{1}{n(n-1)} + \cdots + \frac{1}{(n+p-1)(n+p-2)}\\ + & = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+p-1}\\ + & < \frac{1}{n-1} \eqper + \end{aligned} + \] +\end{proof} + +证明的核心思想是通过放缩把$n, p$两个任意的数只留下一个，这样就可以说明他在什么情况下一定小于一个$\varepsilon$。 + +\section{实数理论六大原理} +\begin{enumerate} + \item 单调性原理 + \item 确界原理 + \item Bolzano-Weirstrass列紧原理 + \item Cauchy收敛原理 + \item 区间套原理 + \item Heine-Borel有限覆盖原理 + \item 有界无穷集必有聚点 +\end{enumerate} + +\begin{theorem}[闭区间套定理] + 若闭区间列$[a_n, b_n]$满足条件： + \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})] + \item $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n](n = 1, 2, \cdots)$ + \item $\toinf (b_n - a_n) = 0$ + \end{enumerate} + 则$\exists ! \xi \in \mathbb{R}$，s.t. $\xi \in \bigcap \limits_{n \geq 1}[a_n, b_n]$，$\toinf a_n = \toinf b_n = \xi$。 +\end{theorem} + +可以由单调收敛原理证明闭区间套原理： +\begin{proof} + 存在性：由$[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]$，有$\{a_n\}$单增，$\{b_n\}$单减，且$\forall n, a_1 \leq a_n \leq b_n \leq b_1$。 + + 由单调收敛原理，$\toinf a_n$与$\toinf b_n$存在。有因为$\toinf (b_n - a_n) = 0$，因此 + \[\toinf a_n = \toinf b_n := \xi \eqper\] + + 设$\exists a_k > \xi$。因为$\{a_n\}$单增，有$\forall n > k, a_n \geq a_k > \xi$。这与$\toinf a_n = \xi$矛盾。因此$\forall n, a_n \leq \xi$。同理，有$\forall n, \xi \leq b_n$。因此 + \[\forall n, a_n \leq \xi \leq b_n \eqper\] + + 唯一性：设$\forall n, a_n \leq \eta \leq b_n$。由极限的保序性，有 + \[\toinf a_n \leq \eta \leq \toinf b_n \eqper\] + 而 + \[\toinf a_n = \toinf b_n = \xi \eqco\] + 因此$\eta = \xi$。 +\end{proof} + +也可以由闭区间套定理证明Bolzano-Weirstrass定理： +\begin{proof} + 设$\{x_n\}$为有界数列。则$\exists a_1 < b_1$，满足$\forall n, x_n \in [a_1, b_1]$。用$\dfrac{a_1 + b-1}{2}$将$[a_1, b_1]$分为两个区间，则其中至少有一个包含$\{x_n\}$的无穷多项，记为$[a_2, b_2]$，再用$\dfrac{a_2 + b_2}{2}$将$[a_2, b_2]$分为两个区间，其中至少有一个包含$\{x_n\}$的无穷多项，记为$[a_3, b_3]$。如此继续，得到区间序列$[a_n, b_n], n=1,2, \cdots$，满足 + \[[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n](n = 1, 2, \cdots)\] + 且 + \[\toinf (b_n - a_n) = \toinf \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}} = 0 \eqper\] + + 由闭区间套定理，$\exists ! \xi \in \bigcap \limits_{n \geq 1} [a_n, b_n]$，且$\toinf a_n = \toinf b_n = \xi$。 + + $[a_1, b_1]$中包含\setname{X_n}的无穷多项，因此$\exists x_{n_1} \in [a_1, b_1]$。$[a_2, b_2]$中包含\setname{X_n}的无穷多项，因此$\exists X_{n_2} \in [a_1, b_2]$且$n_2 > n_1$。依次做下去，$\exists x_{n_{k+1}} \in [a_{k+1}, b_{k+1}]$且$n_{k+1} > n_k$。由此可以得到\setname{X_n}的子列\setname{X_{n_k}}，满足$\forall k, a_k \leq x_{n_k} \leq b_k$。令$k \to \infty$，由夹逼原理得 + \[\lim \limits_{k \to \infty} x_{n_k} = \lim \limits_{k \to \infty} a_k = \lim \limits_{k \to \infty} b_k = \xi \eqper\] +\end{proof} + +\begin{theorem}[有限覆盖定理] + 若闭区间$[a, b]$被开区间系$\Sigma = \{\sigma\}$覆盖（即$[a, b] \subseteq \bigcup \limits_{\sigma \in \Sigma} \sigma$），则存在有限子系$\Sigma^\ast = \{\sigma_1, \cdots, \sigma_n\} \subseteq \Sigma$使得$[a, b] \subseteq \bigcup \limits_{k = 1}^n \sigma_k$。 +\end{theorem} + +我们可以用区间套定理证明有限覆盖定理。 +\begin{proof} + 用反证法。假设不然，即$[a, b]$不能被$\Sigma$中有限个开区间覆盖。将区间$[a, b]$等分为两半，其中至少有一个区间不能被$\Sigma$中有限个开区间覆盖，将这样的区间记作$[a_1, b_1]$。再将$[a_1, b_1]$等分为两半，其中至少有一个区间不能被$\Sigma$中的有限个开区间覆盖。将这个区间记为$[a_2, b_2]$…… + + 这样我们得到区间套\setname{[a_k, b_k]}。由区间套定理知道，存在唯一的点$c \in \bigcap \limits_{k=1}^\infty [a_k, b_k]$。因为$\Sigma$覆盖区间$[a, b]$，所以$\exists \sigma \in \Sigma$使得$c \in \sigma$。又因为$\lim \limits_{k \to \infty}(b_k - a_k) = 0 \eqco c \in \bigcap \limits_{k = 1}^\infty [a_k, b_k]$，所以$\exists k$使得$[a_k , b_k] \subset \sigma$（$\sigma$的上下界是一定的，而$[a_k , b_k]$是可以无限小的，因此只要$k$足够大，就一定能让$[a_k , b_k]$包含在$\sigma$里面）。 + + 这与区间套的构作方式矛盾。 +\end{proof} + +\begin{definition}[临域] + 点$x_0$的$\delta$临域是指与点$x_0$距离小于$\delta$的点的集合$U(x_0, \delta) = \{x \vert \vert x - x_0 \vert < \delta\}$，即开区间$(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$。 +\end{definition} + +\begin{definition}[聚点] + 设集合$A \subseteq \mathbb{R} \eqco a \in \mathbb{R}$。若$\forall \delta > 0$，$a$的$\delta$临域中都含有$A$中无穷多个点，则称$a$是$A$的一个聚点。 +\end{definition} + +\begin{proposition} + $a$是$A$的一个聚点的充要条件是$\forall \delta > 0$，$a$的$\delta$临域中都含有$A$中异于$a$的点。 +\end{proposition} + +\begin{theorem} + 有界无穷集必有聚点。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + 设$A$是有界无穷集。任取$x_1 \in A$。 + + $A \setminus \{x_1\}$是有界无穷集，任取$x_2 \in A \setminus \{x_1\}$。 + + $A \setminus \{x_1, x_2\}$是有界无穷集，任取$x_3 \in A \setminus \{x_1, x_2\}$。 + + …… + + 数列\setname{X_n}有界，从而有收敛子列，记$\lim \limits_{k \to \infty} x_{n_k} = a$。 + + 下证$a$是$A$的一个聚点。$\forall \delta > 0 \exists K, \forall k > K, \vert x_{n_k} - a \vert < \delta$。即$a$的$\delta$临域含有$A$中的无穷多个点$x_{n_{K}}, x_{n_{K+1}}, \cdots$。 +\end{proof} + +\section{Stolz定理——一类数列极限的计算} +\begin{theorem}[Stolz定理] + 设\setname{a_n}为一数列，若： + \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})] + \item \setname{b_n}严格单调增，且$\toinf b_n = +\infty$，$\toinf \dfrac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = A$或 + \item \setname{b_n}严格单调减且$\toinf a_n = \toinf b_n = 0$，$\toinf \dfrac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = A$， + \end{enumerate} + 则$\toinf \dfrac{a_n}{b_n} = A$。 +\end{theorem} \ No newline at end of file diff --git a/高等微积分.tex b/高等微积分.tex index 50e335a..945b45f 100644 --- a/高等微积分.tex +++ b/高等微积分.tex @@ -34,7 +34,7 @@ } \newcommand*{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\toinf}{\lim \limits_{n \to \infty}} -\newcommand{\mathe}{\mathrm{e}} +\newcommand{\setname}[1]{$\{#1\}$} \title{{\Huge{\textbf{高等微积分}}}} \author{}