diff --git a/01实数和数列极限.tex b/01实数和数列极限.tex index ee0b2c1..354ff96 100644 --- a/01实数和数列极限.tex +++ b/01实数和数列极限.tex @@ -2,18 +2,18 @@ \section{实数及其性质} \begin{definition}[通用记号约定] 数集：\par - $\mathbb{N}$——自然数全体，关于加法和乘法运算封闭；\par - $\mathbb{Z}$——整数全体，自然数集的扩充，$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$。关于加法的逆运算（减法）也封闭；\par + $\naturalnum$——自然数全体，关于加法和乘法运算封闭；\par + $\integer$——整数全体，自然数集的扩充，$\naturalnum \subset \integer$。关于加法的逆运算（减法）也封闭；\par $\mathbb{Q}$——有理数全体，整数集的扩充。关于加、乘及其逆运算（减、除）封闭；\par - $\mathbb{R}$——实数全体，有理数集的扩充，关于极限运算封闭。 + $\realnum$——实数全体，有理数集的扩充，关于极限运算封闭。 \end{definition} \begin{theorem}[有理数的稠密性] - $\forall a, b \in \mathbb{R}$，$a < b$，$\exists r \in \mathbb{Q}$，s.t. $a < r < b$。 + $\forall a, b \in \realnum$，$a < b$，$\exists r \in \mathbb{Q}$，s.t. $a < r < b$。 \end{theorem} \begin{definition}[上界、下界、有界、无界] - $A$为非空数集。若$\exists M \in \mathbb{R}$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \leq M$，则称$M$为$A$的一个\textbf{上界}。若$\exists m \in R$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \geq m$，则称$m$为$A$的一个\textbf{下界}。若$A$既有上界又有下界，则称 $A$ \text{有界}，否则称 $A$ \textbf{无界}。 + $A$为非空数集。若$\exists M \in \realnum$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \leq M$，则称$M$为$A$的一个\textbf{上界}。若$\exists m \in R$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \geq m$，则称$m$为$A$的一个\textbf{下界}。若$A$既有上界又有下界，则称 $A$ \text{有界}，否则称 $A$ \textbf{无界}。 \end{definition} \begin{definition}[上确界$\sup A$、下确界$\inf A$] @@ -35,7 +35,7 @@ \section{数列和收敛数列} \subsection{收敛和发散} \begin{definition}[收敛] - 设数列$\{ a_n \}$，$a \in \mathbb{R}$。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得$\forall n > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$则称数列数列$\{ a_n \}$\textbf{收敛}于$a$（$n$趋于无穷时），记为$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$或$a_n \to a \ (n \to \infty)$。$a$称为$\{ a_n \}$的极限。 + 设数列$\{ a_n \}$，$a \in \realnum$。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使得$\forall n > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$则称数列数列$\{ a_n \}$\textbf{收敛}于$a$（$n$趋于无穷时），记为$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$或$a_n \to a \ (n \to \infty)$。$a$称为$\{ a_n \}$的极限。 \end{definition} \begin{definition}[发散] @@ -45,7 +45,7 @@ 收敛的含义：对于$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$， \begin{enumerate} \item $\forall \varepsilon > 0$……$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$：$\varepsilon$可以任意小； - \item $\exists n_0 \in \mathbb{N}$：$n$可能与$\varepsilon$有关； + \item $\exists n_0 \in \naturalnum$：$n$可能与$\varepsilon$有关； \item $\forall n > n_0$：$n$充分大之后。 \end{enumerate} 综上，只要$n$充分大，就能使$a_n$任意接近$a$。 @@ -120,11 +120,11 @@ \begin{remark} $\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$\par - $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$\par - $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n \geq N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \varepsilon$\par - $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < k\varepsilon$（$k$为任意正常数）\par - $\Leftrightarrow \forall \varepsilon \in (0,1)$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$（强调$\varepsilon$``任意地小''的部分而不强调``任意地大''的部分）\par - $\Leftrightarrow \forall k \in \mathbb{N}$, $\exists N = N(k) \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \dfrac{1}{k}$。 + $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \naturalnum$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$\par + $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \naturalnum$, s.t. 当$n \geq N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \varepsilon$\par + $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \naturalnum$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < k\varepsilon$（$k$为任意正常数）\par + $\Leftrightarrow \forall \varepsilon \in (0,1)$, $\exists N \in \naturalnum$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$（强调$\varepsilon$``任意地小''的部分而不强调``任意地大''的部分）\par + $\Leftrightarrow \forall k \in \naturalnum$, $\exists N = N(k) \in \naturalnum$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \dfrac{1}{k}$。 \end{remark} \section{由已知极限求未知极限} @@ -149,7 +149,7 @@ \begin{proof}[分析] \renewcommand{\qedsymbol}{} - 我们已经知道，$\forall \varepsilon > 0$，$N_1 \in \mathbb{N}$，$\forall n > N_1$，$\vert a_n - A \vert < \varepsilon$。 + 我们已经知道，$\forall \varepsilon > 0$，$N_1 \in \naturalnum$，$\forall n > N_1$，$\vert a_n - A \vert < \varepsilon$。 那么我们可以把要求的式子变形成 \begin{equation*} @@ -167,7 +167,7 @@ \end{proof} \begin{proof} - 由题，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists N_1 \in \mathbb{N}$，$\forall n > N_1$，$\vert a_n - A \vert < \varepsilon$。 + 由题，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists N_1 \in \naturalnum$，$\forall n > N_1$，$\vert a_n - A \vert < \varepsilon$。 对此$N_1$，一定存在$N_2 > N_1$，使$\forall n > N_2$，$\dfrac{\vert a_1 - A \vert + \vert a_2 - A \vert + \cdots + \vert a_N -A \vert}{n} < \varepsilon$。 @@ -185,11 +185,11 @@ \begin{definition}[发散到无穷的定义] \ \par - 若$\forall M > 0$，$N \in \mathbb{N}$，当$n > N$时$a_n > M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$+ \infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = + \infty$； + 若$\forall M > 0$，$N \in \naturalnum$，当$n > N$时$a_n > M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$+ \infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = + \infty$； - 若$\forall M > 0$，$N \in \mathbb{N}$，当$n > N$时$a_n < -M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$- \infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = - \infty$； + 若$\forall M > 0$，$N \in \naturalnum$，当$n > N$时$a_n < -M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$- \infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = - \infty$； - 若$\forall M > 0$，$N \in \mathbb{N}$，当$n > N$时$\vert a_n \vert > M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$\infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = \infty$。 + 若$\forall M > 0$，$N \in \naturalnum$，当$n > N$时$\vert a_n \vert > M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$\infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = \infty$。 \end{definition} \begin{remark} @@ -197,21 +197,21 @@ \end{remark} \section{收敛数列的性质} -\begin{theorem}[唯一性] +\begin{proposition}[唯一性] 如果$\{ a_n \}$收敛，则其极限是唯一的。 -\end{theorem} +\end{proposition} \begin{proof} 反证法：假设$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$，$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = B$且$A \neq B$。 由$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$，可以得到 \begin{equation} - \forall \varepsilon > 0 \eqco \exists N_1 \in \mathbb{N} \eqco \forall n > N_1 \eqco \vert a_n - A \vert < \varepsilon \text{；}\label{1.4.1.1} + \forall \varepsilon > 0 \eqco \exists N_1 \in \naturalnum \eqco \forall n > N_1 \eqco \vert a_n - A \vert < \varepsilon \text{；}\label{1.4.1.1} \end{equation} 由$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = B$，可以得到 \begin{equation} - \forall \varepsilon > 0 \eqco \exists N_2 \in \mathbb{N} \eqco \forall n > N_2 \eqco \vert a_n - B \vert < \varepsilon \text{；}\label{1.4.1.2} + \forall \varepsilon > 0 \eqco \exists N_2 \in \naturalnum \eqco \forall n > N_2 \eqco \vert a_n - B \vert < \varepsilon \text{；}\label{1.4.1.2} \end{equation} 取$N = \max \{ N_1, N_2 \}$，取$\varepsilon = \dfrac{\vert A - B \vert}{3}$，$\forall n > N$，\ref{1.4.1.1}与\ref{1.4.1.2}同时成立。因此，有 @@ -225,16 +225,16 @@ 矛盾！因此原假设不成立。 \end{proof} -\begin{theorem}[有界性] +\begin{proposition}[有界性] 设$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，则$\{ a_n \}$有界。 -\end{theorem} +\end{proposition} \begin{proof} - 由题，$\exists N \in \mathbb{N}$，$\forall n > N$，$\vert a_n - A \vert < 1$。 + 由题，$\exists N \in \naturalnum$，$\forall n > N$，$\vert a_n - A \vert < 1$。 则$\forall n > N$，$a_n \leq a + 1$。 - 为此，令$M = \max \{ a_1, a_2, \ldots , a_N, a + 1\} + 1$，则$\forall n \in \mathbb{N}$，都有$\vert a_n \vert < M$。因此$\{ a_n \}$有界。 + 为此，令$M = \max \{ a_1, a_2, \ldots , a_N, a + 1\} + 1$，则$\forall n \in \naturalnum$，都有$\vert a_n \vert < M$。因此$\{ a_n \}$有界。 \end{proof} \begin{remark} @@ -251,7 +251,7 @@ \end{theorem} \begin{proof} - $\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使$\forall n > n_0$都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$。 + $\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n > n_0$都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$。 任取$\{ a_n \}$的一个子列$\{ a_{k_n} \}$。注意$k_n \geq n$（子列的下标与数列下标的关系），当$n > n_0$时，$k_n \geq n > n_0$。因此$\vert a_{k_n} - a \vert < \varepsilon$。那么$\lim \limits_{n \to \infty} a_{k_n} = a$。 \end{proof} @@ -270,14 +270,14 @@ 也就是说如果一个数列的两个子列极限不同或有不收敛子列，就可以判定该数列不收敛。例如$(-1)^n$。 \end{remark} -\begin{theorem}[保号性] +\begin{proposition}[保号性] 设$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，有： \begin{enumerate} \item 若$a_n \geq 0$，则$n$充分大后$a \geq 0$。 \item 若$a > 0$，则$n$充分大后$a_n > 0$。 \end{enumerate} -\end{theorem} +\end{proposition} \begin{corollary}[极限的保序性] 若$\toinf a_n = a$，$\toinf b_n = b$，则 @@ -288,14 +288,14 @@ \end{corollary} -\begin{theorem}[极限的四则运算性质]\label{极限的四则运算性质} +\begin{proposition}[极限的四则运算性质]\label{极限的四则运算性质} 设$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，$\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b$，则： \begin{enumerate} \item $\lim \limits_{n \to \infty}(a_n \pm b_n) = a \pm b$； \item $\lim \limits_{n \to \infty}(a_n b_n) = ab$； \item $\lim \limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{a_n}{b_n}\right) = \dfrac{a}{b}$，只要$b \neq 0$。 \end{enumerate} -\end{theorem} +\end{proposition} 下面证明\ref{极限的四则运算性质}的第二条。 \begin{proof} @@ -305,7 +305,7 @@ \leq & \vert b_n \vert \vert a_n - a \vert + a \vert b_n - b \vert \text{；} \end{align*} - 其次，由于$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，$\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b$，因此$\forall \varepsilon > 0$，$\exists N_1, N_2 \in \mathbb{N}$，满足$\forall n > N_1$，$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$，$\forall n > N_2$，$\vert b_n - b \vert < \varepsilon$，又因为$\{ b_n \}$有界（设$\{ b_n \}$的一个上界为$M$），而$a$是定值，因此$\vert b_n \vert \vert a_n - a \vert + a \vert b_n - b \vert \leq M \cdot \varepsilon + a \cdot \varepsilon$。即$\lim \limits_{n \to \infty} a_n b_n = ab$。 + 其次，由于$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，$\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b$，因此$\forall \varepsilon > 0$，$\exists N_1, N_2 \in \naturalnum$，满足$\forall n > N_1$，$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$，$\forall n > N_2$，$\vert b_n - b \vert < \varepsilon$，又因为$\{ b_n \}$有界（设$\{ b_n \}$的一个上界为$M$），而$a$是定值，因此$\vert b_n \vert \vert a_n - a \vert + a \vert b_n - b \vert \leq M \cdot \varepsilon + a \cdot \varepsilon$。即$\lim \limits_{n \to \infty} a_n b_n = ab$。 \end{proof} 下面证明\ref{极限的四则运算性质}的第三条。 @@ -317,7 +317,7 @@ = & \left| \dfrac{1}{b_n} \right| \left(\left| a_n - a \right| + \left| \dfrac{a}{b}\right| \left| b_n - b \right| \right) \text{；} \end{align*} - 其次，由于$\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b$且$b \neq 0$，因此，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得$\forall n > n_0$，有$\vert b_n - b \vert < \left| \dfrac{b}{2} \right|$（$b_n$与$b$的距离不超过$\left| \dfrac{b}{2} \right|$），即$b - \left| \dfrac{b}{2} \right| < b_n < b + \left| \dfrac{b}{2} \right|$。那么，$\vert b_n \vert > \left| \dfrac{b}{2} \right|$（可通过数轴上的几何意义理解）。于是有$\left| \dfrac{1}{b_n} \right| < \left| \dfrac{2}{b} \right|$。那么令$M = \max \left\{ \left| \dfrac{1}{b_1} \right|, \left| \dfrac{1}{b_2} \right|, \ldots , \left| \dfrac{1}{b_{n_0}} \right|, \left| \dfrac{2}{b} \right| \right\}$，则$\forall n \in \mathbb{N}$，有$\left| \dfrac{1}{b_n} \right| \leq M$，即$\left| \dfrac{1}{b_n} \right|$有界。 + 其次，由于$\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b$且$b \neq 0$，因此，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使得$\forall n > n_0$，有$\vert b_n - b \vert < \left| \dfrac{b}{2} \right|$（$b_n$与$b$的距离不超过$\left| \dfrac{b}{2} \right|$），即$b - \left| \dfrac{b}{2} \right| < b_n < b + \left| \dfrac{b}{2} \right|$。那么，$\vert b_n \vert > \left| \dfrac{b}{2} \right|$（可通过数轴上的几何意义理解）。于是有$\left| \dfrac{1}{b_n} \right| < \left| \dfrac{2}{b} \right|$。那么令$M = \max \left\{ \left| \dfrac{1}{b_1} \right|, \left| \dfrac{1}{b_2} \right|, \ldots , \left| \dfrac{1}{b_{n_0}} \right|, \left| \dfrac{2}{b} \right| \right\}$，则$\forall n \in \naturalnum$，有$\left| \dfrac{1}{b_n} \right| \leq M$，即$\left| \dfrac{1}{b_n} \right|$有界。 因此， \begin{equation*} @@ -333,7 +333,7 @@ \end{theorem} \begin{proof} - $\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1, n_2 \in \mathbb{N}$，使： + $\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1, n_2 \in \naturalnum$，使： \begin{enumerate} \item $\forall n > n_1$，有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$，即$a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon$； \item $\forall n > n_2$，有$\vert c_n - a \vert < \varepsilon$，即$a - \varepsilon < c_n < a + \varepsilon$。 @@ -386,7 +386,7 @@ \end{proposition} \begin{definition}[无穷大数列] - 设$\{a_n\}$为一数列。若$\forall A > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得$\forall n > n_0$， + 设$\{a_n\}$为一数列。若$\forall A > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使得$\forall n > n_0$， \begin{enumerate} \item 都有$a_n > A$，则称$\{a_n\}$趋于$+\infty$，记为$\toinf a_n = + \infty$； \item 都有$a_n < -A$，则称$\{a_n\}$趋于$-\infty$，记为$\toinf a_n = - \infty$； @@ -525,7 +525,7 @@ \section{基本列和Cauchy收敛原理} \begin{definition}[基本列] - 设$\{a_n\}$为一个数列。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n \in \mathbb{N}^\ast$，使当$n > N$，对$\forall p \in \mathbb{N}$，都有$\vert a_{n+p} - a_n \vert < \varepsilon$，则称$\{a_n\}$是基本列或Cauchy列。 + 设$\{a_n\}$为一个数列。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n \in \naturalnum^\ast$，使当$n > N$，对$\forall p \in \naturalnum$，都有$\vert a_{n+p} - a_n \vert < \varepsilon$，则称$\{a_n\}$是基本列或Cauchy列。 \end{definition} \begin{proposition} @@ -533,7 +533,7 @@ \end{proposition} \begin{proof} - 令$\toinf a_n = a$。则$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使$\forall n, n' > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}, \vert a_{n'} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}$。由三角不等式 + 令$\toinf a_n = a$。则$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n, n' > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}, \vert a_{n'} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}$。由三角不等式 \[\vert a_n - a_{n'} = \vert a_n - a - (a_{n'} - a) \vert \leq \vert a_n - a \vert + \vert a_{n'} - a \vert < \varepsilon\] \end{proof} @@ -548,9 +548,9 @@ \end{lemma} \begin{proof} - 取基本列$\{a_n\}$。$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使$\forall n, n' > n_0$， $\vert a_n - a_{n'} \vert < 1$。由此可得$\forall n > n_0$，$\vert a_n - a_{n_0 + 1} \vert < 1$，所以$\vert a_n \vert \leq \vert a_{n_0 + 1} \vert + 1$。 + 取基本列$\{a_n\}$。$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n, n' > n_0$， $\vert a_n - a_{n'} \vert < 1$。由此可得$\forall n > n_0$，$\vert a_n - a_{n_0 + 1} \vert < 1$，所以$\vert a_n \vert \leq \vert a_{n_0 + 1} \vert + 1$。 - 进一步有$\forall n \in \mathbb{N}$，$\vert a_n \vert \leq \vert a_1 \vert + \cdots + \vert a_{n_0} \vert + \vert a_{n_1+1}+1\vert$。 + 进一步有$\forall n \in \naturalnum$，$\vert a_n \vert \leq \vert a_1 \vert + \cdots + \vert a_{n_0} \vert + \vert a_{n_1+1}+1\vert$。 \end{proof} \begin{lemma}[Bolzano-Weierstrass列紧性原理]\label{cauchy priciple of convergence lemma 2} @@ -569,7 +569,7 @@ \noindent 第一步，选子序列： - $\{a_n\}$有界$\Rightarrow \exists m_1, M_1$，$\forall n \in \mathbb{N}$，有$m_1 \leq a_n \leq M_1$。 + $\{a_n\}$有界$\Rightarrow \exists m_1, M_1$，$\forall n \in \naturalnum$，有$m_1 \leq a_n \leq M_1$。 可以将$\{a_n\}$分成两部分，其中的$a_i$分别满足 \[m_1 \leq a_i \leq \dfrac{m_1 + M_1}{2}, \dfrac{m_1 + M_1}{2} \leq a_i \leq M_1 \eqco\] @@ -603,15 +603,15 @@ \noindent 第一步，选子数列： - 设$a_{n_1} = a_1$。定义集合$\{a_{n_1}\} = \{a_n \vert n \in \mathbb{N}, n > 1\}$，$\{a_{n_1}\}$有界，设$b_1 = \sup{\{a_{n_1}\}}$； + 设$a_{n_1} = a_1$。定义集合$\{a_{n_1}\} = \{a_n \vert n \in \naturalnum, n > 1\}$，$\{a_{n_1}\}$有界，设$b_1 = \sup{\{a_{n_1}\}}$； - $\exists a_{n_2} \in \{a_{n_1}\}$，使$0 \leq b_1 - a_{n_2} < \dfrac{1}{2}$。定义集合$\{a_{n_2}\} = \{a_n \vert n \in \mathbb{N}, n > n_2\}$，$\{a_{n_2}\}$有界，设$b_2 = \sup{\{a_{n_2}\}} \leq b_1$； + $\exists a_{n_2} \in \{a_{n_1}\}$，使$0 \leq b_1 - a_{n_2} < \dfrac{1}{2}$。定义集合$\{a_{n_2}\} = \{a_n \vert n \in \naturalnum, n > n_2\}$，$\{a_{n_2}\}$有界，设$b_2 = \sup{\{a_{n_2}\}} \leq b_1$； - $\exists a_{n_3} \in \{a_{n_2}\}$，使$0 \leq b_2 - a_{n_3} < \dfrac{1}{3}$。定义集合$\{a_{n_3}\} = \{a_n \vert n \in \mathbb{N}, n > n_3\}$，$\{a_{n_3}\}$有界，设$b_3 = \sup{\{a_{n_3}\}} \leq b_2$； + $\exists a_{n_3} \in \{a_{n_2}\}$，使$0 \leq b_2 - a_{n_3} < \dfrac{1}{3}$。定义集合$\{a_{n_3}\} = \{a_n \vert n \in \naturalnum, n > n_3\}$，$\{a_{n_3}\}$有界，设$b_3 = \sup{\{a_{n_3}\}} \leq b_2$； 如此无限地操作下去，得 - $\exists a_{n_k} \in \{a_{n_{k-1}}\}$，使$0 \leq b_{k-1} - a_{n_k} < \dfrac{1}{k}$。定义集合$\{a_{n_k}\} = \{a_n \vert n \in \mathbb{N}, n > n_k\}$，$\{a_{n_k}\}$有界，设$b_k = \sup{\{a_{n_k}\}} \leq b_{k-1}$。 + $\exists a_{n_k} \in \{a_{n_{k-1}}\}$，使$0 \leq b_{k-1} - a_{n_k} < \dfrac{1}{k}$。定义集合$\{a_{n_k}\} = \{a_n \vert n \in \naturalnum, n > n_k\}$，$\{a_{n_k}\}$有界，设$b_k = \sup{\{a_{n_k}\}} \leq b_{k-1}$。 于是我们得到了一个子列 \[a_{n_1}, a_{n_2}, \cdots , a_{n_k}, \cdots \] @@ -631,10 +631,10 @@ \end{remark} \begin{proof} - 任取数列$\{a_n\}$，定义其``龙头项''为：固定$k \in \mathbb{N}$，若$\forall n > k, a_k > a_n$，则称$a_k$为一个``龙头项''。那么一个数列必属于下列两种情况之一： + 任取数列$\{a_n\}$，定义其``龙头项''为：固定$k \in \naturalnum$，若$\forall n > k, a_k > a_n$，则称$a_k$为一个``龙头项''。那么一个数列必属于下列两种情况之一： \begin{enumerate} \item $\{a_n\}$有无穷多个``龙头项''，依次记为$a_{k_1}, a_{k_2}, \cdots , a_{k_n}, \cdots$。注意$k_1 < k_2 < \cdots < k_n < \cdots$，因此$a_{k_1} > a_{k_2} > \cdots > a_{k_n} > \cdots$，这时$\{a_n\}$中有严格单调减子列$\{a_{k_n}\}$； - \item ``龙头项''只有有限多，那么$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，$\forall n \geq n_0$，$a_n$不是``龙头项''，取$a_{k_1} = a_{n_0}$，那么$a_{k_1}$不是``龙头项''，$\exists k_2 > k_1, a_{k_2} \geq a_{k_1}$，而$a_{k_2}$也不是``龙头项''，$\exists k_3 > k_2, a_{k_3} \geq a_{k_2}$，……依此类推，得到单调增子列$\{a_{k_n}\}$。 + \item ``龙头项''只有有限多，那么$\exists n_0 \in \naturalnum$，$\forall n \geq n_0$，$a_n$不是``龙头项''，取$a_{k_1} = a_{n_0}$，那么$a_{k_1}$不是``龙头项''，$\exists k_2 > k_1, a_{k_2} \geq a_{k_1}$，而$a_{k_2}$也不是``龙头项''，$\exists k_3 > k_2, a_{k_3} \geq a_{k_2}$，……依此类推，得到单调增子列$\{a_{k_n}\}$。 \end{enumerate} \end{proof} @@ -651,15 +651,15 @@ 注意 \[\vert a_n - a \vert \leq \vert a_n - a_{k_n} \vert + \vert a_{k_n} - a \vert \eqper\] - 首先，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1 \in \mathbb{N}$，使$\forall n, n' > n_1$，有\begin{equation*}\tag{1}\label{cauchy principle of convergence eq1} + 首先，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1 \in \naturalnum$，使$\forall n, n' > n_1$，有\begin{equation*}\tag{1}\label{cauchy principle of convergence eq1} \vert a_n - a_{n'} \vert < \dfrac{\varepsilon}{2} \text{；} \end{equation*} - 其次，由$\toinf a_{k_n} = a$，$\exists n_2 \in \mathbb{N}$，使$\forall n > n_2$，有\begin{equation*}\tag{2}\label{cauchy principle of convergence eq2} + 其次，由$\toinf a_{k_n} = a$，$\exists n_2 \in \naturalnum$，使$\forall n > n_2$，有\begin{equation*}\tag{2}\label{cauchy principle of convergence eq2} \vert a_{k_n} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}\eqper \end{equation*} - 综上，当$n > n_0 = \max{\{n_1, n_2\}} \in \mathbb{N}$，因为$k_n \geq n > n_0$，因此\eqref{cauchy principle of convergence eq1}与\eqref{cauchy principle of convergence eq2}都成立， + 综上，当$n > n_0 = \max{\{n_1, n_2\}} \in \naturalnum$，因为$k_n \geq n > n_0$，因此\eqref{cauchy principle of convergence eq1}与\eqref{cauchy principle of convergence eq2}都成立， \[\vert a_n - a \vert \leq \vert a_n - a_{k_n} \vert + \vert a_{k_n} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \eqper\] \end{proof} @@ -667,11 +667,11 @@ \section{上、下确界与确界原理} \begin{theorem}[确界原理] - 设$E \subset \mathbb{R}$非空。 + 设$E \subset \realnum$非空。 \begin{enumerate} - \item 如果$E$有上界，则必有上确界：$\exists \beta = \sup{E} \in \mathbb{R}$； - \item 如果$E$有下界，则必有下确界：$\exists \alpha = \inf{E} \in \mathbb{R}$； + \item 如果$E$有上界，则必有上确界：$\exists \beta = \sup{E} \in \realnum$； + \item 如果$E$有下界，则必有下确界：$\exists \alpha = \inf{E} \in \realnum$； \end{enumerate} \end{theorem} @@ -696,17 +696,17 @@ 只要再证明$\forall \varepsilon > 0$，$a - \varepsilon$都不是$E$的一个上界，即可证明$a=b$是$E$的上确界。 - 注意到$\toinf a_n = a > a - \varepsilon$，根据极限的保序性，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使$\forall n > n_0$，$a_n \geq a - \varepsilon$。而根据上面的\ref{sup inf prove c}，$E \cap [a_n, b_n]$非空，因此$\exists x_n \in E \cap [a_n, b_n], n= 1, 2, \cdots$。综上，$\forall n > n_0$，$\exists x_n \in E$，$x_n \geq a_n \geq a - \varepsilon$。因而$a - \varepsilon$不是$E$的上界，$a = b = \sup{E}$。 + 注意到$\toinf a_n = a > a - \varepsilon$，根据极限的保序性，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n > n_0$，$a_n \geq a - \varepsilon$。而根据上面的\ref{sup inf prove c}，$E \cap [a_n, b_n]$非空，因此$\exists x_n \in E \cap [a_n, b_n], n= 1, 2, \cdots$。综上，$\forall n > n_0$，$\exists x_n \in E$，$x_n \geq a_n \geq a - \varepsilon$。因而$a - \varepsilon$不是$E$的上界，$a = b = \sup{E}$。 \end{proof} 回忆约定：若$E$无上界，则记$\sup E = + \infty$；若$E$无下界，则记$\inf E = - \infty$。 \begin{example} - 证明：若$\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \mathbb{N}$，则$\{x_n\}$为柯西列。 + 证明：若$\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \naturalnum$，则$\{x_n\}$为Cauchy列。 \end{example} \begin{proof} - $\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \mathbb{N}$，则$\vert x_n - x_{n+1} \leq \dfrac{1}{n^2} \eqco \forall n$。于是$\forall p, n > 1$ + $\vert x_n - x_{n+p} \vert \leq \dfrac{p}{n^2} \eqco \forall p, n \in \naturalnum$，则$\vert x_n - x_{n+1} \leq \dfrac{1}{n^2} \eqco \forall n$。于是$\forall p, n > 1$ \[ \begin{aligned} \vert x_n - x_{n+p} \vert & \leq \vert x_n - x_{n+1} \vert + \vert x_{n+1} - x_{n+2} \vert + \cdots + \vert x_{n+p-1} - x_{n+p} \vert \\ @@ -737,7 +737,7 @@ \item $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n](n = 1, 2, \cdots)$ \item $\toinf (b_n - a_n) = 0$ \end{enumerate} - 则$\exists ! \xi \in \mathbb{R}$，s.t. $\xi \in \bigcap \limits_{n \geq 1}[a_n, b_n]$，$\toinf a_n = \toinf b_n = \xi$。 + 则$\exists ! \xi \in \realnum$，s.t. $\xi \in \bigcap \limits_{n \geq 1}[a_n, b_n]$，$\toinf a_n = \toinf b_n = \xi$。 \end{theorem} 可以由单调收敛原理证明闭区间套原理： @@ -788,7 +788,7 @@ \end{definition} \begin{definition}[聚点] - 设集合$A \subseteq \mathbb{R} \eqco a \in \mathbb{R}$。若$\forall \delta > 0$，$a$的$\delta$临域中都含有$A$中无穷多个点，则称$a$是$A$的一个聚点。 + 设集合$A \subseteq \realnum \eqco a \in \realnum$。若$\forall \delta > 0$，$a$的$\delta$临域中都含有$A$中无穷多个点，则称$a$是$A$的一个聚点。 \end{definition} \begin{proposition} diff --git a/02函数及其连续性.tex b/02函数及其连续性.tex new file mode 100644 index 0000000..22c02d6 --- /dev/null +++ b/02函数及其连续性.tex @@ -0,0 +1,370 @@ +\chapter{函数及其连续性} +\section{映射的一般概念和性质} +\begin{definition}[映射] + 设$A \eqco B$是两个集合，如果$\forall x \in A \eqco \exists ! f(x) \in B$，则记$f: A \to B$，$f$称为由$A$到$B$的一个映射。集$A$称为定义域，$B$称为值域。 +\end{definition} + +\begin{definition}[满射] + 设$f: A \to B$。若$\forall y \in B \eqco \exists x \in A$满足$f(x) = y$（$x \in A$不必唯一），则称$f$是一个满射。 +\end{definition} + +\begin{definition}[单射] + 设$f: A \to B$。若$\forall x_1, x_2 \in A \eqco x_1 \neq x_2$必有$f(x_1) \neq f(x_2)$，则称$f$是一个单射。 +\end{definition} + +\begin{definition}[一一映射] + 设$f: A \to B$。如果$f$即是满射又是单射，则称$f$是双射（一一对应）。 +\end{definition} + +\begin{corollary} + 记$B_1 = \{f(x) \vert x \in A\}$，则$f: A \to B_1$是满射。 + + 又若$f: A \to B$是单射，则$f: A \to B_1$是双射。 +\end{corollary} + +\begin{definition}[像集] + 设$f: A \to B$。令$E \subset A$。记$f(E) = \{f(x) \vert x \in E\}$。$f(E)$称为$E$的像（集）。 +\end{definition} + +\begin{definition}[逆像] + 设$f: A \to B$。令$K \subset B$。记$f^{-1}(K) = \{x \in A \vert f(x) \in K\}$。$f^{-1}(K)$称为$K$的逆像（原像）。 +\end{definition} + +\begin{remark} + 原像可以是空集，如果映射不是满射的话。 +\end{remark} + +\begin{definition}[逆映射] + 设$f: A \to B$是单射，记$B_1 = f(A)$，则$\forall y \in B_1$，$\exists ! x \in A$满足$f(x) = y$。定义$f^{-1}(y) = x$，由此得到映射$f^{-1}: B_1 \to A$，成为$f$的逆映射。 +\end{definition} + +\begin{remark} + 仅当$f$为单射式，才能定义逆映射$f^{-1}: B_1 \to A$，否则$\exists y \in B_1$，$f^{-1}(y)$不唯一，不符合映射的定义。 +\end{remark} + +\begin{corollary} + $f: A \to B$的逆映射$f^{-1}: B \to A$存在当且仅当$f$是双射时。 +\end{corollary} + +\begin{definition}[复合映射] + 设$g: A \to B$，$f: C \to D$，满足$g(A) \subset C$，则可以定义映射$f \circ g : A \to D$：$\forall x \in A$，$(f \circ g)(x) = f(g(x)) \in D$称为$f$与$g$的复合。 +\end{definition} + +\begin{theorem} + 设$f: A \to B$是双射，则逆映射$f^{-1}: B \to A$存在且$f(A) = B$，$f^{-1}(B) = A$，所以复合映射 + \[f \circ f^{-1}: B \to B \eqco f^{-1} \circ f: A \to A\] + 都存在，且二者分别是$B$与$A$上的恒等映射： + \begin{equation*} + \begin{aligned} + \forall y \in B \eqco (f \circ f^{-1})(y) = y\\ + \forall x \in A \eqco (f^{-1} \circ f)(x) = x + \end{aligned} + \end{equation*} +\end{theorem} + +\section{函数的表示、运算与性质} +\begin{definition}[函数] + 设$A$为实数集合，则$f: A \to \realnum$称为函数。$\forall x \in A$，$\exists ! f(x) \in \realnum$。称这里的实数$x$为自变量，$f(x)$称为函数值。 +\end{definition} + +\begin{definition}[函数的四则运算] + 设$f: A \to \realnum$，$g: B \to \realnum$，$D = A \cap B$非空，定义 + \begin{enumerate} + \item $f \pm g : D \to \realnum$，$\forall x \in D$，$(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$ + \item $fg: D \to \realnum$，$\forall x \in D$，$(fg)(x) = f(x)g(x)$ + \item $f / g: D \to \realnum$，$\forall x \in D_0$，其中$D_0 = \{x \in D \vert g(x) \neq 0\}$，$(f/g)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{definition}[函数的复合运算] + 设$f: A \to \realnum$，$g:B \to \realnum$，$g(B) \subset A$，则得到的复合映射$f \circ g:B \to \realnum$也是一个函数，成为复合函数 + \[(f \circ g)(x) = f(g(x)) \eqco \forall x \in B\] +\end{definition} + +\begin{definition}[单调函数] + 设$f: A \to \realnum$，$A \subset \realnum$ + \begin{itemize} + \item 若$\forall x_1, x_2 \in A \eqco x_1 < x_2$时，$f(x_1) \leq f(x_2)$，则称$f$单调增； + \item 若$\forall x_1, x_2 \in A \eqco x_1 < x_2$时，$f(x_1) \geq f(x_2)$，则称$f$单调减。 + \end{itemize} + 若上面的不等号时严格不等号，则称为严格单调。 +\end{definition} + +\begin{corollary} + 设$f: A \to \realnum$严格单调，记$f(A) = D$，则 + \begin{enumerate} + \item $f^{-1}: D \to A$存在； + \item $f^{-1}$也严格单调，且与$f$的增减性相同。 + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\section{基本初等函数} +基本初等函数有： +\begin{enumerate}[label=(\arabic{*})] + \item 多项式函数（由常值函数和恒等函数的加乘运算生成） + \[P(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n \eqco x \in \realnum\] + 其中$a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n \in \realnum$为常数。 + \item 幂函数 + \[f(x) = x^a \eqco x > 0\] + 特别当$a = n \in \naturalnum$时，$f(x) = x^n \eqco x \in \realnum$； + + 当$a = -n , n \in \naturalnum$时，$f(x) = x^{-n} = \dfrac{1}{x^n} \eqco x \neq 0$； + + 当$a = \dfrac{n}{m} \eqco m,n \in \integer$时，$f(x) = x^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{x^n} \eqco x > 0$。 + \item 指数函数 + + 令$a > 0$固定 + \[f(x) = a^x \eqco x \in \realnum\] + \item 对数函数 + + 令$a > 0$且$a \neq 1$ + \[f(x) = \log_a x \eqco x > 0\] + \item 三角函数 + \begin{equation*} + \begin{aligned} + f_1(x) = \sin x \eqco x \in \realnum\\ + f_2(x) = \cos x \eqco x \in \realnum + \end{aligned} + \end{equation*} + \item 反三角函数 + \begin{equation*} + \begin{aligned} + f_1^{-1} = \arcsin x \eqco \vert x \vert < 1\\ + f_2^{-1} = \arccos x \eqco \vert x \vert < 1 + \end{aligned} + \end{equation*} +\end{enumerate} + +\section{函数的极限} +\begin{definition}[函数的极限] + 设函数$f$在点$x_0$附近有定义（除$x_0$以外）。$A \in \realnum$，若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使所有满足$0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$的$x$都有 + \[\vert f(x) - A \vert < \varepsilon \eqco\] + 则称当$x$趋于点$x_0$时$f(x)$的极限为$A$，或$f(x)$趋于$A$，记作 + \[\toxzero f(x) = A \eqco\] + 或记作 + \[f(x) \to A (x \to x_0) \eqper\] +\end{definition} + +\begin{definition}[单侧极限] + 设函数$f$在点$x_0$附近有定义。则它的 + \begin{itemize} + \item 右极限：$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当$0 < x - x_0 < \delta$时$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，记作$\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = A$或$f(x_0+) = A$。 + \item 左极限：$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当$-\delta < x - x_0 < 0$时$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，记作$\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = A$或$f(x_0-) = A$。 + \end{itemize} +\end{definition} + +\begin{corollary} + $\toxzero f(x) = A$当且仅当$\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = A$。 +\end{corollary} + +\section{函数极限的性质} +函数极限的性质与数列极限的性质类似。 +\begin{proposition}[唯一性] + 设$\toxzero f(x)$存在，则极限值唯一。 +\end{proposition} + +\begin{proposition}[有界性【局部】] + 设$\toxzero f(x) = A$，则$\exists \delta > 0$，使得 + \[\forall 0 < \vert x - x_0 \vert < \delta \eqco \vert f(x) \vert \leq 1 + \vert A \vert\] + 即在$x_0$附近（不包含$x_0$）$f(x_0)$有界。 +\end{proposition} + +\begin{proposition}[保号性] + 设$\toxzero f(x) = A$ + \begin{enumerate} + \item 若在$x_0$附近（除去$x_0$）$f(x) \geq 0$，则$A \geq 0$。 + \item 若$A > 0$，则$\exists \delta > 0$，使得$0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$时$f(x) > 0$。 + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proposition}[极限的四则运算] + 设$\toxzero f(x) = A$，$\toxzero g(x) = B$，则 + \begin{enumerate} + \item $\toxzero [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$； + \item $\toxzero f(x)g(x) = AB$； + \item $\toxzero \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}$，只要$B \neq 0$。 + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{corollary}[保序性] + 设$\toxzero f(x) = A$，$\toxzero g(x) = B$，则 + \begin{enumerate} + \item 若在$x_0$附近（除去$x_0$之外）$f(x) \geq g(x)$，则$A \geq B$ + \item 若$A > B$，则$\exists \delta > 0$，使得$0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$时$f(x) > g(x)$。 + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\begin{theorem}[Heine定理：子列性质]\label{Heine定理} + $\toxzero f(x) = A$的充要条件是：对任何数列\setname{x_n}满足$x_n \neq x_0$且$toinf x_n = x_0$都有$\toinf f(x_n) = A$。 +\end{theorem} + +\begin{corollary} + 若有两数列\setname{x_n}，\setname{y_n}满足$x_n \neq x_0$，$y_n \neq x_0$且$\toinf x_n = x_0$，$\toinf f(x_n) = A$，以及$\toinf y_n = x_0$，$\toinf f(y_n) = B \neq A$则$\toxzero f(x)$不存在。 +\end{corollary} + +\begin{theorem}[夹逼原理] + 设在$x_0$附近$f \eqco g \eqco h$满足 + \[f(x) \leq g(x) \leq h(x)\] + 如果$\toxzero f(x) = \toxzero h(x) = A$，则$\toxzero g(x) = A$。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + 证明$\toxzero g(x) = A$即证明$\forall x_n \to x_0 \eqco \toinf g(x_n) = A$。 + + 由定理\ref{Heine定理}和已知，$\toxzero f(x) = \toxzero h(x) = A$。得 + \[\forall x_n \to x_0 (n \to 0)\text{有} \toxzero f(x_n) = \toxzero h(x_n) = A \eqper\] + + 由已知$\exists \delta_0$，$\vert x - x_0 \vert < \delta_0$时$f(x) < g(x) < h(x)$。 + + 因此$\exists N \in \naturalnum$，$n > N$，$\vert x - x_0 \vert < \delta_0$，那么$f(x_n) < g(x_n) < h(x_n)$。 + + 由数列夹逼原理，$\toinf g(x_n) = A$，从而$\toxzero g(x) = A$。 + +\end{proof} + +\begin{proposition}[单调收敛原理] + \ \par + \begin{enumerate} + \item $f$在$(a,b)$上的单增有上界，则$\lim \limits_{x \to b^-} f(x) = \sup \limits_{a < x < b} f(x)$； + \item $f$在$(a,b)$上的单减有下界，则$\lim \limits_{x \to b^-} f(x) = \inf \limits_{a < x < b} f(x)$； + \item $f$在$(a,b)$上的单增有下界，则$\lim \limits_{x \to a^+} f(x) = \inf \limits_{a < x < b} f(x)$； + \item $f$在$(a,b)$上的单减有上界，则$\lim \limits_{x \to a^+} f(x) = \sup \limits_{a < x < b} f(x)$ + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{proof} + 只证（1）。$\{f(x) \vert x \in (a, b)\}$非空有上界，从而有上确界 + \[A = \sup \{f(x) \vert x \in (a, b)\} \eqper\] + + 由上确界的定义， + \[\forall \varepsilon > 0 \eqco \exists x_1 \in (a, b) \eqco \text{s.t. } f(x_1) > A - \varepsilon\] + 且 + \[f(x) \leq A \eqco \forall x \in (a, b) \eqper\] + + 因为$f$单增，则$\forall x \in (x_1, b)$，有 + \[A - \varepsilon < f(x_1) \leq f(x) \leq A \eqper\] + 因此$\lim \limits_{x \to b^-} f(x) = A$。 +\end{proof} + +\begin{theorem} + $(a, b)$上的单调函数在每一点处左右极限都存在。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + 不妨设$f$在$(a,b)$上单增，$x_0 \in (a, b)$，往证$\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)$存在（同理可证$\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x)$存在）。 + + $f$单增，$\{f(x) \vert x \in (a, x_0)\}$非空有上界$f(x_0)$，从而有上确界 + \[A = \sup \{f(x) \vert x \in (a, x_0)\} \eqper\] + + 由上确界的定义， + \[\forall \varepsilon > 0 \eqco \exists x_1 \in (a, x_0) \eqco \text{s.t. } f(x_1) > A - \varepsilon\] + 且 + \[f(x) \leq A \eqco \forall x \in (a, x_0)\] + 因为$f$单增，因此$\forall x \in (x_1, x_0)$，有 + \[A - \varepsilon < f(x_1) \leq f(x) \leq A \eqper\] + 因此$\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = A$。 +\end{proof} + +\begin{theorem} + $f$在$U(x_0, \rho)$中有定义，则以下命题等价： + \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})] + \item （函数极限的Cauchy收敛原理）$\forall \varepsilon > 0 \eqco \exists \delta > 0 \eqco \forall x, y \in U(x_0, \delta)$，有$\vert f(x) - f(y) \vert < \varepsilon$； + \item （Heine定理）$\exists A \in \realnum$，对$U(x_0, \rho)$中任意收敛到$x_0$的点列\setname{x_n}，有$\toinf f(x_n) = A$； + \item $\toxzero f(x) = A$。 + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + 先证（1）$\Rightarrow$（2）： + + 设$x_n \in U(x_0, \rho)$，$\toinf x_n = x_0$。$\forall \varepsilon > 0$，由（1） + \[\exists \delta > 0 \eqper \forall x, y \in U(x_0, \delta) \eqco \text{有} \vert f(x) - f(y) \vert < \varepsilon \eqper\] + + 对此$\delta$，因为$\toinf x_n = x_0$，所以$\exists N \in \naturalnum$，使$\forall n > N$，$x_n \in U(x_0, \delta)$。 + + 那么$\forall m, n > N$，$x_m, x_n \in U(x_0, \delta)$，$\vert f(x_n) - f(x_m) \vert < \varepsilon$。因此\setname{f(x_n)}为Cauchy列，则\setname{f(x_n)}收敛，$\exists A \in \realnum$，满足$\toinf f(x_n) = A$。 + + 设$\toinf y_n = x_0$，同理$\toinf f(y_n) = B$。只要证$A = B$即可。构造点列\setname{z_n}： + $\left\{ + \begin{aligned} + &z_{2n-1} = x_n\\ + &z_{2n} = y_n + \end{aligned} + \right.$， + 则$\toinf z_n = x_0$，\setname{f(z_n)}收敛，且$A = \toinf f(z_{2n-1}) = \toinf f(z_n) = \toinf f(z_{2n}) = B$。 + + 再证（2）$\Rightarrow$（3）： + 设$\toxzero f(x) \neq A$。则$\exists \varepsilon_0 > 0$，$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n \in U\left(x_0, \dfrac{1}{n}\right)$满足 + \[\vert f(x_n) - A \vert > \varepsilon_0 \eqper\] + 此时，$\toinf x_n = x_0$，但$\toinf f(x_n) \neq A$，与（2）矛盾。 + + （3）$\Rightarrow$（1）由定义即可得证。 +\end{proof} + +\begin{remark} + 若$\toinf x_n = \toinf y_n = x_0$则 + \begin{itemize} + \item $\toinf f(x_n) = A \neq B = \toinf f(y_n) \Rightarrow \toxzero f(x)$不存在； + \item $\toinf f(x_n)$不存在$\Rightarrow$ $\toxzero f(x)$不存在。 + \end{itemize} +\end{remark} + +\begin{theorem} + $\toxzero u(x) = a$，$\toxzero v(x) = b$，$a^b$有意义，则$\toxzero u(x)^{v(x)} = a^b$。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + \begin{equation*} + \toxzero u(x)^{v(x)} = \toxzero e^{v(x) \ln u(x)} = e^{\toxzero \left(v(x) \ln u(x)\right)} = e^{\toxzero v(x) \cdot \toxzero \ln u(x)} = e^{b \ln a} = a^b \eqper + \end{equation*} +\end{proof} + +\section{复合函数极限} +\begin{proposition}[复合函数极限] + 设$\toxzero f(x) = A$，$\lim \limits_{t \to t_0} g(t) = x_0$并且满足附加条件：$f(x_0) = A$，或者在$t = t_0$附近（$t = t_0$除外）$g(t) \neq x_0$，这时复合函数有极限$\lim \limits_{t \to t_0} f(g(t)) = A$。 +\end{proposition} + +\section{无穷远处的极限} +\begin{definition}[无穷远处的极限] + \ \par + \begin{enumerate} + \item 设$f: (a, +\infty) \to \realnum$，记$\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = A$，如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists M > 0$，使得$\forall x > M$都有$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，称$x$趋于正无穷时$f(x)$趋向于$A$。 + \item 设$f: (-\infty, a) \to \realnum$，记$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = A$，如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists M > 0$，使得$\forall x < -M$都有$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，称$x$趋于负无穷时$f(x)$趋向于$A$。 + \item 设$\vert x \vert$充分大时$f(x)$有定义，记$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = A$，如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists M > 0$，使得$\forall \vert x \vert > M$都有$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，称$x$趋于无穷时$f(x)$趋向于$A$。 + \end{enumerate} +\end{definition} + +无穷远处的极限的性质与$x$趋于$x_0$时的极限类似，无穷远处的极限也有相应性质：唯一性、有界性、保号/保序性、四则运算性质、子列性质、Cauchy收敛原理、夹逼原理等。 + +无穷远处的复合函数的极限： +\begin{proposition} + 如果$\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = A$，$\lim \limits_{t \to t_0} g(t) = + \infty$，则$\lim \limits_{t \to t_0} f(g(t)) = A$。 +\end{proposition} + +类似于单/双侧极限的关系，无穷远处极限也有同样的性质 +\begin{proposition} + $\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = A \Leftrightarrow \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = A$。 +\end{proposition} + +\section{无穷大与无穷小} +\begin{definition}[无穷大量] + 设函数$f$在$x_0$附近有定义（$x_0$除外），如果$\forall M > 0$，$\exists \delta > 0$，使得$\forall 0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$都有 + \begin{enumerate} + \item $f(x) > M$，则称$x \to x_0$时$f(x) \to +\infty$，记为$\toxzero f(x) = +\infty$； + \item $f(x) < -M$，则称$x \to x_0$时$f(x) \to -\infty$，记为$\toxzero f(x) = -\infty$； + \item $\vert f(x) \vert > M$，则称$x \to x_0$时$f(x) \to \infty$，记为$\toxzero f(x) = \infty$。 + \end{enumerate} + 以上情况称$x \to x_0$时$f(x)$为无穷大量。 +\end{definition} + +\begin{definition}[无穷小量] + 若$\toxzero f(x) = 0$，则称$x \to x_0$时$f(x)$为无穷小量。 +\end{definition} + +\begin{remark} + 在其它极限过程（$x \to x_0^\pm, x \to \pm \infty$）中可以类似地定义无穷大/小量。 +\end{remark} + +\begin{corollary} + 在同一极限过程中$f(x)$为无穷大量$\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{f(x)}$为无穷小量。 +\end{corollary} \ No newline at end of file diff --git a/高等微积分.tex b/高等微积分.tex index 945b45f..0376d72 100644 --- a/高等微积分.tex +++ b/高等微积分.tex @@ -20,8 +20,8 @@ \newtheorem{theorem}{定理}[section] \newtheorem{axiom}{公理}[section] \newtheorem{definition}{定义}[section] -\newtheorem{lemma}{引理}[theorem] -\newtheorem{corollary}{推论}[theorem] +\newtheorem{lemma}{引理}[section] +\newtheorem{corollary}{推论}[section] \newtheorem{example}{例}[section] \newtheorem{proposition}{命题}[section] \newtheorem*{remark}{注} @@ -35,6 +35,10 @@ \newcommand*{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\toinf}{\lim \limits_{n \to \infty}} \newcommand{\setname}[1]{$\{#1\}$} +\newcommand{\realnum}{\mathbb{R}} +\newcommand{\integer}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\naturalnum}{\mathbb{N}} +\newcommand{\toxzero}{\lim \limits_{x \to x_0}} \title{{\Huge{\textbf{高等微积分}}}} \author{} @@ -51,4 +55,5 @@ \setcounter{page}{1} \pagenumbering{arabic} \include{01实数和数列极限.tex} + \include{02函数及其连续性.tex} \end{document} \ No newline at end of file