From bb6d39521684a42c3d3e8e8e9310a95269ec25d3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unlockable Date: Wed, 28 Dec 2022 22:00:42 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E6=9C=80=E5=90=8E=E7=9A=84=E5=87=A0=E8=8A=82?= =?UTF-8?q?=E8=AF=BE=E3=80=82?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 08定积分应用.tex | 1 + 09常微分方程.tex | 397 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 高等微积分.tex | 3 +- 3 files changed, 400 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/08定积分应用.tex b/08定积分应用.tex index eee2828..086ce2c 100644 --- a/08定积分应用.tex +++ b/08定积分应用.tex @@ -222,3 +222,4 @@ 对极坐标方程$\rho = \rho(\theta)$，质量微元的质心坐标为 \[\dif M_x = \frac{2}{3}\rho(\theta)\sin \theta \dif \theta, \dif M_y = \frac{2}{3} \rho(\theta) \cos \theta \dif \theta\eqper\] + diff --git a/09常微分方程.tex b/09常微分方程.tex index e69de29..b84e17b 100644 --- a/09常微分方程.tex +++ b/09常微分方程.tex @@ -0,0 +1,397 @@ +\chapter{微分方程} +\section{基本概念} +\begin{definition} + 含有未知函数的导数的方程称为微分方程。 + + 未知函数是一元函数，含有未知函数的导数的微分方程称为常微分方程，例如： + \[\frac{\dif^2 \theta}{\dif t^2} + \frac{\mu}{m} \frac{\dif \theta}{\dif t} + \frac{g}{l} \theta = 0\text{；}\] + + 未知函数是多元函数，含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程。 +\end{definition} + +\begin{definition}[微分方程的阶] + 未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。$n$阶微分方程的一般形式为 + \begin{equation}\label{n阶微分方程一般形式} + F\left(x, y, \frac{\dif y}{x}, \dots, \frac{\dif^n y}{\dif x^n}\right) = 0\eqper + \end{equation} +\end{definition} + +\begin{definition}[线性与非线性] + 未知函数及其各阶导数都是一次方幂的微分方程称为线性微分方程。$n$阶线性常微分方程的一般形式为 + \[a_0(x) \frac{\dif^n y}{\dif x^n} + a_1(x) \frac{\dif^{n-1} y}{\dif x^{n-1}} + \dots + a_{n-1}(x) \frac{\dif y}{\dif x} + a_n(x)y = f(x)\eqper\] + 不是线性方程的微分方程称为非线性微分方程。 +\end{definition} + +\begin{definition}[微分方程的解] + 如果把函数$y = y(x)$带入方程\eqref{n阶微分方程一般形式}使方程称为恒等式，则称函数$y = y(x)$是微分方程\eqref{n阶微分方程一般形式}的一个解。 + + $n$阶微分方程\eqref{n阶微分方程一般形式}的包含$n$个独立的任意常数的解$y = f(x, C_1, \dots, C_n)$称为微分方程的通解。 + + 通解有时也写成隐式形式 + \[\Phi[x, y(x), C_1, C_2, \dots, C_n] = 0\] + 称为微分方程的通积分。 + + 一个常微分方程的满足定解条件的解称为微分方程的特解。$n$解微分方程需要有$n$个定解条件。 + \[\begin{cases} + F\left(x, y, \frac{\dif y}{\dif x}, \dots, \frac{\dif^n y}{\dif x^n}\right) = 0\\ + \eval{y}_{x=x_0} = y_0\\ + \eval{\dfrac{\dif y}{\dif x}}_{x = x_0} = y_1\\ + \cdots\\ + \eval{\dfrac{\dif^{n-1} y}{\dif x^{n-1}}}_{x = x_0} = y_{n-1} + \end{cases}\] +\end{definition} + +\begin{definition}[积分曲线与积分曲线族] + 常微分方程的每一个解都是一个一元函数$y = f(x)$或是$F(x, y) = 0$的隐式解，它的图形称为该常微分方程的一条积分曲线。 + + 通解$y = f(x, C)$对应于$xy$平面上的一族曲线，称为积分曲线族。 +\end{definition} + +\begin{theorem}[解的存在唯一性定理] + 考察一阶常微分方程的初值问题： + \[\begin{cases} + \dfrac{\dif y}{\dif x} = f(x, y)\\ + y(x_0) = y_0 + \end{cases}\] + 设函数$f(x, y)$在以点$(x_0, y_0)$为中心的某个矩形 + \[D = \{(x, y) \mid \abs{x - x_0} \leq a, \abs{y - y_0} \leq b\}\] + 中连续，并且关于变元$y$满足李普希兹（Lipschitz）条件：存在正数$L$，使得对于矩形中任意两点$(x, y_1), (x, y_2)$，都有 + \[\abs{f(x, y_1) - f(x,y_2)} \leq L\abs{y_1 - y_2}\] + 则存在正数$h$，使得初值问题在区间$[x_0 - h, x_0 + h]$上存在唯一的解$y = y(x)$，其中\[h = \min\left\{a, \frac{b}{M}\right\}, M = \max \limits_{(x, y) \in D} \abs{f(x, y)}\eqper\] +\end{theorem} + +\section{一阶常微分方程的初等积分法} +\subsection{变量可分离型} +对 +\[\frac{\dif y}{\dif x} = f(x) h(y)\] +可以分离变量得到 +\[g(y)\dif y = f(x) \dif x\] +两边积分得到 +\[\int g(y) \dif y = \int f(x) \dif x\] +如果能得到$g(y)$和$f(x)$的原函数$G(y), F(x)$，就能得到微分方程的通解 +\[G(y) = F(x) + C\eqper\] + +\begin{example} + 解微分方程：$\dfrac{\dif y}{\dif x} = 2xy$。 +\end{example} + +\begin{proof}[解] + \begin{align*} + \frac{1}{y} \dif y & = 2x \dif x\\ + \int \frac{1}{y} \dif y & = \int 2x \dif x\\ + \ln \abs{y} & = x^2 + C_1\\ + \abs{y} & = e^{x^2 + C_1} = e^{x^2}e^{C_1}\\ + y > 0\text{时，}y & = e^{C_1}e^{x^2}\\ + y < 0\text{时，}y & = -e^{C_1}e^{x^2}\\ + \intertext{记$C = \pm e^{C_1}$，则有} + y & = Ce^{x_2} (C \neq 0) + \end{align*} + 同时注意到$y \equiv 0$也是方程的解，在分离变量时被丢掉了。因此$C = 0$时也成立。因此方程的通解为 + \[y = Ce^{x^2} (C \in \realnum) \eqper \qedhere\] +\end{proof} + +有一些方程本身不能分离变量，但是可以化为可分离变量的形式。例如 +\[\frac{\dif y}{\dif x} = \frac{y}{x} + \tan \frac{y}{x}\] +与 +\begin{align*} + \frac{\dif y}{\dif x} & = \frac{x - y}{x + y}\\ + \frac{\dif y}{\dif x} & = \frac{1 - \dfrac{y}{x}}{1 + \dfrac{y}{x}} +\end{align*} +这些方程都能化为 +\[\frac{\dif y}{\dif x} = g \left(\frac{y}{x}\right)\] +的形式。对于这种方程，令$u = \dfrac{y}{x}$，即$y = xu$那么 +\[\frac{\dif y}{\dif x} = u + x \frac{\dif u}{\dif x}\] +带入原方程可以得到 +\[\frac{\dif u}{\dif x} = \frac{g(u) - u}{x}\] +这是一个可分离变量的方程。 + +在换元时不必拘泥于$u = \dfrac{y}{x}$，对于一些题目类似的$u = x - y$等等也可能将方程化为可分离变量型。 + +\subsection{一阶线性微分方程} +对于一个非齐次方程 +\begin{equation}\label{非齐次一阶线性微分方程} + a_1(x)\deriv{y} + a_0(x)y = f(x) +\end{equation} +考虑与它对应的齐次方程 +\begin{equation}\label{齐次一阶线性微分方程} + a_1(x) \deriv{y} + a_0(x)y = 0 +\end{equation} + +先列出线性方程解的几个性质： +\begin{proposition} + 线性齐次方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}必有零解。 +\end{proposition} + +\begin{proposition} + 若$y = y(x)$是线性齐次方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}的解，则$y = Cy(x)$也是方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}的解（$C$为任意常数）。 +\end{proposition} + +\begin{proposition} + 如果$y_1(x)$与$y_2(x)$是线性齐次方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}的解，则它们的任意线性组合 + \[y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\] + 都是方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}的解，其中$C_1, C_2$为任意常数。 +\end{proposition} + +\begin{proposition} + 如果$y_1(x)$与$y_2(x)$是非齐次方程\eqref{非齐次一阶线性微分方程}的解，则$y_1(x) - y_2(x)$是齐次方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}的解。 +\end{proposition} + +\begin{proposition} + 如果$y^\ast (x)$是非齐次方程\eqref{非齐次一阶线性微分方程}的一个解，$y(x)$是齐次方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}的一个解，则$y^\ast(x) + y(x)$是非齐次方程的\eqref{非齐次一阶线性微分方程}的解。 +\end{proposition} + +对一阶线性微分方程 +\[a(x) \frac{\dif y}{\dif x} + b(x)y + c(x) = 0\] +先将其化为标准形式 +\[\frac{\dif y}{\dif x} + p(x) y = q(x)\tag{1}\] +再写出对应的齐次方程 +\[\frac{\dif y}{\dif x} + p(x)y = 0\tag{2}\] +解这个齐次方程得到通解为 +\[y = Ce^{-\int p(x) \dif x} = Cy_1(x)\] +注意解中的$\int p(x) \dif x$指的是$p(x)$的一个原函数，而不是不定积分。 + +现在，我们用常数变异法解最开始的非齐次方程（1）。设（1）的解具有形式 +\[y = C(x)y_1(x)\] +将这个解代入（1），经过计算得到 +\[\deriv{C}(x)y_1(x) + C(x)\deriv{y_1}(x) + p(x)C(x)y_1(x) = q(x)\] +因此$y_1(x)$是（2）的解，因此 +\[C(x)\deriv{y_1}(x) + p(x)C(x)y_1(x) = 0\] +化简可得 +\[\deriv{C}(x)y_1(x) = q(x)\] +即 +\[\deriv{C}(x) = q(x)e^{\int p(x) \dif x}\] +那么积分得到 +\[C(x) = \int q(x)e^{\int p(x) \dif x} + C\] +因此（1）的通解为 +\[y = e^{-\int p(x) \dif x} \left(C + \int q(x) e^{\int p(x) \dif x} \dif x\right)\] +或者写为 +\[y = e^{-\int_{x_0}^x p(x) \dif x} \left(C + \int_{x_0}^x q(x) e^{\int_{x_0}^x p(x) \dif x} \dif x\right)\] +如果给定$y(x_0) = y_0$，对应可以解出$C = y_0$ +因此特解为 +\[y = e^{-\int_{x_0}^x p(x) \dif x} \left(y_0 + \int_{x_0}^x q(x) e^{\int_{x_0}^x p(x) \dif x} \dif x\right)\] + +\subsection{伯努利（Bernolli）方程} +伯努利方程是一类可化为一阶线性微分方程的方程。它的基本形式为 +\[\frac{\dif y}{\dif x} + p(x)y = q(x) y^n\] +对方程两端同除$y^n$，有 +\[y^{-n} \frac{\dif y}{\dif x} + p(x) y^{1 - n} = q(x)\] +令$z = y^{1 - n}$，那么 +\[\frac{\dif z}{\dif x} = (1 - n)y^{-n} \frac{\dif y}{\dif x}\] +因此 +\[y^{-n} \frac{\dif y}{\dif x} = \frac{1}{1-n}\frac{\dif z}{\dif x}\] +那么我们可以将原方程化为 +\[\frac{\dif z}{\dif x} + (1-n)p(x)z = (1-n)q(x)\] +这是一个一阶线性微分方程。 + +\section{高阶可降阶微分方程} +\begin{enumerate} + \item $\bderiv{y} = f(x)$型 +\end{enumerate} +逐次积分。积分一次有 +\[\deriv{y} = \int f(x) \dif x + C_1\] +再积分一次有 +\[\deriv{y} = \int \left(\int f(x) \dif x\right)\dif x + C_1 x + C_2\eqper\] + +\begin{enumerate}[resume] + \item $\bderiv{y} = f(x, \deriv{y})$型 +\end{enumerate} +方程中不显含未知函数$y$，因此可做变量替换$p(x) = \deriv{y}$，那么$\bderiv{y} = \deriv{p}$。此时原方程变形为 +\[\deriv{p} = f(x, p)\] +为一阶微分方程。 + +\begin{enumerate}[resume] + \item $\bderiv{y} = f(y, \deriv{y})$型 +\end{enumerate} +方程中不显含自变量$x$，因此做变量替换$p(y) = \deriv{y}$。那么 +\[\frac{\dif^2 y}{\dif x^2} = \frac{\dif p}{\dif x} = \frac{\dif p}{\dif y} \frac{\dif y}{\dif x} = p \frac{\dif p}{\dif y}\] +此时原方程变形为 +\[p\frac{\dif p}{\dif y} = f(y, p)\] +为一阶微分方程。 + +\section{高阶线性微分方程} +\subsection{解的存在唯一性} +\begin{theorem}[线性方程解的存在唯一性] + 对$n$阶线性微分方程 + \[y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}(x) \deriv{y} + a_n(x) y = f(x)\] + 若方程中的系数$a_i(x), i = 1, 2, \dots, n$以及$f(x)$都是区间$I$上的连续函数$x_0 \in I$，则对任意一组初始条件 + \[y(x_0) = y_0, \deriv{y}(x_0) = \deriv{y_0}, \dots, y^{(n-1)}(x_0) = y_0^{(n-1)}\] + 方程的解在区间$I$上存在且唯一。 +\end{theorem} + +\subsection{高阶线性方程的通解结构（二阶）} +\subsubsection{高阶线性齐次方程的通解结构} +对非齐次方程 +\begin{equation}\label{二阶非齐次方程} + a(x)\bderiv{y} + b(x)\deriv{y} + c(x) y = f(x) +\end{equation} +和对应的齐次方程 +\begin{equation}\label{二阶齐次方程} + a(x)\bderiv{y} + b(x) \deriv{y} + c(x) y = 0 +\end{equation} +\begin{theorem} + 如果$y_1(x)$与$y_2(x)$是齐次方程\eqref{二阶齐次方程}的解，则它们的任意线性组合 + \[y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\] + 都是方程\eqref{二阶齐次方程}的解，其中$C_1, C_2$为常数。 +\end{theorem} + +\begin{definition} + 设$y_1(x), y_2(x), \dots, y_m(x)$是区间$I$上的连续函数。如果存在一组不全为零的实数$C_1, C_2, \dots, C_m$，使得在区间$I$上有 + \[C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + \dots + C_my_m(x) \equiv 0\] + 则称函数$y_1(x), y_2(x), \dots, y_m(x)$在区间$I$上线性相关，否则称为线性无关。 +\end{definition} + +\begin{definition} + 对函数组$y_1(x), y_2(x), \dots, y_m(x)$，其朗斯基行列式为 + \[W[y_1, y_2, \dots, y_m] := \begin{vmatrix} + y_1 & y_2 & \cdots & y_m\\ + \deriv{y_1} & \deriv{y_2} & \cdots & \deriv{y_m}\\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ + y_1^{(m-1)} & y_2^{(m-1)} & \cdots & y_m^{(m-1)} + \end{vmatrix}\eqper\] +\end{definition} + +\begin{theorem} + 设函数$y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)$在区间$I$上有$n-1$阶导数，则 + \begin{enumerate} + \item 其在$I$上线性相关的必要条件是$y_1, y_2, \dots, y_n$的朗斯基行列式在区间$I$上恒为零。 + \item 若$y_1, y_2, \dots, y_n$为齐次方程的$n$个线性无关解，则对任意$x$，其朗斯基行列式不等于零。 + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{theorem}[齐次方程通解的结构] + 若$y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)$是$n$阶线性齐次方程 + \[y^{(n)} + a_1(x)y^{(n01)} + \dots + a_n(x)y = 0\] + 的$n$个线性无关解，则 + \[\overline{y}(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + \dots + C_n y_n(x)\] + 是方程的通解，其中$C_1, C_2, \dots, C_n$是$n$个任意常数。 +\end{theorem} + +\begin{theorem} + 假设线性齐次方程 + \[x^{(n)}(t) + a_1(t)x^{(n-1)}(t) + \dots + a_n(t)x(t) = 0\] + 中的系数$a_1(t), a_2(t), \dots, a_n(t)$在区间$I$上连续，则该方程在$I$上恰有$n$个线性无关的解。 +\end{theorem} + +\subsubsection{二阶线性非齐次方程的通解结构} +\begin{theorem}[叠加原理] + 如果$y_1(x), y_2(x)$是非齐次方程\eqref{二阶非齐次方程}的解，则$y_1(x) - y_2(x)$是齐次方程\eqref{二阶齐次方程}的解。 + + 如果$y^\ast (x)$是非齐次方程\eqref{二阶非齐次方程}的一个解，$y(x)$是齐次方程\eqref{二阶齐次方程}的一个解，则$y^\ast(x) + y(x)$是非齐次方程\eqref{二阶非齐次方程}的解。 +\end{theorem} + +\begin{theorem}[非齐次方程的通解结构] + 如果$y^\ast(x)$是非齐次方程\eqref{二阶非齐次方程}的一个解， + \[\overline{y}(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\] + 是齐次方程\eqref{二阶齐次方程}的解，则 + \[y = y^\ast + \overline{y} = y^\ast + C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\] + 是非齐次方程\eqref{二阶非齐次方程}的通解。 +\end{theorem} + +\subsection{常系数微分方程} +\subsubsection{常系数齐次微分方程的特征根法} +考虑二阶线性常系数齐次方程 +\[a\bderiv{y} + b\deriv{y} + cy = 0\] +它对应的特征方程为 +\[a\lambda^2 + b\lambda + c = 0\] +解特征方程我们可以得到两个特征根 +\[\lambda = \lambda_1, \lambda_2\] + +根据特征根的情况讨论通解： +\begin{enumerate} + \item $b^2 - 4ac > 0$，有两个不等实根$\lambda_1 \neq \lambda_2$，那么$y_1 = e^{\lambda_1 x}$与$y_2 = e^{\lambda_2 x}$线性无关。因此通解为 + \[\overline{y} = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}\eqper\] + \item $b^2 - 4ac = 0$，有两个相等实根$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$。可得一个解为$e^{\lambda x}$。设另一个解为$u(x)e^{\lambda x}$带入解得$u(x) = x$。因此通解为 + \[\overline{y} = (C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}\eqper\] + \item $b^2 - 4ac < 0$，共轭复根$\lambda_{1, 2} = \alpha \pm i\beta$那么 + \[y_1 = e^{(\alpha + i\beta)x}, y_2 = e^{(\alpha - i\beta)x}\] + 利用欧拉公式 + \[\begin{cases} + y_1 = e^{\alpha x}(\cos \beta x + i \sin \beta x)\\ + y_2 = e^{\alpha x}(\cos \beta x - i \sin \beta x) + \end{cases}\] + 线性组合成两个线性无关的实值解 + \[\begin{cases} + \dfrac{y_1 + y_2}{2} = e^{\alpha x}\cos \beta x\\ + \dfrac{y_1 - y_2}{2i} = e^{\alpha x} \sin \beta x + \end{cases}\] + 因此通解为 + \[\overline{y} = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)\eqper\] +\end{enumerate} + +\subsubsection{常系数非齐次方程的待定系数法} +对于方程 +\[\bderiv{y} + a\deriv{y} + by = f(x)\] +我们已经会求对应的齐次方程了。解这个方程的关键是找到一个特解。一种方法是待定系数法。它只适用于$f(x)$是几种特殊形式时。 +\begin{enumerate} + \item $f(x) = P_m(x)e^{r x}$。其中$P_m(x)$是$m$次多项式。令$Q_m(x)$为一个各项系数待定的$m$次多项式，即 + \[Q_m = Ax^m + Bx^{m-1} + \dots\]。那么可设特解为 + \[y^\ast (x) = x^k Q_m(x) e^{rx}\] + 其中 + \[k = \begin{cases} + 0\text{，$r$不是特征方程的根}\\ + 1\text{，$r$是特征方程的单根}\\ + 2\text{，$r$是特征方程的复根} + \end{cases}\] + 将$y^\ast (x)$代入方程，确定系数即可找到一个特解。 + \item $f(x) = e^{\alpha x}[P_l(x) \cos \beta x + P_n(x) \sin \beta x]$可设特解形式为 + \[y^\ast (x) = x^k e^{\alpha x}[Q_m^{(1)}(x)\cos \beta x + Q_m^{(2)}(x) \sin \beta x]\] + 其中 + \[m = \max\{l,n\}, k = \begin{cases} + 0\text{，$\alpha + i\beta$不是特征根}\\ + 1\text{，$\alpha + i\beta$是特征根} + \end{cases}\] +\end{enumerate} + +\subsubsection{欧拉方程} +欧拉方程是一种变系数方程 +\[ax^2 \frac{\dif^2 y}{\dif x^2} + bx \frac{\dif y}{\dif x} + cy = f(x)\] +做变量代换$t = \ln \abs{x}$。那么 +\begin{align*} + \frac{\dif y}{\dif x} & = \frac{\dif y}{\dif t} \cdot \frac{\dif t}{\dif x} = \frac{\dif y}{\dif t} \cdot \frac{1}{x}\\ + \frac{\dif^2 y}{\dif x^2} & = \frac{\dif}{\dif x}\left(\frac{\dif y}{\dif t} \cdot \frac{1}{x}\right) = \frac{\dif^2 y}{\dif t^2} \cdot \frac{1}{x^2} - \frac{\dif y}{\dif t} \cdot \frac{1}{x^2} +\end{align*} +因此 +\begin{align*} + x\frac{\dif y}{\dif x} & = \frac{\dif y}{\dif t}\\ + x^2 \frac{\dif^2 y}{\dif x^2} & = \frac{\dif^2 y}{\dif t^2} - \frac{\dif y}{\dif t} +\end{align*} +带入欧拉方程有 +\[a\frac{\dif^2 y}{\dif t^2} + (b-a)\frac{\dif y}{\dif t} + cy = f(e^t)\] +这是一个常系数二阶线性非齐次方程。 + +\subsection{二阶线性变系数微分方程} +对方程 +\[\bderiv{y} + a_1(x)\deriv{y} + a_2(x)y = f(x)\] +情况一：已知对应的齐次方程的一个非零解$y_1(x)$。那么可设$y^\ast = c(x)y_1(x)$。带入非齐次方程可以解得一个特解。带入对应的齐次方程可以得到另一个基本解。 + +情况二：已知对应齐次方程的通解为$C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$。设$y^\ast(x) = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x)$。带入非齐次方程可得一个特解。于是通解为$y(x) = y^\ast(x) + C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$。 + +\begin{remark} + 寻找$\bderiv{y} + a_1(x)\deriv{y} + a_2(x)y = 0$的解： + + 若$a_2(x) = 0$，那么可得$y_1(x) = 1$； + + 若$1 + a_1(x) + a_2(x) = 0$，那么$y_1(x) = e^x$； + + 若$1 - a_1(x) + a_2(x) = 0$，那么$y_1(x) = e^{-x}$； + + 若$a_1(x) + xa_x(x) = 0$，那么$y_1(x) = x$； + + 若$2 + 2xa_1(x) + x^2a_2(x) = 0$，那么$y_1(x) = x^2$。 +\end{remark} + +\subsection[n阶线性常系数微分方程]{$n$阶线性常系数微分方程} +对 +\[y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}y^1 + a_n y = 0\] +特征方程为 +\[\lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \dots + a_{n-1}\lambda + a_n = 0\] +设根为$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$。那么对于单根，基本解为$e^{\lambda_1x}, e^{\lambda_2 x}, \dots$。 + +若有共轭复根如 +\(\begin{cases} + \lambda_1 = \alpha + i\beta\\ + \lambda_2 = \alpha - i\beta +\end{cases}\)， +那么可将$e^{\lambda_1 x}$与$e^{\lambda_2 x}$换成$e^{\alpha x} \cos \beta x$与$e^{\alpha x} \sin \beta x$。 + +若有$k$重根，例如$\lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_k$，那么可将$e^{\lambda_1 x}, \dots, e^{\lambda_k x}$换成$(1 + x + \dots + x^{k-1})e^{\lambda_1 x}$。 diff --git a/高等微积分.tex b/高等微积分.tex index 0d5b1d2..de261dd 100644 --- a/高等微积分.tex +++ b/高等微积分.tex @@ -52,6 +52,7 @@ \newcommand{\deriv}[1]{#1^\prime} \newcommand{\delx}{\Delta x} \newcommand{\dint}{\displaystyle\int} +\newcommand{\bderiv}[1]{{#1}^{\prime \prime}} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} @@ -60,7 +61,7 @@ \date{} % linespread{1.5} -% \includeonly{08定积分应用.tex} +\includeonly{09常微分方程.tex} \begin{document} \maketitle