From bc4269e0caf9bab97b2757bbb89ff0127514a6b0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unlockable Date: Mon, 26 Sep 2022 18:13:48 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E7=AC=AC=E4=BA=8C=E5=91=A8=E3=80=82?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 01实数和数列极限.tex | 593 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 高等微积分.tex | 6 +- 2 files changed, 580 insertions(+), 19 deletions(-) diff --git a/01实数和数列极限.tex b/01实数和数列极限.tex index 6a3e06a..f253880 100644 --- a/01实数和数列极限.tex +++ b/01实数和数列极限.tex @@ -1,29 +1,31 @@ \chapter{实数和数列极限} \section{实数及其性质} -\begin{definition} - （通用记号约定）数集：\par +\begin{definition}[通用记号约定] + 数集：\par $\mathbb{N}$——自然数全体，关于加法和乘法运算封闭；\par $\mathbb{Z}$——整数全体，自然数集的扩充，$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$。关于加法的逆运算（减法）也封闭；\par $\mathbb{Q}$——有理数全体，整数集的扩充。关于加、乘及其逆运算（减、除）封闭；\par $\mathbb{R}$——实数全体，有理数集的扩充，关于极限运算封闭。 \end{definition} -\begin{theorem} - （有理数的稠密性）$\forall a, b \in \mathbb{R}$，$a < b$，$\exists r \in \mathbb{Q}$，s.t. $a < r < b$。 +\begin{theorem}[有理数的稠密性] + $\forall a, b \in \mathbb{R}$，$a < b$，$\exists r \in \mathbb{Q}$，s.t. $a < r < b$。 \end{theorem} -\begin{definition} - （上界、下界、有界、无界） $A$为非空数集。若$\exists M \in \mathbb{R}$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \leq M$，则称$M$为$A$的一个\textbf{上界}。若$\exists m \in R$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \geq m$，则称$m$为$A$的一个\textbf{下界}。若$A$既有上界又有下界，则称 $A$ \text{有界}，否则称 $A$ \textbf{无界}。 +\begin{definition}[上界、下界、有界、无界] + $A$为非空数集。若$\exists M \in \mathbb{R}$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \leq M$，则称$M$为$A$的一个\textbf{上界}。若$\exists m \in R$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \geq m$，则称$m$为$A$的一个\textbf{下界}。若$A$既有上界又有下界，则称 $A$ \text{有界}，否则称 $A$ \textbf{无界}。 \end{definition} -\begin{definition} - （上确界$\sup A$、下确界$\inf A$）$A$为非空数集。称$A$的最小上界$\xi$为$A$的\textbf{上确界}，记作$\xi = \sup A$。称$A$的最大下界$\eta$为$A$的\textbf{下确界}，记作$\eta = \inf A$。 +\begin{definition}[上确界$\sup A$、下确界$\inf A$] + $A$为非空数集。称$A$的最小上界$\xi$为$A$的\textbf{上确界}，记作$\xi = \sup A$。称$A$的最大下界$\eta$为$A$的\textbf{下确界}，记作$\eta = \inf A$。 \end{definition} \begin{remark} - （$\sup A$，$\inf A$的等价定义）\par - $\xi = \sup A$的充要条件：$\xi$是$A$的上界，且$\forall \varepsilon > 0$，$\exists x \in A$，s.t. $x > \xi - \varepsilon$。\par - $\eta = \inf A$的充要条件：$\eta$是$A$的下界，且$\forall \varepsilon > 0$，$\exists x \in A$，s.t. $x < \eta + \varepsilon$。 + $\sup A$，$\inf A$的等价定义： + \begin{itemize} + \item $\xi = \sup A$的充要条件：$\xi$是$A$的上界，且$\forall \varepsilon > 0$，$\exists x \in A$，s.t. $x > \xi - \varepsilon$。 + \item $\eta = \inf A$的充要条件：$\eta$是$A$的下界，且$\forall \varepsilon > 0$，$\exists x \in A$，s.t. $x < \eta + \varepsilon$。 + \end{itemize} \end{remark} \begin{remark} @@ -32,12 +34,12 @@ \section{数列和收敛数列} \subsection{收敛和发散} -\begin{definition} - （收敛）设数列$\{ a_n \}$，$a \in \mathbb{R}$。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得$\forall n > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$则称数列数列$\{ a_n \}$\textbf{收敛}于$a$（$n$趋于无穷时），记为$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$或$a_n \to a \ (n \to \infty)$。$a$称为$\{ a_n \}$的极限。 +\begin{definition}[收敛] + 设数列$\{ a_n \}$，$a \in \mathbb{R}$。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得$\forall n > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$则称数列数列$\{ a_n \}$\textbf{收敛}于$a$（$n$趋于无穷时），记为$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$或$a_n \to a \ (n \to \infty)$。$a$称为$\{ a_n \}$的极限。 \end{definition} -\begin{definition} - （发散）若$\{ a_n \}$不收敛，则称数列$\{ a_n \}$\textbf{发散}。 +\begin{definition}[发散] + 若$\{ a_n \}$不收敛，则称数列$\{ a_n \}$\textbf{发散}。 \end{definition} 收敛的含义：对于$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$， @@ -120,7 +122,7 @@ $\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$\par $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$\par $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n \geq N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \varepsilon$\par - $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < k\varepsilon$（$k$为任意非零常数）\par + $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < k\varepsilon$（$k$为任意正常数）\par $\Leftrightarrow \forall \varepsilon \in (0,1)$, $\exists N \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| < \varepsilon$（强调$\varepsilon$``任意地小''的部分而不强调``任意地大''的部分）\par $\Leftrightarrow \forall k \in \mathbb{N}$, $\exists N = N(k) \in \mathbb{N}$, s.t. 当$n > N$时，有$\left| a_n - A \right| \leq \dfrac{1}{k}$。 \end{remark} @@ -130,7 +132,7 @@ \begin{example} 已知$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$。证明：$\lim \limits_{n \to \infty} e^{a_n} = e^A$。 \end{example} -\begin{proof}[解] +\begin{proof} 首先我们需要转化式子的形式，使其可以利用上我们已知的极限。可以发现： \begin{align} \left| e^{a_n} - e^A \right| < \varepsilon & \Leftrightarrow \left| e^{a_n - A} - 1 \right| < \varepsilon e^{-A} \notag\\ @@ -141,3 +143,560 @@ 令$\delta = \min \{ - \ln{(1 - \varepsilon e^{-A})},\ln{(1 + \varepsilon e^{-A})}\}$，则$\delta > 0$，那么当给定$\varepsilon$时，$\delta$也确定。由$\lim \limits_{n \to \infty}a_n = A$，对任意的$\varepsilon$，总有$N$足够大使得$\forall n > N$，$\left| a_n - A \right|$足够小，小到比$\delta$还小，即满足式子\eqref{1.3.1}。通过等价关系，这也就代表着我们同时也找到了$N$使得$\forall n > N$，$\left| e^{a_n} - e^A \right| < \varepsilon$。由极限的定义，$\lim \limits_{n \to \infty} e^{a_n} = e^A$。 \end{proof} +\begin{example} + 已知$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$，证明：$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = A$。 +\end{example} + +\begin{proof}[分析] + \renewcommand{\qedsymbol}{} + 我们已经知道，$\forall \varepsilon > 0$，$N_1 \in \mathbb{N}$，$\forall n > N_1$，$\vert a_n - A \vert < \varepsilon$。 + + 那么我们可以把要求的式子变形成 + \begin{equation*} + \left| \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} - A \right| = \left| \dfrac{(a_1 - A) + (a_2 - A) + \cdots + (a_n -A)}{n} \right| + \end{equation*} + \begin{equation*} + \leq \dfrac{\vert a_1 - A \vert + \vert a_2 - A \vert + \cdots + \vert a_N -A \vert}{n} + \dfrac{\vert a_{N+1} - A \vert + \vert a_{N+2} - A \vert + \cdots + \vert a_n -A \vert}{n} + \end{equation*} + + 这其中左侧的分数的分母是一个定值，因此只要$n$足够大，就能满足 + \begin{equation*} + \dfrac{\vert a_1 - A \vert + \vert a_2 - A \vert + \cdots + \vert a_N -A \vert}{n} < \varepsilon \text{；} + \end{equation*} + 而对于右边的分数，其中的每一个绝对值都小于$\varepsilon$，于是其整体也小于$\varepsilon$。那么这整个式子小于$2 \varepsilon$。 +\end{proof} + +\begin{proof} + 由题，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists N_1 \in \mathbb{N}$，$\forall n > N_1$，$\vert a_n - A \vert < \varepsilon$。 + + 对此$N_1$，一定存在$N_2 > N_1$，使$\forall n > N_2$，$\dfrac{\vert a_1 - A \vert + \vert a_2 - A \vert + \cdots + \vert a_N -A \vert}{n} < \varepsilon$。 + + 因此，$\forall n > N_2$， + \begin{align*} + & \left| \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} - A \right|\\ + = & \left| \dfrac{(a_1 - A) + (a_2 - A) + \cdots + (a_n -A)}{n} \right|\\ + \leq & \dfrac{\vert a_1 - A \vert + \cdots + \vert a_{N_1} -A \vert}{n}+ \dfrac{\vert a_{{N_1}+1} - A + \cdots + \vert a_n -A \vert}{n} \\ + < & \varepsilon + \varepsilon\\ + = & 2 \varepsilon \eqper + \end{align*} + + 因此，$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = A$。 +\end{proof} + +\begin{definition}[发散到无穷的定义] + \ \par + 若$\forall M > 0$，$N \in \mathbb{N}$，当$n > N$时$a_n > M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$+ \infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = + \infty$； + + 若$\forall M > 0$，$N \in \mathbb{N}$，当$n > N$时$a_n < -M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$- \infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = - \infty$； + + 若$\forall M > 0$，$N \in \mathbb{N}$，当$n > N$时$\vert a_n \vert > M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$\infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = \infty$。 +\end{definition} + +\begin{remark} + $\{ a_n \}$无界不一定有$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = \infty$。无界只要求$\exists n$，s.t. $\vert a_n \vert > M$，而发散到无穷则要求$\forall n > N$，$\vert a_n \vert > M$。 +\end{remark} + +\section{收敛数列的性质} +\begin{theorem}[唯一性] + 如果$\{ a_n \}$收敛，则其极限是唯一的。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + 反证法：假设$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$，$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = B$且$A \neq B$。 + + 由$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = A$，可以得到 + \begin{equation} + \forall \varepsilon > 0 \eqco \exists N_1 \in \mathbb{N} \eqco \forall n > N_1 \eqco \vert a_n - A \vert < \varepsilon \text{；}\label{1.4.1.1} + \end{equation} + + 由$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = B$，可以得到 + \begin{equation} + \forall \varepsilon > 0 \eqco \exists N_2 \in \mathbb{N} \eqco \forall n > N_2 \eqco \vert a_n - B \vert < \varepsilon \text{；}\label{1.4.1.2} + \end{equation} + + 取$N = \max \{ N_1, N_2 \}$，取$\varepsilon = \dfrac{\vert A - B \vert}{3}$，$\forall n > N$，\ref{1.4.1.1}与\ref{1.4.1.2}同时成立。因此，有 + \begin{align*} + \vert B - A \vert & = \vert B - a_n + a_n - A \vert\\ + & \leq \vert B - a_n \vert + \vert a_n - A \vert\\ + & \leq \varepsilon + \varepsilon\\ + & = \dfrac{2}{3} \vert A - B \vert \eqco + \end{align*} + + 矛盾！因此原假设不成立。 +\end{proof} + +\begin{theorem}[有界性] + 设$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，则$\{ a_n \}$有界。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + 由题，$\exists N \in \mathbb{N}$，$\forall n > N$，$\vert a_n - A \vert < 1$。 + + 则$\forall n > N$，$a_n \leq a + 1$。 + + 为此，令$M = \max \{ a_1, a_2, \ldots , a_N, a + 1\} + 1$，则$\forall n \in \mathbb{N}$，都有$\vert a_n \vert < M$。因此$\{ a_n \}$有界。 +\end{proof} + +\begin{remark} + 有界数列不必收敛。 + 考察$a_n = (-1)^n$，显然其有界，然而其发散。 +\end{remark} + +\begin{definition}[数列的子列] + 设$\{ a_n \}$为一数列。取一自然数列$k_1 < k_2 < k_3 < \ldots < k_n < \ldots$。注意$\{a_{k_n}\}$构成一个数列，称为数列$\{ a_n \}$的一个\textbf{子列}。 +\end{definition} + +\begin{theorem}[子列的性质] + 设$\{ a_n \}$收敛于$a$，则$\{ a_n \}$的任意子列也收敛于$a$。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + $\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使$\forall n > n_0$都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$。 + + 任取$\{ a_n \}$的一个子列$\{ a_{k_n} \}$。注意$k_n \geq n$（子列的下标与数列下标的关系），当$n > n_0$时，$k_n \geq n > n_0$。因此$\vert a_{k_n} - a \vert < \varepsilon$。那么$\lim \limits_{n \to \infty} a_{k_n} = a$。 +\end{proof} + +\begin{corollary} + $\{ a_n \}$收敛的充分必要条件是$\{a_n\}$的任意子列收敛。 +\end{corollary} + +\begin{corollary} + $\{ a_n \}$收敛的充分必要条件时$\{ a_n \}$的奇子列与偶子列都收敛且极限相等。 +\end{corollary} + +\begin{remark} + 上述命题通常可以用来判别数列的不收敛。 + + 也就是说如果一个数列的两个子列极限不同或有不收敛子列，就可以判定该数列不收敛。例如$(-1)^n$。 +\end{remark} + +\begin{theorem}[保号性] + 设$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，有： + + \begin{enumerate} + \item 若$a_n \geq 0$，则$n$充分大后$a \geq 0$。 + \item 若$a > 0$，则$n$充分大后$a_n > 0$。 + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{corollary}[极限的保序性] + 若$\toinf a_n = a$，$\toinf b_n = b$，则 + \begin{enumerate} + \item 若$a_n \geq b_n$（$n$充分大后）则$a \geq b$； + \item 若$a > b$，则$n$充分大后，$a_n > b_n$。 + \end{enumerate} + +\end{corollary} + +\begin{theorem}[极限的四则运算性质]\label{极限的四则运算性质} + 设$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，$\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b$，则： + \begin{enumerate} + \item $\lim \limits_{n \to \infty}(a_n \pm b_n) = a \pm b$； + \item $\lim \limits_{n \to \infty}(a_n b_n) = ab$； + \item $\lim \limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{a_n}{b_n}\right) = \dfrac{a}{b}$，只要$b \neq 0$。 + \end{enumerate} +\end{theorem} + +下面证明\ref{极限的四则运算性质}的第二条。 +\begin{proof} + 首先，注意到 + \begin{align*} + \vert a_n b_n - ab \vert = & \vert a_n b_n - a b_n + a b_n - ab \vert\\ + \leq & \vert b_n \vert \vert a_n - a \vert + a \vert b_n - b \vert \text{；} + \end{align*} + + 其次，由于$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，$\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b$，因此$\forall \varepsilon > 0$，$\exists N_1, N_2 \in \mathbb{N}$，满足$\forall n > N_1$，$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$，$\forall n > N_2$，$\vert b_n - b \vert < \varepsilon$，又因为$\{ b_n \}$有界（设$\{ b_n \}$的一个上界为$M$），而$a$是定值，因此$\vert b_n \vert \vert a_n - a \vert + a \vert b_n - b \vert \leq M \cdot \varepsilon + a \cdot \varepsilon$。即$\lim \limits_{n \to \infty} a_n b_n = ab$。 +\end{proof} + +下面证明\ref{极限的四则运算性质}的第三条。 +\begin{proof} + 首先，注意到 + \begin{align*} + \left| \dfrac{a_n}{b_n} - \dfrac{a}{b} \right| = & \left| \dfrac{a_n - a}{b_n} + \dfrac{a}{b_n} - \dfrac{a}{b}\right|\\ + \leq & \left| \dfrac{1}{b_n}\right| \left| a_n - a\right| + \left| a \right| \left| \dfrac{1}{b_n} - \dfrac{1}{b} \right|\\ + = & \left| \dfrac{1}{b_n} \right| \left(\left| a_n - a \right| + \left| \dfrac{a}{b}\right| \left| b_n - b \right| \right) \text{；} + \end{align*} + + 其次，由于$\lim \limits_{n \to \infty} b_n = b$且$b \neq 0$，因此，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得$\forall n > n_0$，有$\vert b_n - b \vert < \left| \dfrac{b}{2} \right|$（$b_n$与$b$的距离不超过$\left| \dfrac{b}{2} \right|$），即$b - \left| \dfrac{b}{2} \right| < b_n < b + \left| \dfrac{b}{2} \right|$。那么，$\vert b_n \vert > \left| \dfrac{b}{2} \right|$（可通过数轴上的几何意义理解）。于是有$\left| \dfrac{1}{b_n} \right| < \left| \dfrac{2}{b} \right|$。那么令$M = \max \left\{ \left| \dfrac{1}{b_1} \right|, \left| \dfrac{1}{b_2} \right|, \ldots , \left| \dfrac{1}{b_{n_0}} \right|, \left| \dfrac{2}{b} \right| \right\}$，则$\forall n \in \mathbb{N}$，有$\left| \dfrac{1}{b_n} \right| \leq M$，即$\left| \dfrac{1}{b_n} \right|$有界。 + + 因此， + \begin{equation*} + \left| \dfrac{1}{b_n} \right| \left(\left| a_n - a \right| + \left| \dfrac{a}{b}\right| \left| b_n - b \right| \right) < M \left( 1 + \left|\dfrac{a}{b}\right|\right)\varepsilon \eqco + \end{equation*} + 于是$\lim \limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{a_n}{b_n}\right) = \dfrac{a}{b}$。 +\end{proof} + +\begin{theorem}[夹逼原理] + 设$n$充分大后，$a_n \leq b_n \leq c_n$。 + + 若$\toinf a_n = a$，$\toinf c_n = a$，则$\toinf b_n = a$。 +\end{theorem} + +\begin{proof} + $\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1, n_2 \in \mathbb{N}$，使： + \begin{enumerate} + \item $\forall n > n_1$，有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$，即$a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon$； + \item $\forall n > n_2$，有$\vert c_n - a \vert < \varepsilon$，即$a - \varepsilon < c_n < a + \varepsilon$。 + \end{enumerate} + 当$n > \max \{n_1, n_2\}$且$n$充分大使得$a_n \leq b_n \leq c_n$后，有 + \begin{equation*} + a - \varepsilon < a_n \leq b_n \leq c_n < a + \varepsilon + \end{equation*} + 因此$a - \varepsilon < b_n < a + \varepsilon$，即$\vert b_n - a \vert < \varepsilon$，即$\toinf b_n = a$。 +\end{proof} + +\section{几个重要不等式} +利用不等式进行放缩从而求得极限是重要的方法。 +\subsection{Bernoulli不等式} +设$a_i > -1$且符号相同，则有 +\begin{equation*} + (1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n) \geq 1 + (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)\eqper +\end{equation*} + +\subsection{Cauchy-Scharz不等式} +\begin{equation*} + \left(\sum_{k=1}^n a_kb_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right) \eqper +\end{equation*} +利用$\sum (a_k + \lambda b_k)^2 \geq 0$即可证明。 + +\subsection{Minkowski不等式} +\begin{equation*} + \left[\sum_{k=1}^n (a_k + b_k)^2\right]^{\frac{1}{2}} \leq \left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)^\frac{1}{2} + \left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)^\frac{1}{2} +\end{equation*} + +\subsection{算数——几何平均不等式} +已知$a_i \geq 0, i = 1, 2, \cdots , n$，则有： +\begin{equation*} + \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n} +\end{equation*} + +\section{数列极限概念的推广} +\begin{definition}[无穷小数列] + 设$\{a_n\}$为一数列。若$\toinf a_n = 0$，称$\{a_n\}$为\textbf{无穷小数列}（简称\textbf{无穷小}），记作$a_n = o(1)$。 +\end{definition} + +\begin{proposition}[无穷小的性质] + 无穷小具有下列性质： + \begin{enumerate} + \item $\{a_n\}$为无穷小当仅当$\{\vert a_n \vert \}$为无穷小； + \item 无穷小和差依然为无穷小； + \item 无穷小数列与有界数列的乘积为无穷小； + \item 数列$\{a_n\}$极限为$a$等价于$\{a_n - a\}$为无穷小。 + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\begin{definition}[无穷大数列] + 设$\{a_n\}$为一数列。若$\forall A > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使得$\forall n > n_0$， + \begin{enumerate} + \item 都有$a_n > A$，则称$\{a_n\}$趋于$+\infty$，记为$\toinf a_n = + \infty$； + \item 都有$a_n < -A$，则称$\{a_n\}$趋于$-\infty$，记为$\toinf a_n = - \infty$； + \item 都有$\vert a_n \vert > A$，则称$\{a_n\}$趋于$\infty$，记为$\toinf a_n = \infty$。 + \end{enumerate} + 以上三种情况统称$\{a_n\}$为无穷大数列。 +\end{definition} + +\begin{proposition}[无穷大数列的性质] + 设$\{a_n\}$为无穷大数列，则： + \begin{enumerate} + \item $\{a_n\}$无界。 + \item $\toinf \left(\dfrac{1}{a_n}\right) = 0$。 + \item 若$\toinf b_n = b$，则$\toinf (a_n \pm b_n) = \infty$；又若$b \neq 0$，则$\toinf (a_nb_n) = \infty$。 + \end{enumerate} +\end{proposition} + +\section{单调数列及其性质} +\begin{definition}[单调数列] + 设$\{a_n\}$为一个数列。 + + 若$a_n \leq a_{n+1} (n = 1, 2, 3, \cdots)$，则称$\{a_n\}$单调增； + + 若$a_n \geq a_{n+1} (n = 1, 2, 3, \cdots)$，则称$\{a_n\}$单调减。 + + 单调增与单调减数列统称单调数列。将不等号换成严格不等号，则称为严格单调。 +\end{definition} + +\begin{theorem}[单调性原理（公理）] + 单调有界数列必有极限（必收敛）。 +\end{theorem} + +\begin{remark} + 这是实数集上的公理，在有理数集上不成立。 +\end{remark} + +\begin{remark} + 公理保证了极限的存在性，但是没有给出极限的值。 +\end{remark} + +\begin{corollary} + 单调数列收敛的充分必要条件是数列有界。 +\end{corollary} + +\begin{corollary}[单调有界数列极限的刻画] + 对于一个单调数列： + \begin{enumerate} + \item 单调增有上界数列的极限是数列的最小上界（上确界）； + \item 单调减有下界数列的极限是数列的最大下界（下确界）。 + \end{enumerate} +\end{corollary} + +\begin{proof} + 只证明1。设集合$S = \{a_n\}$。则由确界公理，$S$有上确界。记$A = \sup{S}$。 + + 欲证$\toinf a_n = A$，即$\forall \varepsilon > 0$，有$A - \varepsilon < a_n < A + \varepsilon$： + + 首先，$a_n < A < A + \varepsilon$，不等式右边成立； + + 其次，因为$A$是$S$的上确界，因此有$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0, a_{n_0} > A - \varepsilon$。而$\{a_n\}$单调增，$\forall n > n_0$，$a_n \geq a_{n_0} > A - \varepsilon$。 + + 因此，$\toinf a_n = A$ +\end{proof} + +\section{自然对数底e} +两个重要的数列： +\[a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n, b_n = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{n!}\] + +\begin{theorem}\label{Definition of e} + $\toinf a_n = a$与$\toinf b_n = b$均存在，且$a=b$，今后记为$\mathe$。 +\end{theorem} + +\begin{lemma}\label{e lemma 1} + $\{b_n\}$单增有上界，因而$\toinf b_n = b$存在。 +\end{lemma} + +\begin{proof} + 注意到$n \geq 3$时，$n! \geq 2^{n-1}$。 + \[b_n < 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \cdots + \dfrac{1}{2^{n-1}} < 3\] + 因此$\{b_n\}$单增有上界。 +\end{proof} + +\begin{corollary} + $\toinf b_n = b \leq 3$。 +\end{corollary} + +\begin{lemma}\label{e lemma 2} + $a_n \leq b_n (n=1, 2, \cdots)$因此$\{a_n\}$有上界。 +\end{lemma} + +\begin{proof} + 二项式展开。 + \[ + \begin{aligned} + a_n & = 1 + n \cdot \dfrac{1}{n} + \dfrac{n(n-1)}{2}\dfrac{1}{n^2} + \cdots + \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k(k+1)\cdots 2}\left(\dfrac{1}{n}\right)^k + \cdots + \left(\dfrac{1}{n}\right)^n\\ + & = 1 + 1 + \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \cdots + \dfrac{1}{k!}(1- \dfrac{1}{n})\cdots \left(1 - \dfrac{k-1}{n}\right) + \cdots\\ + & + \dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{n-1}{n}\right)\\ + & \leq 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{k!} + \cdots + \dfrac{1}{n!}\\ + & = b_n + \end{aligned} + \] + 因此$\{a_n\}$有界。 +\end{proof} + +\begin{lemma}\label{e lemma 3} + $\{a_n\}$单调增，因此$\toinf a_n = a$存在。 +\end{lemma} + +\begin{proof} + 由上证 + \[\begin{aligned} + a_n & = 2 + \dfrac{1}{2!}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{k!}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{k-1}{n}\right) + \cdots\\ + & + \dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{n-1}{n}\right)\\ + & \leq 2 + \dfrac{1}{2!}\left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right) + \cdots + \dfrac{1}{k!}\left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{k-1}{n+1}\right) + \cdots \\ + & + \dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{n-1}{n+1}\right) + \dfrac{1}{(n+1)!}\left(1 - \dfrac{1}{n+1}\right)\cdots \left(1 - \dfrac{n}{n+1}\right)\\ + & = a_{n+1} + \end{aligned}\] +\end{proof} + +在此，我们可以证明定理\ref{Definition of e}的正确性。 +\begin{proof} + 由极限的保序性，引理\ref{e lemma 2} $\Rightarrow a \leq b$。 + \[\begin{aligned} + a_n & = 2 + \dfrac{1}{2!}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{k!}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{k-1}{n}\right) + \cdots\\ + & + \dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{n-1}{n}\right)\\ + & \geq 2 + \dfrac{1}{2!}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{k!}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right) + \end{aligned}\] + 对$k \leq n$成立。固定$k$，令$n \to \infty$，得 + \[a \geq 2 + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{k!} = b_k\] + 再令$k \to \infty$，有 + \[a \geq b\] + 又因为 + \[a \leq b\] + 因此$a=b$。 +\end{proof} + +\section{基本列和Cauchy收敛原理} +\begin{definition}[基本列] + 设$\{a_n\}$为一个数列。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n \in \mathbb{N}^\ast$，使当$n > N$，对$\forall p \in \mathbb{N}$，都有$\vert a_{n+p} - a_n \vert < \varepsilon$，则称$\{a_n\}$是基本列或Cauchy列。 +\end{definition} + +\begin{proposition} + 若$\{a_n\}$收敛，则$\{a_n\}$是基本列。 +\end{proposition} + +\begin{proof} + 令$\toinf a_n = a$。则$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使$\forall n, n' > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}, \vert a_{n'} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}$。由三角不等式 + \[\vert a_n - a_{n'} = \vert a_n - a - (a_{n'} - a) \vert \leq \vert a_n - a \vert + \vert a_{n'} - a \vert < \varepsilon\] +\end{proof} + +\begin{theorem}[Cauchy收敛原理]\label{cauchy principle of convergence} + 数列收敛的充要条件是该数列为基本列。 +\end{theorem} + +问题：基本列一定收敛吗？ + +\begin{lemma}\label{cauchy priciple of convergence lemma 1} + 基本列是有界的。 +\end{lemma} + +\begin{proof} + 取基本列$\{a_n\}$。$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使$\forall n, n' > n_0$， $\vert a_n - a_{n'} \vert < 1$。由此可得$\forall n > n_0$，$\vert a_n - a_{n_0 + 1} \vert < 1$，所以$\vert a_n \vert \leq \vert a_{n_0 + 1} \vert + 1$。 + + 进一步有$\forall n \in \mathbb{N}$，$\vert a_n \vert \leq \vert a_1 \vert + \cdots + \vert a_{n_0} \vert + \vert a_{n_1+1}+1\vert$。 +\end{proof} + +\begin{lemma}[Bolzano-Weierstrass列紧性原理]\label{cauchy priciple of convergence lemma 2} + 有界数列必有收敛子列。 +\end{lemma} + +通过此定理可以先找到一个基本列的收敛子列，然后可以再想办法证明基本列收敛到该子列的极限。 + +\begin{remark} + 此引理的结论是实数理论中的重要结论，与单调性原理（公理）是等价的。 +\end{remark} + +证法一：利用二分法选子序列。 +\begin{proof} + 思路：先按一定规则选取出一个子序列，再证明该子序列收敛。 + + \noindent 第一步，选子序列： + + $\{a_n\}$有界$\Rightarrow \exists m_1, M_1$，$\forall n \in \mathbb{N}$，有$m_1 \leq a_n \leq M_1$。 + + 可以将$\{a_n\}$分成两部分，其中的$a_i$分别满足 + \[m_1 \leq a_i \leq \dfrac{m_1 + M_1}{2}, \dfrac{m_1 + M_1}{2} \leq a_i \leq M_1 \eqco\] + 这两组中至少有一组含有无穷多项，记为$\{a_{n_1}^\ast\}$。 + + 于是将刚刚的分类标准的两个端点记为$m_2, M_2$，有$m_2 \leq a_{n_1}^\ast \leq M_2$，可以继续将其二分得到新的无限数列，记为$\{a_{n_2}^\ast\}$；如此无限地操作下去，会得到一串子数列 + \[\{a_{n_1}^\ast\}, \{a_{n_2}^\ast\}, \cdots , \{a_{n_k}^\ast\}, \cdots \eqco\] + 在每个子数列中都任选一个数，记为 + \[a_{n_1}, a_{n_2}, \cdots, a_{n_k}, \cdots \eqper \] + + 至此我们选出了一个子列。 + + \noindent 第二步，证明子列收敛： + + 我们知道 + \[m_1 \leq a_{n_1} \leq M_1, m_2 \leq a_{n_2} \leq M_2, \cdots , m_k \leq a_{n_k} \leq M_k, \cdots \eqco\] + 同时 + \[m_1 \leq m_2 \leq \cdots \leq m_k \leq \cdots \leq M_1 \eqco\] + \[M_1 \geq M_2 \geq \cdots \geq M_k \geq \cdots \geq m_1 \eqco\] + 因此$\{m_n\}, \{M_n\}$都是单调有界数列，两数列都收敛。 + + 又因为$\lim \limits_{k \to \infty} (M_k - m_k) = \lim \limits_{k \to \infty} \dfrac{M_1 - m_1}{2^{k-1}} = 0$，因此 + \[\lim \limits_{k \to \infty} M_k = \lim \limits_{k \to \infty} m_k = A\eqco\] + 从而 + \[\lim \limits_{k \to \infty} a_{n_k} = A \eqper\] +\end{proof} + +证法二：利用确界概念选子数列。 +\begin{proof} + 整体思路仍旧是先选出子数列，再证明它收敛。 + + \noindent 第一步，选子数列： + + 设$a_{n_1} = a_1$。定义集合$\{a_{n_1}\} = \{a_n \vert n \in \mathbb{N}, n > 1\}$，$\{a_{n_1}\}$有界，设$b_1 = \sup{\{a_{n_1}\}}$； + + $\exists a_{n_2} \in \{a_{n_1}\}$，使$0 \leq b_1 - a_{n_2} < \dfrac{1}{2}$。定义集合$\{a_{n_2}\} = \{a_n \vert n \in \mathbb{N}, n > n_2\}$，$\{a_{n_2}\}$有界，设$b_2 = \sup{\{a_{n_2}\}} \leq b_1$； + + $\exists a_{n_3} \in \{a_{n_2}\}$，使$0 \leq b_2 - a_{n_3} < \dfrac{1}{3}$。定义集合$\{a_{n_3}\} = \{a_n \vert n \in \mathbb{N}, n > n_3\}$，$\{a_{n_3}\}$有界，设$b_3 = \sup{\{a_{n_3}\}} \leq b_2$； + + 如此无限地操作下去，得 + + $\exists a_{n_k} \in \{a_{n_{k-1}}\}$，使$0 \leq b_{k-1} - a_{n_k} < \dfrac{1}{k}$。定义集合$\{a_{n_k}\} = \{a_n \vert n \in \mathbb{N}, n > n_k\}$，$\{a_{n_k}\}$有界，设$b_k = \sup{\{a_{n_k}\}} \leq b_{k-1}$。 + + 于是我们得到了一个子列 + \[a_{n_1}, a_{n_2}, \cdots , a_{n_k}, \cdots \] + + \noindent 第二步，证明选出的子列是收敛的： + + 由第一步可以得到，$\lim \limits_{k \to \infty}(b_{k-1} - a_{n_k}) = 0$， + 同时$\{b_k\}$单调减有下界意味着$\{b_k\}$收敛，那么$\{a_{n_k}\}$也收敛。 +\end{proof} + +\begin{lemma}\label{cauchy priciple of convergence lemma 3} + 任意数列都有单调子列。 +\end{lemma} + +\begin{remark} + 本定理也可用来证明有界数列有收敛子列。 +\end{remark} + +\begin{proof} + 任取数列$\{a_n\}$，定义其``龙头项''为：固定$k \in \mathbb{N}$，若$\forall n > k, a_k > a_n$，则称$a_k$为一个``龙头项''。那么一个数列必属于下列两种情况之一： + \begin{enumerate} + \item $\{a_n\}$有无穷多个``龙头项''，依次记为$a_{k_1}, a_{k_2}, \cdots , a_{k_n}, \cdots$。注意$k_1 < k_2 < \cdots < k_n < \cdots$，因此$a_{k_1} > a_{k_2} > \cdots > a_{k_n} > \cdots$，这时$\{a_n\}$中有严格单调减子列$\{a_{k_n}\}$； + \item ``龙头项''只有有限多，那么$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，$\forall n \geq n_0$，$a_n$不是``龙头项''，取$a_{k_1} = a_{n_0}$，那么$a_{k_1}$不是``龙头项''，$\exists k_2 > k_1, a_{k_2} \geq a_{k_1}$，而$a_{k_2}$也不是``龙头项''，$\exists k_3 > k_2, a_{k_3} \geq a_{k_2}$，……依此类推，得到单调增子列$\{a_{k_n}\}$。 + \end{enumerate} +\end{proof} + +在此，我们可以证明定理\ref{cauchy principle of convergence}的正确性： +\begin{proof} + 只需证明充分性： + + 任取基本列$\{a_n\}$。由引理\ref{cauchy priciple of convergence lemma 1}，$\{a_n\}$有界。 + + 由引理\ref{cauchy priciple of convergence lemma 2}，存在$\{a_n\}$的一个收敛子列$\{a_{k_n}\}$。 + + 记$\toinf a_{k_n} = a$，下面验证$\toinf a_n = a$： + + 注意 + \[\vert a_n - a \vert \leq \vert a_n - a_{k_n} \vert + \vert a_{k_n} - a \vert \eqper\] + + 首先，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1 \in \mathbb{N}$，使$\forall n, n' > n_1$，有\begin{equation*}\tag{1}\label{cauchy principle of convergence eq1} + \vert a_n - a_{n'} \vert < \dfrac{\varepsilon}{2} \text{；} + \end{equation*} + + 其次，由$\toinf a_{k_n} = a$，$\exists n_2 \in \mathbb{N}$，使$\forall n > n_2$，有\begin{equation*}\tag{2}\label{cauchy principle of convergence eq2} + \vert a_{k_n} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}\eqper + \end{equation*} + + 综上，当$n > n_0 = \max{\{n_1, n_2\}} \in \mathbb{N}$，因为$k_n \geq n > n_0$，因此\eqref{cauchy principle of convergence eq1}与\eqref{cauchy principle of convergence eq2}都成立， + \[\vert a_n - a \vert \leq \vert a_n - a_{k_n} \vert + \vert a_{k_n} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \eqper\] +\end{proof} + +基本列的定义中不涉及极限的具体值，这是与收敛数列定义的根本区别。 + +\section{上、下确界与确界原理} +\begin{theorem}[确界原理] + 设$E \subset \mathbb{R}$非空。 + + \begin{enumerate} + \item 如果$E$有上界，则必有上确界：$\exists \beta = \sup{E} \in \mathbb{R}$； + \item 如果$E$有下界，则必有下确界：$\exists \alpha = \inf{E} \in \mathbb{R}$； + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + 容易看出1与2类似。下面只证1。 + + 设$\exists a_0 \in E$，$b_0$是$E$上界，不妨令$a_0 < b_0$（否则$a_0 = b_0 = \sup E$）。 + 如果$E \cap \left[\dfrac{a_0 + b_0}{2}, b_0\right]$非空，就取$[a_1, b_1] = \left[\dfrac{a_0 + b_0}{2}, b_0\right]$；否则，取$[a_1, b_1] = \left[a_0, \dfrac{a_0 + b_0}{2}\right]$。 + + 这样$E \cap [a_1, b_1]$非空，$b_1$也是$E$的上界。 + + 同样，若$E \cap \left[\dfrac{a_1 + b_1}{2}, b_1\right]$非空，取$[a_2, b_2] = \left[\dfrac{a_1 + b_1}{2}, b_1\right]$；否则，取$[a_2, b_2] \\ = \left[a_1, \dfrac{a_1 + b_1}{2}\right]$。 + + 依此类推，得到数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$，它们具有以下性质： + \begin{enumerate}[label=(a)] + \item $\{a_n\}$单调增，$\{b_n\}$单调减，且$a_n \leq b_n, n = 1, 2, \cdots$；\label{sup inf prove a} + \item $b_n - a_n = \dfrac{b_0 - a_0}{2^n}, n = 1, 2, \cdots$；\label{sup inf prove b} + \item $E \cap [a_n, b_n]$非空，$b_n$是$E$上界，$n = 1, 2, \cdots$。\label{sup inf prove c} + \end{enumerate} + + 应用单调性原理，由\ref{sup inf prove a}导出$\toinf a_n = a$与$\toinf b_n = b$都存在，结合\ref{sup inf prove b}可以得到$a=b$。再由\ref{sup inf prove c}可知$\forall x \in E$都有$x \leq b_n, n = 1, 2, \cdots$，从而由极限的保序性可以得到$x \leq b$。这说明$a = b$是$E$的一个上界。 + + 只要再证明$\forall \varepsilon > 0$，$a - \varepsilon$都不是$E$的一个上界，即可证明$a=b$是$E$的上确界。 + + 注意到$\toinf a_n = a > a - \varepsilon$，根据极限的保序性，$\exists n_0 \in \mathbb{N}$，使$\forall n > n_0$，$a_n \geq a - \varepsilon$。而根据上面的\ref{sup inf prove c}，$E \cap [a_n, b_n]$非空，因此$\exists x_n \in E \cap [a_n, b_n], n= 1, 2, \cdots$。综上，$\forall n > n_0$，$\exists x_n \in E$，$x_n \geq a_n \geq a - \varepsilon$。因而$a - \varepsilon$不是$E$的上界，$a = b = \sup{E}$。 +\end{proof} + +回忆约定：若$E$无上界，则记$\sup E = + \infty$；若$E$无下界，则记$\inf E = - \infty$。 diff --git a/高等微积分.tex b/高等微积分.tex index f182dbf..50e335a 100644 --- a/高等微积分.tex +++ b/高等微积分.tex @@ -23,7 +23,7 @@ \newtheorem{lemma}{引理}[theorem] \newtheorem{corollary}{推论}[theorem] \newtheorem{example}{例}[section] -\newtheorem{proposition}{命题}[theorem] +\newtheorem{proposition}{命题}[section] \newtheorem*{remark}{注} % \renewcommand{\qedsymbol}{} %去掉证明结尾的方框 @@ -32,7 +32,9 @@ \newcommand{\newnoun}[2]{ \textbf{#1}（\textit{#2}） } - +\newcommand*{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}} +\newcommand{\toinf}{\lim \limits_{n \to \infty}} +\newcommand{\mathe}{\mathrm{e}} \title{{\Huge{\textbf{高等微积分}}}} \author{}