第四周第二节。

02函数及其连续性.tex

@@ -219,7 +219,56 @@
     因此$\exists N \in \naturalnum$，$n > N$，$\vert x - x_0 \vert < \delta_0$，那么$f(x_n) < g(x_n) < h(x_n)$。
 
     由数列夹逼原理，$\toinf g(x_n) = A$，从而$\toxzero g(x) = A$。
+\end{proof}
 
+\begin{example}
+    求证$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$。
+\end{example}
+
+\begin{proof}
+    考虑如下单位圆弧：
+    \begin{center}
+        \begin{tikzpicture}[scale=4]
+            \draw[->] (-0.2,0) -- (1.2,0) node[right] {$x$};
+            \draw[->] (0,-0.2) -- (0,1.2) node[above] {$y$};
+            \draw (1,0) arc (0:90:1);
+            \node[below] at(-0.15,0) {$O$};
+            \node[below] (A) at(1,0) {$A$};
+            \draw plot[domain=0:1] (\x,{1/sqrt(3)*\x}) node[above] (C) {$C$};
+            \node[above] at(0.78,0.3) {$B$};
+            \draw[densely dashed] ({sqrt(3)/2},{1/2})--({sqrt(3)/2},0) node[below] {$\cos x$};
+            \draw[densely dashed] ({sqrt(3)/2},{1/2})--(0, {1/2}) node[left] {$\sin x$};
+            \draw[densely dashed] (1, {1/sqrt(3)})--(0,{1/sqrt(3)}) node[left] {$\tan x$};
+            \draw (1,{1/sqrt(3)})--(1,0);
+        \end{tikzpicture}
+    \end{center}
+
+\begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
+    \item $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$时，有
+        \[S_{\triangle OAB} \leq S_{\text{扇形$OAB$}} \leq S_{\triangle OAC}\] 
+        也即
+        \[\frac{1}{2} \sin x \leq \frac{1}{2} x \leq \frac{1}{2} \tan x = \frac{1}{2} \frac{\sin x}{\cos x}\]
+        这等价于
+        \[\frac{\cos x}{\sin x} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{\sin x}\]
+        因此
+        \[\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1 \eqper\]
+    \item $-\dfrac{\pi}{2} < x < 0$时，利用函数的奇偶性，有
+        \[\cos x = \cos (-x) \leq \frac{\sin (-x)}{-x} = \frac{\sin x}{x} \leq 1 \eqper\]
+\end{enumerate}
+
+    综合起来即为当$0 < \vert x \vert < \dfrac{\pi}{2}$时，
+    \[\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1\eqper\]
+
+    上式结合三角公式及$0 < \vert \sin x \vert < \vert x \vert$有
+    \[0 \leq 1 - \frac{\sin x}{x} \leq 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \leq 2 \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}x^2\]
+    整理得到
+    \[0 \leq 1 - \frac{\sin x}{x} \leq 1 - \cos x \leq \frac{1}{2}x^2\]
+    令$x \to 0^+$，得到
+    \[\lim \limits_{x \to 0^+} \left(1 - \frac{\sin x }{x}\right) = \lim \limits_{x \to 0^+} (1 - \cos x) = 0\]
+    所以
+    \[\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]
+    同时也得到
+    \[\lim \limits_{x \to 0} \cos x = 1 \eqper\]
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}[单调收敛原理]
@@ -367,4 +416,111 @@
 
 \begin{corollary}
     在同一极限过程中$f(x)$为无穷大量$\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{f(x)}$为无穷小量。
-\end{corollary}
+\end{corollary}
+
+\subsection{无穷小量比较}
+\subsubsection{无穷小量的比较与无穷小量的阶}
+\begin{definition}
+    设$f(x)$与$g(x)$都是在同一极限过程$x \to \Theta$中的无穷小量。
+    \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
+        \item 如果$\lim \limits_{x \to \Theta} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$，则称$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小量；
+        \item 如果$\lim \limits_{x \to \Theta} \dfrac{f(x)}{g(x)} = c \neq 0$，则称$f(x)$与$g(x)$是同阶无穷小量。
+    \end{enumerate}
+    特别当$c=1$时，称$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小量，记为
+    \[f(x) \sim g(x) (x \to \Theta)\eqper\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[无穷小的阶]
+    令$a > 0$，若$\lim \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{(x - x_0)^a} = c \neq 0$，则称$f(x)$为$a$阶无穷小（$x \to x_0$时）。
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    设函数$f$与$g$在$x_0$近旁（$x_0$除外）有定义，并且$g(x) \neq 0$。
+    \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
+        \item 当$x \to x_0$时，若比值$\dfrac{f(x)}{g(x)}$保持有界，即存在正常数$M$，使得$\vert f(x) \leq M \vert g(x) \vert$成立，就用$f(x) = O(g(x))\ (x \to x_0)$表示。
+        \item 当$x \to x_0$时，若比值$\dfrac{f(x)}{g(x)}$是一个无穷小，即
+            \[\lim \limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0\]
+            时，就用$f(x) = o(g(x))\ (x \to x_0)$来表示。
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\subsubsection{几个重要的的等价无穷小}
+\begin{enumerate}
+    \item $x \sim \sin x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x \sim e^x - 1 \sim \ln (1 + x)\ (x \to 0)$
+    \item $(1 + x)^a \sim ax\ (x \to 0), a \in \realnum$
+    \item $1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}\ (x \to 0)$
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection{等价无穷小代换}
+\begin{proposition}
+    设$f(x) \sim g(x)\ (x \to \Theta)$即$\lim \limits_{x \to \Theta} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$，考虑
+    \[f(x)h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x)h(x)\]
+    应用极限的四则运算性质有
+    \[\lim \limits_{x \to \Theta} f(x)h(x) = \lim \limits_{x \to \Theta} g(x)h(x)\eqper\]
+\end{proposition}
+\begin{remark}
+    只有乘除因子才可以做等价无穷小代换。
+\end{remark}
+
+\subsubsection{无穷小的计算}
+\begin{enumerate}
+    \item $o(f) + o(f) = o(f)$
+    \item $o(f) + O(f) = O(f)$
+    \item $O(f) + O(f) = O(f)$
+    \item $\dfrac{o(f)}{g} = o\left(\dfrac{f}{g}\right), \dfrac{O(f)}{g} = O\left(\dfrac{f}{g}\right), g \neq 0$
+\end{enumerate}
+
+\subsection{无穷大量的比较}
+\begin{definition}
+    设$f(x)$与$g(x)$都是在同一极限过程$x \to \Theta$中的无穷大量。
+    \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
+        \item 如果$\lim \limits_{x \to \Theta} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$，则称$g(x)$是$f(x)$的高阶无穷大量；
+        \item 如果$\lim \limits_{x \to \Theta} \dfrac{f(x)}{g(x)} = c \neq 0$，则称$f(x)$与$g(x)$是同阶无穷大量。
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\section{连续函数的概念与实例}
+\begin{definition}[连续函数]
+    设函数$f$在$x_0$附近有定义（包括$x = x_0$）。如果
+    \[\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]
+    则称$f$在$x_0$连续，也即
+    \[\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{使得}0 < \vert x - x_0 \vert < \delta \text{时} \vert f(x) - f(x_0) \vert < \varepsilon\]
+
+    否则称$f$在$x_0$间断（不连续）。
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[单侧连续]
+    如果$f(x_0+) = f(x_0)$，则称函数$f$在$x_0$处右连续；如果$f(x_0-) = f(x_0)$，则称函数$f$在$x_0$处左连续。
+\end{definition}
+
+\begin{corollary}
+    $f$在$x_0$连续当且仅当$f$在$x_0$左右都连续。
+\end{corollary}
+
+\subsection{连续函数的运算}
+\begin{proposition}[四则运算]
+    设函数$f$和$g$在$x_0$连续，则$f \pm g$和$fg$也在$x_0$连续。又若$g(x_0) \neq 0$，则$\dfrac{f}{g}$也在$x_0$连续。
+\end{proposition}
+
+\begin{proposition}[复合运算]
+    设函数$g(t)$在$t_0$连续，$f(x)$在$x_0 = g(t_0)$连续，则复合函数$(f \circ g)(t)$在$t_0$连续，也即
+    \[\lim \limits_{t \to t_0} f(g(t)) = f(g(t_0)) = f(x_0) \eqper\]
+\end{proposition}
+
+\begin{remark}
+    连续函数与连续函数的复合是连续函数。
+\end{remark}
+
+\begin{definition}
+    令$a < b$（包括$a = -\infty$，或$b = +\infty$），记
+    \[C(a,b) = \{f:(a,b) \to \realnum \vert f(x)\text{在}(a,b)\text{内处处连续}\}\eqco\]
+    记
+    \[C[a,b] = \{f:[a,b] \to \realnum \vert f(x)\text{在}(a,b)\text{内处处连续，且在}x=a\text{右连续，在}x=b\text{左连续}\}\eqper\]
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    $C(a,b)$与$C[a,b]$都是线性空间，即
+    \[\forall f, g \in C(a,b), \forall \alpha, \beta \in \realnum, \alpha f + \beta g \in C(a,b)\]
+    \[\forall f, g \in C[a,b], \forall \alpha, \beta \in \realnum, \alpha f + \beta g \in C[a,b]\]
+\end{proposition}
+