第十六周。结课。

20含参变量积分.tex

@@ -43,14 +43,14 @@
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-    令$J(t, \alpha, \beta) = \dint_\alpha^\beta g(t, x) \dif x$，由$g(t, x), \deriv{g_t}(t, x)$的连续性，
+    令$J(t, \alpha, \beta) = \dint_\alpha^\beta g(t, x) \dif x$，由$g(t, x), \dfrac{\partial g}{\partial t}(t, x)$的连续性，
     \[\deriv{J_t} = \int_\alpha^\beta \dfrac{\partial g}{\partial t}(t, x) \dif x, \deriv{J_\alpha} = - g(t, \alpha), \deriv{J_\beta} = g(t, \beta)\]
     均在$(t, \alpha, \beta) \in D = [a, b] \times [c, d] \times [c, d]$上连续。因此$J(t, \alpha, \beta)$在$D$上可微，复合函数
     \[f(t) = \int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} g(t, x) \dif x = J(t, \alpha(t), \beta(t))\]
     在$t \in [a, b]$上可微，且
     \begin{align*}
         \deriv{f}(t) & = \deriv{J_t} + \deriv{J_\alpha} \cdot \deriv{\alpha}(t) + \deriv{J_\beta} \cdot \deriv{\beta}(t)\\
-        & = \int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} \dfrac{\partial g}{\partial t}(t, x) \dif x + g(t, \beta(t)) \deriv{\beta}(t) - g(t, \alpha(t)) \deriv{\alpha}(t)\eqper 
+        & = \int_{\alpha(t)}^{\beta(t)} \dfrac{\partial g}{\partial t}(t, x) \dif x + g(t, \beta(t)) \cdot \deriv{\beta}(t) - g(t, \alpha(t)) \cdot \deriv{\alpha}(t)\eqper 
     \end{align*}
 \end{proof}
 
@@ -113,4 +113,117 @@
     那么积分
     \[\int_a^{+\infty} f(t, x) g(t, x) \dif x\]
     在$\Omega$上一致收敛。
-\end{theorem}
+\end{theorem}
+
+\section{含参变量反常积分的性质}
+\begin{theorem}
+    如果函数$f(t, x)$在$[\alpha, \beta] \times [a, +\infty)$上连续，而且积分
+    \[I(t) = \int_a^{+\infty} f(t, x) \dif x\]
+    关于$t \in [\alpha, \beta]$一致收敛，则$I(t) \in C[\alpha, \beta]$。
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+    设函数$f(t, x), \dfrac{\partial f}{\partial t}(t, x) \in C([\alpha, \beta] \times [a, +\infty])$，且对任意的$t \in [\alpha, \beta]$，
+    \[I(t) = \int_a^{+\infty} f(t, x) \dif x\]
+    收敛，同时
+    \[\int_a^{+\infty} \dfrac{\partial f}{\partial t}(t, x) \dif x\]
+    关于$t \in [\alpha, \beta]$一致收敛，那么$I(t) \in C^1[\alpha, \beta]$且
+    \[\deriv{I}(t) = \frac{\dif}{\dif t} \int_a^{+\infty} f(t, x) \dif x = \int_a^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial t}(t, x) \dif x\eqper\]
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+    设函数$f(x, y) \in C([a, +\infty) \times [\alpha, \beta])$，含参积分
+    \[I(t) = \int_a^{+\infty} f(x, y) \dif x\]
+    关于$y \in [\alpha, \beta]$一致收敛，则$I(y)$在$[\alpha, \beta]$上可积，且
+    \[\int_\alpha^\beta I(y) \dif y = \int_a^{+\infty} \left(\int_\alpha^\beta f(x, y) \dif y\right)\dif x\]
+    即
+    \[\int_\alpha^\beta \dif y \int_a^{+\infty} f(x, y) \dif x = \int_a^{+\infty} \dif x \int_\alpha^\beta f(x, y) \dif y\eqper\]
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+    如果函数$f(x, y)$满足下列条件：
+    \begin{enumerate}
+        \item $f$在$[a, +\infty) \times [\alpha, +\infty)$上连续；
+        \item 对任意的$\beta > \alpha$，积分
+        \[\int_a^{+\infty} f(x, y) \dif x\]
+        在$y \in [\alpha, \beta]$上一致收敛；
+        对任意的$b > a$，积分
+        \[\int_\alpha^{+\infty} f(x, y) \dif y\]
+        在$x \in [a, b]$上一致收敛；
+        \item 积分
+        \[\int_a^{+\infty} \left(\int_\alpha^{+\infty} \abs{f(x, u)} \dif u\right)\dif x, \quad \int_\alpha^{+\infty} \left(\int_a^{+\infty} \abs{f(x, u)} \dif x\right)\dif u\]
+        中至少有一个存在，
+    \end{enumerate}
+    那么积分
+    \[\int_a^{+\infty} \left(\int_\alpha^{+\infty} f(x, u) \dif u\right)\dif x, \quad \int_\alpha^{+\infty} \left(\int_a^{+\infty} f(x, u) \dif x\right)\dif u\]
+    都存在且相等，即
+    \[\int_a^{+\infty} \left(\int_\alpha^{+\infty} f(x, u) \dif u\right)\dif x = \int_\alpha^{+\infty} \left(\int_a^{+\infty} f(x, u) \dif x\right)\dif u\eqper\]
+\end{theorem}
+
+\section[Γ函数与B函数]{$\Gamma$函数与$\Beta$函数}
+含参变量的广义积分
+\begin{align*}
+    \Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s - 1} e^{-t} \dif t, \quad (s > 0)\\
+    \Beta(p, q) = \int_0^1 t^{p - 1} (1 - t)^{q - 1} \dif t, \quad (p > 0 , q > 0)
+\end{align*}
+分别称为$\Gamma$函数和$\Beta$函数。
+
+\subsection[Γ函数]{$\Gamma$函数}
+\begin{theorem}
+    $\Gamma(s)$在$(0, +\infty)$上连续，且有各阶连续导数。
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+    $\Gamma$函数具有下面三条性质：
+    \begin{enumerate}
+        \item 对任意$s > 0$，$\Gamma(s) > 0$，且$\Gamma(1) = 1$；
+        \item $\Gamma(s + 1) = s \Gamma(s)$对任意$s > 0$成立；
+        \item $\ln \Gamma(s)$是$(0, +\infty)$上的凸函数。
+    \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+$\Gamma$函数可以看作是阶乘函数的推广：
+\[\Gamma(n + 1) = n!, n = 1, 2, 3, \dots\]
+
+\begin{theorem}[Bohr-Mollerup]
+    如果$(0, +\infty)$上的函数$f$满足下面三个条件：
+    \begin{enumerate}
+        \item 对任意$x > 0$，$f(x) > 0$且$f(1) = 1$；
+        \item $f(x + 1) = xf(x)$对任意$x > 0$成立；
+        \item $\ln f$是$(0, +\infty)$上的凸函数，
+    \end{enumerate}
+    那么$f(x) = \Gamma(x)$对任意$x > 0$成立。
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+    对任意$x > 0$，有
+    \[\Gamma(x) = \tolim{n}{\infty} \frac{n^x n!}{x(x + 1) \dots (x + n)}\eqper\]
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[$\Gamma$函数的余元公式]
+    对任意的$x \in (0, 1)$，有
+    \[\Gamma(x) \Gamma(1 - x) = \frac{\pi}{\sin \pi x}\eqper\]
+\end{theorem}
+
+\subsection[B函数]{$\Beta$函数}
+\begin{theorem}
+    $\Beta$函数有下面的性质：
+    \begin{enumerate}
+        \item $\Beta(p, q) > 0$，且$\Beta(1, q) = \dfrac{1}{q}$；
+        \item $\Beta(p + 1, q) = \dfrac{x}{p + q} \Beta(p, q)$；
+        \item 给定$q > 0$，$\ln \Beta(p, q)$关于$x$在$(0, + \infty)$是凸函数。
+    \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+    对任意$p > 0$，$q > 0$，有
+    \[\Beta(p, q) = \frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p + q)}\eqper\]
+\end{theorem}
+
+\begin{corollary}
+    对任意的$p > 0, q > 0$，$\Beta$函数有如下性质：
+    \begin{enumerate}
+        \item $\Beta(p, q) = \Beta(q, p)$；
+        \item $\Beta(p + 1, q + 1) = \dfrac{pq}{(p + q + 1)(p + q)}B(p, q)$。
+    \end{enumerate}
+\end{corollary}