\chapter{函数及其连续性}
\section{映射的一般概念和性质}
\begin{definition}[映射]
    设$A \eqco B$是两个集合，如果$\forall x \in A \eqco \exists ! f(x) \in B$，则记$f: A \to B$，$f$称为由$A$到$B$的一个映射。集$A$称为定义域，$B$称为值域。
\end{definition}

\begin{definition}[满射]
    设$f: A \to B$。若$\forall y \in B \eqco \exists x \in A$满足$f(x) = y$（$x \in A$不必唯一），则称$f$是一个满射。
\end{definition}

\begin{definition}[单射]
    设$f: A \to B$。若$\forall x_1, x_2 \in A \eqco x_1 \neq x_2$必有$f(x_1) \neq f(x_2)$，则称$f$是一个单射。
\end{definition}

\begin{definition}[一一映射]
    设$f: A \to B$。如果$f$即是满射又是单射，则称$f$是双射（一一对应）。
\end{definition}

\begin{corollary}
    记$B_1 = \{f(x) \mid x \in A\}$，则$f: A \to B_1$是满射。

    又若$f: A \to B$是单射，则$f: A \to B_1$是双射。
\end{corollary}

\begin{definition}[像集]
    设$f: A \to B$。令$E \subset A$。记$f(E) = \{f(x) \mid x \in E\}$。$f(E)$称为$E$的像（集）。
\end{definition}

\begin{definition}[逆像]
    设$f: A \to B$。令$K \subset B$。记$f^{-1}(K) = \{x \in A \mid f(x) \in K\}$。$f^{-1}(K)$称为$K$的逆像（原像）。
\end{definition}

\begin{remark}
    原像可以是空集，如果映射不是满射的话。
\end{remark}

\begin{definition}[逆映射]
    设$f: A \to B$是单射，记$B_1 = f(A)$，则$\forall y \in B_1$，$\exists ! x \in A$满足$f(x) = y$。定义$f^{-1}(y) = x$，由此得到映射$f^{-1}: B_1 \to A$，成为$f$的逆映射。
\end{definition}

\begin{remark}
    仅当$f$为单射时，才能定义逆映射$f^{-1}: B_1 \to A$，否则$\exists y \in B_1$，$f^{-1}(y)$不唯一，不符合映射的定义。
\end{remark}

\begin{corollary}
    $f: A \to B$的逆映射$f^{-1}: B \to A$存在当且仅当$f$是双射时。
\end{corollary}

\begin{definition}[复合映射]
    设$g: A \to B$，$f: C \to D$，满足$g(A) \subset C$，则可以定义映射$f \circ g : A \to D$：$\forall x \in A$，$(f \circ g)(x) = f(g(x)) \in D$称为$f$与$g$的复合。
\end{definition}

\begin{theorem}
    设$f: A \to B$是双射，则逆映射$f^{-1}: B \to A$存在且$f(A) = B$，$f^{-1}(B) = A$，所以复合映射
    \[f \circ f^{-1}: B \to B \eqco f^{-1} \circ f: A \to A\]
    都存在，且二者分别是$B$与$A$上的恒等映射：
    \begin{equation*}
        \begin{aligned}
            \forall y \in B \eqco (f \circ f^{-1})(y) = y\\
            \forall x \in A \eqco (f^{-1} \circ f)(x) = x
        \end{aligned}
    \end{equation*}
\end{theorem}

\section{函数的表示、运算与性质}
\begin{definition}[函数]
    设$A$为实数集合，则$f: A \to \realnum$称为函数。$\forall x \in A$，$\exists ! f(x) \in \realnum$。称这里的实数$x$为自变量，$f(x)$称为函数值。
\end{definition}

\begin{definition}[函数的四则运算]
    设$f: A \to \realnum$，$g: B \to \realnum$，$D = A \cap B$非空，定义
    \begin{enumerate}
        \item $f \pm g : D \to \realnum$，$\forall x \in D$，$(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$
        \item $fg: D \to \realnum$，$\forall x \in D$，$(fg)(x) = f(x)g(x)$
        \item $f / g: D \to \realnum$，$\forall x \in D_0$，其中$D_0 = \{x \in D \vert g(x) \neq 0\}$，$(f/g)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[函数的复合运算]
    设$f: A \to \realnum$，$g:B \to \realnum$，$g(B) \subset A$，则得到的复合映射$f \circ g:B \to \realnum$也是一个函数，成为复合函数
    \[(f \circ g)(x) = f(g(x)) \eqco \forall x \in B\]
\end{definition}

\begin{definition}[单调函数]
    设$f: A \to \realnum$，$A \subset \realnum$
    \begin{itemize}
        \item 若$\forall x_1, x_2 \in A \eqco x_1 < x_2$时，$f(x_1) \leq f(x_2)$，则称$f$单调增；
        \item 若$\forall x_1, x_2 \in A \eqco x_1 < x_2$时，$f(x_1) \geq f(x_2)$，则称$f$单调减。
    \end{itemize}
    若上面的不等号时严格不等号，则称为严格单调。
\end{definition}

\begin{corollary}
    设$f: A \to \realnum$严格单调，记$f(A) = D$，则
    \begin{enumerate}
        \item $f^{-1}: D \to A$存在；
        \item $f^{-1}$也严格单调，且与$f$的增减性相同。
    \end{enumerate}
\end{corollary}

\section{基本初等函数}
基本初等函数有：
\begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
    \item 多项式函数（由常值函数和恒等函数的加乘运算生成）
    \[P(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n \eqco x \in \realnum\]
    其中$a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n \in \realnum$为常数。
    \item 幂函数
    \[f(x) = x^a \eqco x > 0\]
    特别当$a = n \in \naturalnum$时，$f(x) = x^n \eqco x \in \realnum$；

    当$a = -n , n \in \naturalnum$时，$f(x) = x^{-n} = \dfrac{1}{x^n} \eqco x \neq 0$；

    当$a = \dfrac{n}{m} \eqco m,n \in \integer$时，$f(x) = x^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{x^n} \eqco x > 0$。
    \item 指数函数
    
    令$a > 0$固定
    \[f(x) = a^x \eqco x \in \realnum\]
    \item 对数函数
    
    令$a > 0$且$a \neq 1$
    \[f(x) = \log_a x \eqco x > 0\]
    \item 三角函数
    \begin{equation*}
        \begin{aligned}
            f_1(x) = \sin x \eqco x \in \realnum\\
            f_2(x) = \cos x \eqco x \in \realnum
        \end{aligned}
    \end{equation*}
    \item 反三角函数
    \begin{equation*}
        \begin{aligned}
            f_1^{-1} = \arcsin x \eqco \vert x \vert < 1\\
            f_2^{-1} = \arccos x \eqco \vert x \vert < 1
        \end{aligned}
    \end{equation*}
\end{enumerate}

\section{函数的极限}
\begin{definition}[函数的极限]
    设函数$f$在点$x_0$附近有定义（除$x_0$以外）。$A \in \realnum$，若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使所有满足$0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$的$x$都有
    \[\vert f(x) - A \vert < \varepsilon \eqco\]
    则称当$x$趋于点$x_0$时$f(x)$的极限为$A$，或$f(x)$趋于$A$，记作
    \[\toxzero f(x) = A \eqco\]
    或记作
    \[f(x) \to A (x \to x_0) \eqper\]
\end{definition}

\begin{definition}[单侧极限]
    设函数$f$在点$x_0$附近有定义。则它的
    \begin{itemize}
        \item 右极限：$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当$0 < x - x_0 < \delta$时$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，记作$\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = A$或$f(x_0+) = A$。
        \item 左极限：$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得当$-\delta < x - x_0 < 0$时$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，记作$\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = A$或$f(x_0-) = A$。
    \end{itemize}
\end{definition}

\begin{corollary}
    $\toxzero f(x) = A$当且仅当$\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x) = \lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = A$。
\end{corollary}

\section{函数极限的性质}
函数极限的性质与数列极限的性质类似。
\begin{proposition}[唯一性]
    设$\toxzero f(x)$存在，则极限值唯一。
\end{proposition}

\begin{proposition}[有界性【局部】]
    设$\toxzero f(x) = A$，则$\exists \delta > 0$，使得
    \[\forall 0 < \vert x - x_0 \vert < \delta \eqco \vert f(x) \vert \leq 1 + \vert A \vert\]
    即在$x_0$附近（不包含$x_0$）$f(x_0)$有界。
\end{proposition}

\begin{proposition}[保号性]
    设$\toxzero f(x) = A$
    \begin{enumerate}
        \item 若在$x_0$附近（除去$x_0$）$f(x) \geq 0$，则$A \geq 0$。
        \item 若$A > 0$，则$\exists \delta > 0$，使得$0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$时$f(x) > 0$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proposition}[极限的四则运算]
    设$\toxzero f(x) = A$，$\toxzero g(x) = B$，则
    \begin{enumerate}
        \item $\toxzero [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$；
        \item $\toxzero f(x)g(x) = AB$；
        \item $\toxzero \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}$，只要$B \neq 0$。
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{corollary}[保序性]
    设$\toxzero f(x) = A$，$\toxzero g(x) = B$，则
    \begin{enumerate}
        \item 若在$x_0$附近（除去$x_0$之外）$f(x) \geq g(x)$，则$A \geq B$
        \item 若$A > B$，则$\exists \delta > 0$，使得$0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$时$f(x) > g(x)$。
    \end{enumerate}
\end{corollary}

\begin{theorem}[Heine定理：子列性质]\label{Heine定理}
    $\toxzero f(x) = A$的充要条件是：对任何数列\setname{x_n}满足$x_n \neq x_0$且$\toinf x_n = x_0$都有$\toinf f(x_n) = A$。
\end{theorem}

\begin{corollary}
    若有两数列\setname{x_n}，\setname{y_n}满足$x_n \neq x_0$，$y_n \neq x_0$且$\toinf x_n = x_0$，$\toinf f(x_n) = A$，以及$\toinf y_n = x_0$，$\toinf f(y_n) = B \neq A$则$\toxzero f(x)$不存在。
\end{corollary}

\begin{theorem}[夹逼原理]
    设在$x_0$附近$f \eqco g \eqco h$满足
    \[f(x) \leq g(x) \leq h(x)\]
    如果$\toxzero f(x) = \toxzero h(x) = A$，则$\toxzero g(x) = A$。
\end{theorem}

\begin{proof}
    证明$\toxzero g(x) = A$即证明$\forall x_n \to x_0 \eqco \toinf g(x_n) = A$。

    由定理\ref{Heine定理}和已知，$\toxzero f(x) = \toxzero h(x) = A$。得
    \[\forall x_n \to x_0 (n \to 0)\text{有} \toxzero f(x_n)  = \toxzero h(x_n) = A \eqper\]

    由已知$\exists \delta_0$，$\vert x - x_0 \vert < \delta_0$时$f(x) < g(x) < h(x)$。

    因此$\exists N \in \naturalnum$，$n > N$，$\vert x - x_0 \vert < \delta_0$，那么$f(x_n) < g(x_n) < h(x_n)$。

    由数列夹逼原理，$\toinf g(x_n) = A$，从而$\toxzero g(x) = A$。
\end{proof}

\begin{example}
    求证$\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$。
\end{example}

\begin{proof}
    考虑如下单位圆弧：
    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[scale=4]
            \draw[->] (-0.2,0) -- (1.2,0) node[right] {$x$};
            \draw[->] (0,-0.2) -- (0,1.2) node[above] {$y$};
            \draw (1,0) arc (0:90:1);
            \node[below] at(-0.15,0) {$O$};
            \node[below] (A) at(1,0) {$A$};
            \draw plot[domain=0:1] (\x,{1/sqrt(3)*\x}) node[above] (C) {$C$};
            \node[above] at(0.78,0.3) {$B$};
            \draw[densely dashed] ({sqrt(3)/2},{1/2})--({sqrt(3)/2},0) node[below] {$\cos x$};
            \draw[densely dashed] ({sqrt(3)/2},{1/2})--(0, {1/2}) node[left] {$\sin x$};
            \draw[densely dashed] (1, {1/sqrt(3)})--(0,{1/sqrt(3)}) node[left] {$\tan x$};
            \draw (1,{1/sqrt(3)})--(1,0);
        \end{tikzpicture}
    \end{center}

\begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
    \item $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$时，有
        \[S_{\triangle OAB} \leq S_{\text{扇形$OAB$}} \leq S_{\triangle OAC}\] 
        也即
        \[\frac{1}{2} \sin x \leq \frac{1}{2} x \leq \frac{1}{2} \tan x = \frac{1}{2} \frac{\sin x}{\cos x}\]
        这等价于
        \[\frac{\cos x}{\sin x} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{\sin x}\]
        因此
        \[\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1 \eqper\]
    \item $-\dfrac{\pi}{2} < x < 0$时，利用函数的奇偶性，有
        \[\cos x = \cos (-x) \leq \frac{\sin (-x)}{-x} = \frac{\sin x}{x} \leq 1 \eqper\]
\end{enumerate}

    综合起来即为当$0 < \vert x \vert < \dfrac{\pi}{2}$时，
    \[\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1\eqper\]

    上式结合三角公式及$0 < \vert \sin x \vert < \vert x \vert$有
    \[0 \leq 1 - \frac{\sin x}{x} \leq 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} \leq 2 \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}x^2\]
    整理得到
    \[0 \leq 1 - \frac{\sin x}{x} \leq 1 - \cos x \leq \frac{1}{2}x^2\]
    令$x \to 0^+$，得到
    \[\lim \limits_{x \to 0^+} \left(1 - \frac{\sin x }{x}\right) = \lim \limits_{x \to 0^+} (1 - \cos x) = 0\]
    所以
    \[\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]
    同时也得到
    \[\lim \limits_{x \to 0} \cos x = 1 \eqper \qedhere\]
\end{proof}

\begin{proposition}[单调收敛原理]
    \ \par
    \begin{enumerate}
        \item $f$在$(a,b)$上的单增有上界，则$\lim \limits_{x \to b^-} f(x) = \sup \limits_{a < x < b} f(x)$；
        \item $f$在$(a,b)$上的单减有下界，则$\lim \limits_{x \to b^-} f(x) = \inf \limits_{a < x < b} f(x)$；
        \item $f$在$(a,b)$上的单增有下界，则$\lim \limits_{x \to a^+} f(x) = \inf \limits_{a < x < b} f(x)$；
        \item $f$在$(a,b)$上的单减有上界，则$\lim \limits_{x \to a^+} f(x) = \sup \limits_{a < x < b} f(x)$
    \end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proof}
    只证（1）。$\{f(x) \vert x \in (a, b)\}$非空有上界，从而有上确界
    \[A = \sup \{f(x) \vert x \in (a, b)\} \eqper\]

    由上确界的定义，
    \[\forall \varepsilon > 0 \eqco \exists x_1 \in (a, b) \eqco \text{s.t. } f(x_1) > A - \varepsilon\]
    且
    \[f(x) \leq A \eqco \forall x \in (a, b) \eqper\]

    因为$f$单增，则$\forall x \in (x_1, b)$，有
    \[A - \varepsilon < f(x_1) \leq f(x) \leq A \eqper\]
    因此$\lim \limits_{x \to b^-} f(x) = A$。
\end{proof}

\begin{proposition}
    $(a, b)$上的单调函数在每一点处左右极限都存在。
\end{proposition}

\begin{proof}
    不妨设$f$在$(a,b)$上单增，$x_0 \in (a, b)$，往证$\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)$存在（同理可证$\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x)$存在）。

    $f$单增，$\{f(x) \vert x \in (a, x_0)\}$非空有上界$f(x_0)$，从而有上确界
    \[A = \sup \{f(x) \vert x \in (a, x_0)\} \eqper\]

    由上确界的定义，
    \[\forall \varepsilon > 0 \eqco \exists x_1 \in (a, x_0) \eqco \text{s.t. } f(x_1) > A - \varepsilon\]
    且
    \[f(x) \leq A \eqco \forall x \in (a, x_0)\]
    因为$f$单增，因此$\forall x \in (x_1, x_0)$，有
    \[A - \varepsilon < f(x_1) \leq f(x) \leq A \eqper\]
    因此$\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x) = A$。
\end{proof}

\begin{theorem}
    $f$在$U(x_0, \rho)$中有定义，则以下命题等价：
    \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
        \item （函数极限的Cauchy收敛原理）$\forall \varepsilon > 0 \eqco \exists \delta > 0 \eqco \forall x, y \in U(x_0, \delta)$，有$\vert f(x) - f(y) \vert < \varepsilon$；
        \item （Heine定理）$\exists A \in \realnum$，对$U(x_0, \rho)$中任意收敛到$x_0$的点列\setname{x_n}，有$\toinf f(x_n) = A$；
        \item $\toxzero f(x) = A$。
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
    先证（1）$\Rightarrow$（2）：

    设$x_n \in U(x_0, \rho)$，$\toinf x_n = x_0$。$\forall \varepsilon > 0$，由（1）
    \[\exists \delta > 0 \eqper \forall x, y \in U(x_0, \delta) \eqco \text{有} \vert f(x) - f(y) \vert < \varepsilon \eqper\]

    对此$\delta$，因为$\toinf x_n = x_0$，所以$\exists N \in \naturalnum$，使$\forall n > N$，$x_n \in U(x_0, \delta)$。

    那么$\forall m, n > N$，$x_m, x_n \in U(x_0, \delta)$，$\vert f(x_n) - f(x_m) \vert < \varepsilon$。因此\setname{f(x_n)}为Cauchy列，则\setname{f(x_n)}收敛，$\exists A \in \realnum$，满足$\toinf f(x_n) = A$。

    设$\toinf y_n = x_0$，同理$\toinf f(y_n) = B$。只要证$A = B$即可。构造点列\setname{z_n}：
    $\left\{
        \begin{aligned}
            &z_{2n-1} = x_n\\
            &z_{2n} = y_n
        \end{aligned}
    \right.$，
    则$\toinf z_n = x_0$，\setname{f(z_n)}收敛，且$A = \toinf f(z_{2n-1}) = \toinf f(z_n) = \toinf f(z_{2n}) = B$。

    再证（2）$\Rightarrow$（3）：
    设$\toxzero f(x) \neq A$。则$\exists \varepsilon_0 > 0$，$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n \in U\left(x_0, \dfrac{1}{n}\right)$满足
    \[\vert f(x_n) - A \vert > \varepsilon_0 \eqper\]
    此时，$\toinf x_n = x_0$，但$\toinf f(x_n) \neq A$，与（2）矛盾。

    （3）$\Rightarrow$（1）由定义即可得证。
\end{proof}

\begin{remark}
    若$\toinf x_n = \toinf y_n = x_0$则
    \begin{itemize}
        \item $\toinf f(x_n) = A \neq B = \toinf f(y_n) \Rightarrow \toxzero f(x)$不存在；
        \item $\toinf f(x_n)$不存在$\Rightarrow$ $\toxzero f(x)$不存在。
    \end{itemize}
\end{remark}

\begin{theorem}
    $\toxzero u(x) = a$，$\toxzero v(x) = b$，$a^b$有意义，则$\toxzero u(x)^{v(x)} = a^b$。
\end{theorem}

\begin{proof}
    \begin{equation*}
        \toxzero u(x)^{v(x)} = \toxzero e^{v(x) \ln u(x)} = e^{\toxzero \left(v(x) \ln u(x)\right)} = e^{\toxzero v(x) \cdot \toxzero \ln u(x)} = e^{b \ln a} = a^b \eqper \qedhere
    \end{equation*}
\end{proof}

\section{复合函数极限}
\begin{proposition}[复合函数极限]
    设$\toxzero f(x) = A$，$\lim \limits_{t \to t_0} g(t) = x_0$并且满足附加条件：$f(x_0) = A$，或者在$t = t_0$附近（$t = t_0$除外）$g(t) \neq x_0$，这时复合函数有极限$\lim \limits_{t \to t_0} f(g(t)) = A$。
\end{proposition}

\section{无穷远处的极限}
\begin{definition}[无穷远处的极限]
    \ \par
    \begin{enumerate}
        \item 设$f: (a, +\infty) \to \realnum$，记$\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = A$，如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists M > 0$，使得$\forall x > M$都有$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，称$x$趋于正无穷时$f(x)$趋向于$A$。
        \item 设$f: (-\infty, a) \to \realnum$，记$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = A$，如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists M > 0$，使得$\forall x < -M$都有$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，称$x$趋于负无穷时$f(x)$趋向于$A$。
        \item 设$\vert x \vert$充分大时$f(x)$有定义，记$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = A$，如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists M > 0$，使得$\forall \vert x \vert > M$都有$\vert f(x) - A \vert < \varepsilon$，称$x$趋于无穷时$f(x)$趋向于$A$。
    \end{enumerate}
\end{definition}

无穷远处的极限的性质与$x$趋于$x_0$时的极限类似，无穷远处的极限也有相应性质：唯一性、有界性、保号/保序性、四则运算性质、子列性质、Cauchy收敛原理、夹逼原理等。

无穷远处的复合函数的极限：
\begin{proposition}
    如果$\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = A$，$\lim \limits_{t \to t_0} g(t) = + \infty$，则$\lim \limits_{t \to t_0} f(g(t)) = A$。
\end{proposition}

类似于单/双侧极限的关系，无穷远处极限也有同样的性质
\begin{proposition}
    $\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = A \Leftrightarrow \lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = A$。
\end{proposition}

\section{无穷大与无穷小}
\begin{definition}[无穷大量]
    设函数$f$在$x_0$附近有定义（$x_0$除外），如果$\forall M > 0$，$\exists \delta > 0$，使得$\forall 0 < \vert x - x_0 \vert < \delta$都有
    \begin{enumerate}
        \item $f(x) > M$，则称$x \to x_0$时$f(x) \to +\infty$，记为$\toxzero f(x) = +\infty$；
        \item $f(x) < -M$，则称$x \to x_0$时$f(x) \to -\infty$，记为$\toxzero f(x) = -\infty$；
        \item $\vert f(x) \vert > M$，则称$x \to x_0$时$f(x) \to \infty$，记为$\toxzero f(x) = \infty$。
    \end{enumerate}
    以上情况称$x \to x_0$时$f(x)$为无穷大量。
\end{definition}

\begin{definition}[无穷小量]
    若$\toxzero f(x) = 0$，则称$x \to x_0$时$f(x)$为无穷小量。
\end{definition}

\begin{remark}
    在其它极限过程（$x \to x_0^\pm, x \to \pm \infty$）中可以类似地定义无穷大/小量。
\end{remark}

\begin{corollary}
    在同一极限过程中$f(x)$为无穷大量$\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{f(x)}$为无穷小量。
\end{corollary}

\subsection{无穷小量的比较}
\subsubsection{无穷小量的比较与无穷小量的阶}
\begin{definition}
    设$f(x)$与$g(x)$都是在同一极限过程$x \to \Theta$中的无穷小量。
    \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
        \item 如果$\lim \limits_{x \to \Theta} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$，则称$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小量；
        \item 如果$\lim \limits_{x \to \Theta} \dfrac{f(x)}{g(x)} = c \neq 0$，则称$f(x)$与$g(x)$是同阶无穷小量。
    \end{enumerate}
    特别当$c=1$时，称$f(x)$与$g(x)$是等价无穷小量，记为
    \[f(x) \sim g(x) (x \to \Theta)\eqper\]
\end{definition}

\begin{definition}[无穷小的阶]
    令$a > 0$，若$\lim \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{(x - x_0)^a} = c \neq 0$，则称$f(x)$为$a$阶无穷小（$x \to x_0$时）。
\end{definition}

\begin{definition}
    设函数$f$与$g$在$x_0$近旁（$x_0$除外）有定义，并且$g(x) \neq 0$。
    \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
        \item 当$x \to x_0$时，若比值$\dfrac{f(x)}{g(x)}$保持有界，即存在正常数$M$，使得$\abs{f(x)} \leq M \abs{g(x)}$成立，就用$f(x) = O(g(x))\ (x \to x_0)$表示。
        \item 当$x \to x_0$时，若比值$\dfrac{f(x)}{g(x)}$是一个无穷小，即
            \[\lim \limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0\]
            时，就用$f(x) = o(g(x))\ (x \to x_0)$来表示。
    \end{enumerate}
\end{definition}

\subsubsection{几个重要的的等价无穷小}
\begin{enumerate}
    \item $x \sim \sin x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x \sim e^x - 1 \sim \ln (1 + x)\ (x \to 0)$
    \item $(1 + x)^a \sim ax\ (x \to 0), a \in \realnum$
    \item $1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}\ (x \to 0)$
\end{enumerate}

\subsubsection{等价无穷小代换}
\begin{proposition}
    设$f(x) \sim g(x)\ (x \to \Theta)$即$\lim \limits_{x \to \Theta} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$，考虑
    \[f(x)h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x)h(x)\]
    应用极限的四则运算性质有
    \[\lim \limits_{x \to \Theta} f(x)h(x) = \lim \limits_{x \to \Theta} g(x)h(x)\eqper\]
\end{proposition}
\begin{remark}
    只有乘除因子才可以做等价无穷小代换。
\end{remark}

\subsubsection{无穷小的计算}
\begin{enumerate}
    \item $o(f) + o(f) = o(f)$
    \item $o(f) + O(f) = O(f)$
    \item $O(f) + O(f) = O(f)$
    \item $\dfrac{o(f)}{g} = o\left(\dfrac{f}{g}\right), \dfrac{O(f)}{g} = O\left(\dfrac{f}{g}\right), g \neq 0$
\end{enumerate}

\subsection{无穷大量的比较}
\begin{definition}
    设$f(x)$与$g(x)$都是在同一极限过程$x \to \Theta$中的无穷大量。
    \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
        \item 如果$\lim \limits_{x \to \Theta} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$，则称$g(x)$是$f(x)$的高阶无穷大量；
        \item 如果$\lim \limits_{x \to \Theta} \dfrac{f(x)}{g(x)} = c \neq 0$，则称$f(x)$与$g(x)$是同阶无穷大量。
    \end{enumerate}
\end{definition}

\section{连续函数的概念与实例}
\begin{definition}[连续函数]
    设函数$f$在$x_0$附近有定义（包括$x = x_0$）。如果
    \[\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]
    则称$f$在$x_0$连续，也即
    \[\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{使得}0 < \vert x - x_0 \vert < \delta \text{时} \vert f(x) - f(x_0) \vert < \varepsilon\]

    否则称$f$在$x_0$间断（不连续）。
\end{definition}

\begin{remark}
    函数$f$在$x_0$连续也等价于$f(x) = f(x_0) + \alpha(x)$，其中$\alpha(x)$满足$\tolim{x}{x_0} \alpha(x) = 0$。
\end{remark}

\begin{definition}[单侧连续]
    如果$f(x_0+) = f(x_0)$，则称函数$f$在$x_0$处右连续；如果$f(x_0-) = f(x_0)$，则称函数$f$在$x_0$处左连续。
\end{definition}

\begin{corollary}
    $f$在$x_0$连续当且仅当$f$在$x_0$左右都连续。
\end{corollary}

\subsection{连续函数的运算}
\begin{theorem}[四则运算]
    设函数$f$和$g$在$x_0$连续，则$f \pm g$和$fg$也在$x_0$连续。又若$g(x_0) \neq 0$，则$\dfrac{f}{g}$也在$x_0$连续。
\end{theorem}

\begin{theorem}[复合运算]
    设函数$g(t)$在$t_0$连续，$f(x)$在$x_0 = g(t_0)$连续，则复合函数$(f \circ g)(t)$在$t_0$连续，也即
    \[\lim \limits_{t \to t_0} f(g(t)) = f(g(t_0)) = f(x_0) \eqper\]
\end{theorem}

\begin{remark}
    连续函数与连续函数的复合是连续函数。
\end{remark}

\begin{definition}
    令$a < b$（包括$a = -\infty$，或$b = +\infty$），记
    \[C(a,b) = \{f:(a,b) \to \realnum \vert f(x)\text{在}(a,b)\text{内处处连续}\}\eqco\]
    记
    \[C[a,b] = \{f:[a,b] \to \realnum \vert f(x)\text{在}(a,b)\text{内处处连续，且在}x=a\text{右连续，在}x=b\text{左连续}\}\eqper\]
\end{definition}

\begin{proposition}
    $C(a,b)$与$C[a,b]$都是线性空间，即
    \[\forall f, g \in C(a,b), \forall \alpha, \beta \in \realnum, \alpha f + \beta g \in C(a,b)\]
    \[\forall f, g \in C[a,b], \forall \alpha, \beta \in \realnum, \alpha f + \beta g \in C[a,b]\]
\end{proposition}

\subsection{反函数的连续性}
\begin{theorem}
    令$i$是一个区间，设$f \in C(I)$严格单调，则反函数$\invertfunc{f}$在$J = f(I)$上处处连续且严格单调。
\end{theorem}

\begin{proof}
    首先，$f$的连续性可以导出$J$是一个区间（介值性质）。其次，反函数的严格单调容易验证，下面证明在$J$上处处连续：

    任取$y_0 \in J$，则$\invertfunc{f}(y_0) = x_0 \in I$，也即$y_0 = f(x_0)$。$\forall \varepsilon > 0$，要使$\vert \invertfunc{f}(y) - \invertfunc{y_0} \vert < \varepsilon$，也即
    \[\invertfunc{f}(y_0) - \varepsilon < \invertfunc{f}(y) < \invertfunc{f}(y_0) + \varepsilon\]
    或写成
    \[x_0 - \varepsilon < \invertfunc{f}y < x_0 + \varepsilon\]
    不妨令$f$严格增，则上式等价于
    \[f(x_0 - \varepsilon) < y = f(x_0) < f(x_0 + \varepsilon)\]
    可见只要$y$距离$y_0$不太远即可满足要求。取$\delta > 0$，使得
    \[f(x_0 - \varepsilon) \leq y_0 - \delta < y_0 + \delta \leq f(x_0 + \varepsilon)\]
    当$\vert y - y_0 \vert < \delta$时，
    \[f(x_0 - \varepsilon) \leq y_0 - \delta < y < y_0 + \delta \leq f(x_0 + \varepsilon)\]
    从而
    \[\invertfunc{f}(y_0) - \varepsilon < \invertfunc{f}(y) < \invertfunc{f}(y_0) + \varepsilon\]
    这说明$\vert y - y_0 \vert < \delta$时，$\vert \invertfunc{f}(y) - \invertfunc{f}(y_0) \vert < \varepsilon$。
\end{proof}

\begin{corollary}
    反三角函数$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$在定义域中都是连续函数。
\end{corollary}

\subsection{初等函数的连续性}
\begin{proposition}
    $e^x$处处连续。
\end{proposition}

\begin{proof}
    对任意的$x_0$，有$e^x = e^{x_0}e^{x-x_0}$。由极限运算的性质得
    \[\tolim{x}{x_0}e^x = e^{x_0} \tolim{x}{x_0}e^{x-x_0} = e^{x_0}\tolim{t}{0}e^t\]
    注意有
    \[\toinf e^{1/n} = 1\]
    因此$\forall \varepsilon > 0$，可取$n_0 \in \naturalnum$，使得$\forall n > n_0$有$\vert e^{1/n} - 1 \vert < \varepsilon$。再令$\vert t \vert < \dfrac{1}{n_0 + 1}$，有$\vert e^t - 1 \vert \leq \vert e^{\frac{1}{n_0 + 1}} - 1 \vert < \varepsilon$。

    这说明$\tolim{x}{x_0} e^x = e^{x_0}$，$e^x$在$x_0$处连续。
\end{proof}

\begin{corollary}
    令$a > 0$且$a \neq 1$，则$a^x \in C(\realnum)$，$\log_a x \in C(\realnum_+)$。
\end{corollary}

\begin{corollary}
    对任意$a \in \realnum$，一般幂函数$x^a = e^{a\ln x} \in C(\realnum_+)$。
\end{corollary}

\begin{theorem}
    初等函数在其定义域内都是连续的，在定义域边界单侧连续。
\end{theorem}

\section{连续与间断}
$f(x)$在$x_0$处不连续称为间断。

\begin{definition}
    间断点可以分类为：
    \begin{itemize}
        \item 第一类间断
        \begin{itemize}
            \item 可去间断点：$f(x_0-) = f(x_0+) \neq f(x_0)$或$f(x_0)$无定义。
            \item 跳跃间断点：$f(x_0-)$与$f(x_0+)$都存在但不相等。
        \end{itemize}
        \item 第二类间断：$f(x_0-)$与$f(x_0)$至少有一个不存在。
    \end{itemize}
\end{definition}

\begin{remark}
    可去间断点常常被看作连续，因为只需重新定义$f(x_0)$。
\end{remark}

\begin{example}
    $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，$x \neq 0$。
\end{example}
$x = 0$为可去间断点，补充定义$f(0) = 1$，则$f$在$x=0$连续。

\begin{example}
    $f(x) = \sgn (x)$。
\end{example}
$x = 0$为跳跃间断点：$\sgn(0-) = -1$，$\sgn(0+) = 1$，$\sgn(0) = 0$。

\begin{example}
    $f(x) = xD(x)$，$D(x)$为Dirichlet函数。
\end{example}

首先，$\tolim{x}{0} f(x) = \tolim{x}{0} xD(x) = 0 = f(0)$，因此$f$在$x=0$连续；当$x_0 \neq 0$时，$D(x) = \dfrac{f(x)}{x}$，而$\tolim{x}{x_0} D(x)$处处不存在。从而$\tolim{x}{x_0}f(x)$不存在。因此$x_0 \neq 0$是$f$的第二类间断点。

\begin{example}
    $f(x) = \sin \dfrac{1}{x}$，$x \neq 0$。
\end{example}
$x = 0$是$f$的第二类间断点。

\section{一致连续性}
\begin{definition}
    令$f: I \to \realnum$，$I$是一个区间（开、闭、半开半闭、有界、无界均可），如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得
    \[\forall x^\prime, x^{\prime \prime} \in I\text{只要满足} \vert x^\prime - x^{\prime \prime} \vert < \delta \text{都有}\vert f(x^\prime) - f(x^{\prime \prime}) \vert < \varepsilon\]
    则称$f$在$I$上一致连续。
\end{definition}

\begin{corollary}
    若$f$在$I$上一致连续，则$\forall x_0 \in I$，$f$在$x_0$连续，进而$f \in C(I)$。
\end{corollary}

\begin{remark}
    函数$f$在$E$上已知连续等价于：对$E$中任何两个数列\setname{x_n}，\setname{y_n}，只要$\toinf (x_n - y_n) = 0$，就有$\toinf f(x_n) - f(y_n) = 0$。
\end{remark}

否定一致连续：函数$f$在$I$上不一致连续，如果$\exists \varepsilon_0 > 0$，以及收敛于0的数列\setname{a_n}使得$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n^\prime, x_n^{\prime \prime}$满足$\vert x_n^\prime - x_n^{\prime \prime} \vert < a_n$，但$\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert \geq \varepsilon_0$。

还可以这样理解一致连续性：对于一个给定的$\varepsilon$，随着$x_0$在$I$内的变化，能够满足对任意的$x \in U(x_0, \delta)$中$\vert f(x) - f(x_0) \vert < \varepsilon$的$\delta$（即满足在$x_0$一点连续的$\delta$）也是会随着$x_0$变化的。如果不论$x_0$在$I$内怎么变化，$\delta$都不会是无穷小，那么我们就可以找所有$\delta$中的最小的那个，使得它一致连续；相反，如果$\delta$需要随着$x_0$逼近某个值变成无穷小，那么他就不能一致连续了，因此我们找不到一个统一的$\delta$同时满足所有$x_0$的要求。

\begin{example}
    验证$f(x) = \dfrac{1}{x}$在区间$I = (0, 1)$上不一致连续。
\end{example}

\begin{proof}[解]
    任取$x^\prime, x^{\prime \prime} \in I$，考虑
    \[\vert f(x^\prime) - f(x^{\prime \prime}) \vert = \left| \frac{1}{x^\prime} - \frac{1}{x^{\prime \prime}} \right| = \frac{\vert x^\prime - x^{\prime \prime} \vert}{x^\prime x^{\prime \prime}}\]
    注意到如果取$\vert x_n^\prime - x_n^{\prime \prime} \vert = \dfrac{1}{2n}$，$x_n^\prime x_n^{\prime \prime} = \dfrac{1}{2n^2}$，$n = 1, 2, \cdots$，则
    \[\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert = n > 1\]
    为此只要选取$x_n^\prime = \dfrac{1}{n}$，$x_n^{\prime \prime} = \dfrac{1}{n}$，$n = 1, 2, \cdots$此时$\vert x_n^\prime - x_n^{\prime \prime} \vert$可以任意小，但是同时$\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert$可以任意大，因此不论怎么取$\delta$总有$x_n^\prime, x_n^{\prime \prime}$使得$\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert$比给定的$\varepsilon$大。

    这说明$f$在$I$上不一致连续。
\end{proof}

\section{有界闭区间上连续函数的性质}
\begin{theorem}[一致连续性]
    设$f \in C[a, b]$，则$f$在$[a, b]$上一致连续。
\end{theorem}

\begin{proof}
    反证法：若不然，则$\exists \varepsilon_0 > 0$及收敛于0的数列\setname{a_n}使得$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n^\prime, x_n^{\prime \prime} \in [a, b]$满足$\vert x_n^\prime - x_n^{\prime \prime} \vert < a_n$，但$\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert \geq \varepsilon_0$。

    由Bolzano-Weierstrass列紧性原理（引理\ref{Bolzano-Weierstrass列紧性原理}），存在\setname{x_n^\prime}的收敛子列\[\{x_{k_n}^\prime\} \to x^\ast \in [a, b]\]
    注意到$\vert x_{k_n}^{\prime \prime} - x^\ast \vert \leq \vert x_{k_n}^{\prime \prime} - x_{k_n}^{\prime} \vert + \vert x_{k_n}^{\prime} - x^\ast \vert \leq a_{k_n} + \vert x_{k_n}^{\prime} - x^\ast \vert \to 0$即$\{x_{k_n}^{\prime \prime}\} \to x^\ast$

    那么有两个子列\setname{x_{k_n}^{\prime}}与\setname{x_{k_n}^{\prime}}都收敛于$x^\ast$，并且满足
    \begin{equation}\tag{$\ast$}\label{闭区间一致连续1}
        \vert f(x_{k_n}^{\prime}) - f(x_{k_n}^{\prime}) \vert \geq \varepsilon_0
    \end{equation}
    由$f$的连续性有$\tolim{x}{x^\ast} f(x) = f(x^\ast)$。因此
    \[\tolim{n}{\infty}f(x_{k_n}^{\prime}) = \tolim{n}{\infty}f(x_{k_n}^{\prime \prime}) = f(x^\ast)\]
    这与\eqref{闭区间一致连续1}式矛盾。

    从而$f$在$[a, b]$上一致连续。
\end{proof}

\begin{theorem}[有界性质]
    设$f \in C[a, b]$，则$f$在$[a, b]$上有界。
\end{theorem}

\begin{proof}
    反证法。假设$f$在$[a,b]$上无界，则$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n \in [a, b]$，使得$\vert f(x_n) \vert > n$。

    再用Bolzano-Weierstrass列紧性原理，\setname{x_n}存在收敛子列$\{x_{k_n}\} \to x^\ast \in [a, b]$。

    根据$f$的连续性，$\toinf f(x_{k_n}) = f(x^\ast)$，但是由上面的性质$\vert f(x_{k_n}) \vert > k_n$，$n = 1, 2, \cdots$。这个矛盾说明$f$必在$[a, b]$上有界。
\end{proof}

\begin{theorem}[最值可达]
    设$f \in C[a, b]$，则$\exists \underline{x}, \overline{x} \in [a, b]$使得
    \[f(\underline{x}) \leq f(x) \leq f(\overline{x}), \forall x \in [a, b]\eqper\]
\end{theorem}

\begin{proof}
    已知$f$在$[a, b]$上有界，由确界原理，存在
    \[M = \sup \limits_{a \leq x \leq b} f(x)\eqco m = \inf \limits_{a \leq x \leq b} f(x)\]
    那么$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n \in [a, b]$使得
    \[M - \frac{1}{n} < f(x_n) \leq M\]
    取\setname{x_n}的收敛子列\setname{x_{k_n}}，设其收敛到$\overline{x} \in [a, b]$，则
    \[M - \frac{1}{k_n} < f(x_{k_n}) \leq M\]
    再用夹逼原理和函数连续性有
    \[f(\overline{x}) = f(\toinf x_{k_n}) = \toinf f(x_{k_n}) = M\]

    同理可证$\exists \underline{x} \in [a, b]$，使得$f(\underline{x}) = m$。
\end{proof}

\begin{theorem}[介值定理]
    设$f \in C[a, b]$，且$f(a) \neq f(b)$。若实数$\lambda$介于$f(a)$与$f(b)$之间，则$\exists c \in (a, b)$使得$f(c) = \lambda$。
\end{theorem}

\begin{proof}
    先考虑特例$f(a) < 0 < f(b)$，要证$\exists c \in (a, b)$，$f(c) = 0$。

    记$a_1 = a, b_1 = b, c_1 = \dfrac{a + b}{2}$。

    这时$f(a_1) < 0 < f(b_1)$，检查$f(c_1)$与0的关系：
    若$f(c_1) = 0$，$c = c_1$，证明完毕；
    若$f(c_1) < 0$，令$a_2 = c_1, b_2 = b_1, c_2 = \dfrac{a_2 + b_2}{2}$；
    若$f(c_1) > 0$，令$a_2 = a_1, b_2 = c_1, c_2 = \dfrac{a_2 + b_2}{2}$。
    这时还有$f(a_2) < 0 < f(b_2)$，可以继续操作。

    如此不断操作，除非找到$c_n$满足$f(c_n) = 0$，否则可以得到两个单调数列\setname{a_n}和\setname{b_n}满足
    \[a_n \leq a_{n+1} < b_{n+1} \leq b_n, b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{b-a}{2^n}\]
    且
    \[f(a_n) < 0 < f(b_n), n = 1, 2, \cdots\]

    由单调性原理
    \[\toinf a_n = c = \toinf b_n \in (a, b)\]
    再由函数连续性
    \[\toinf f(a_n) = f(c) = \toinf f(b_n)\]
    由极限保序性
    \[\toinf f(a_n) \leq 0 \leq \toinf f(b_n)\]
    因此$f(c) = 0$。

    对于一般情况，不妨设$f(a) < \lambda < f(b)$。那么设
    \[F(x) = f(x) - \lambda \in C[a, b]\]
    则
    \[F(a) < 0 < F(b)\]
    那么$\exists c \in (a, b)$使得$F(c) = 0$，即$f(c) = \lambda$。
\end{proof}

\begin{corollary}[零点性质]
    这是介值定理的特例。设$f \in C[a, b]$，若$f(a)f(b) < 0$，则$\exists c \in (a, b)$，使得$f(c) = 0$。
\end{corollary}

\begin{corollary}
    设$f \in C[0, 1]$，则$f([a,b])$是一个闭区间。
\end{corollary}

\begin{proof}
    首先，$f([a, b])$的最值一定可达，设达到最大最小值时自变量为$\overline{x}, \underline{x}$。对任何$y$满足$f(\underline{x}) < y < f(\overline{x})$，由介值定理一定存在$x \in [\min \{\underline{x}, \overline{x}\}, \max \{\underline{x}, \overline{x}\}]$使$f(x) = y$因此$f([a, b])$是一个闭区间。
\end{proof}

\begin{example}
    设$f \in C[0, 1]$且$f(0) = f(1)$。求证：$\exists c \in (0, 1)$，使$f(c) = f(c = \dfrac{1}{2})$。
\end{example}

\begin{proof}
    考虑函数$F(x) = f(x + \dfrac{1}{2}) - f(x) \in C \left[0, \dfrac{1}{2}\right]$，则$F(0) = f\left(\dfrac{1}{2}\right) - f(0)$，$F\left(\dfrac{1}{2}\right) = f(1) - f \left(\dfrac{1}{2}\right) = -F(0)$。

    因此，$F(0)F\left(\dfrac{1}{2}\right) \leq 0$。若$F(0) = 0$或$F\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0$，则得证；若$F(0)F\left(\dfrac{1}{2}\right) < 0$，那么两点异号，必存在$x_0 \in \left[0, \dfrac{1}{2}\right]$使得$F\left(x_0\right) = 0$。
\end{proof}

\begin{proposition}
    $(a, b)$上的单调函数的间断点都是跳跃间断点。
\end{proposition}

\begin{proof}
    设$f(a, b)$上单增，$x_0 \in (a, b)$为$f$的间断点。由于单调函数在每一点处的左右极限都存在，必有
    \[\tolim{x}{x_0^-} f(x) \neq f(x_0)\text{或} \tolim{x}{x_0^+} f(x) \neq f(x_0)\]
    $f$单增，由函数极限的保序性，有
    \[\tolim{x}{x_0^-}f(x) \leq f(x_0) \eqco \tolim{x}{x_0^+} f(x) \geq f(x_0)\]
    两个不等号不能同时取到，因此必定有
    \[\tolim{x}{x_0^-}f(x) < \tolim{x}{x_0^+} f(x)\]
    故$x_0$为跳跃间断点。
\end{proof}

\begin{theorem}[Weierstrass第一逼近定理]\label{Weierstrass第一逼近定理}
    $f \in C[a, b]$，则$\forall \varepsilon > 0$，存在多项式$P(x)$，满足
    \[\forall x \in [a, b] \eqco \vert f(x) - P(x) \vert < \varepsilon \eqper\]
\end{theorem}

\begin{proof}
    不失一般性可设$[a, b] = [0, 1]$。

    记$X = C[0, 1]$，$Y$为$[0,1]$上多项式构成的集合，定义映射
    \begin{align*}
        B_n: X & \to Y\\
        g(t) & \mapsto B_n(g)(x) = \sum_{k=0}^n g\left(\frac{k}{n}\right)C_n^k x^k (1-x)^{n-k}
    \end{align*}
    $B_n(g)$是$g \in X$在映射$B_n$下的像，$B_n(g)(x)$是以$x$为自变量的$n$次多项式，称为Bernstein多项式。

    映射$B_n$有如下性质：
    \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
        \item $B_n$是线性映射，即对任意的$g, h \in X$，$\forall \alpha, \beta \in \realnum$，有
        \[B_n(\alpha g + \beta h) = \alpha B_n(g) + \beta B_n(h) \eqper\]
        \item $B_n$具有单调性，即$g, h \in X, g \leq h$，有$B_n(g) \leq B_n(h)$。
        \item $B_n(1)(x) = 1, B_n(t)(x) = x, B_n(t^2)(x) = x^2 + \dfrac{x - x^2}{n}$。
    \end{enumerate}

    那么根据这些性质，给定$s \in [0,1]$，函数$(t-s)^2$在$B_n$映射下的像为
    \begin{align*}
        B_n\left((t-s)^2\right)(x) & = B_n\left(t^2\right)(x) - 2sB_n(t) + s^2B_n(1)(x)\\
        & = x^2 + \frac{x-x^2}{n} - 2sx + s^2\\
        & = \frac{x-x^2}{n} + (x-s)^2 \eqper
    \end{align*}

    现在我们可以利用$B_n$完成证明。
    
    首先，对$f \in C[0,1]$，有$f$在$[0,1]$上一致连续，即$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得
    \[\forall \vert t - s \vert < \delta \eqco t, s \in [0,1] \eqco \vert f(t) - f(s) \vert < \frac{\varepsilon}{2}\eqper\]

    其次，$f$在$[0,1]$上有界，即$\exists M > 0$，使得$\forall t \in [0, 1]$，$\vert f(t) \vert < M$。那么有
    \[\forall \vert t - s \vert \geq \delta \eqco t, s  \in [0, 1] \eqco \vert f(t) - f(s) \vert < 2M \leq \frac{2M}{\delta^2}(t-s)^2\eqper\]

    注意上面两部分分别考虑了$\vert t - s \vert < \delta$和$\vert t - s \vert \geq \delta$两种情况时的放缩。因此将他们综合起来，有
    \[\forall t,s \in [0,1]\eqco -\frac{\varepsilon}{2}-\frac{2M}{\delta^2}(t-s)^2 < f(t) - f(s) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{2M}{\delta^2}(t-s)^2\]
    对于任意给定的$s \in [0,1]$，将$t$看作自变量，由$B_n$的单调性，有
    \[-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{2M}{\delta^2}\left[\frac{x-x^2}{n} + (x-s)^2\right] < B_n(f)(x) - f(s) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{2M}{\delta^2}\left[\frac{x-x^2}{n} + (x-s)^2\right]\]

    令$s = x$得
    \[\vert B_n(f)(x) - f(x) \vert \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{2M}{n\delta^2}\left(x-x^2\right) \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{M}{2n\delta^2}\eqco \forall x \in [0,1]\]
    任意取定$n > \dfrac{M}{\delta^2 \varepsilon}$，有
    \[\vert B_n(f)(x) - f(x) \vert = \left|\sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right)C_n^k x^k (1-x)^{n-k} - f(x)\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \eqco x \in [0,1]\eqper \qedhere\]
\end{proof}

\begin{remark}
    \begin{enumerate}
        \item 单调函数只可能有第一类间断点。
        \item 如果函数单调，则$f$连续当且仅当$f([a,b])$是一个以$f(a)$和$f(b)$为端点得区间。
        \item 单调函数的间断点的集合至多为可数。
    \end{enumerate}
\end{remark}