\chapter{微分方程}
\section{基本概念}
\begin{definition}
    含有未知函数的导数的方程称为微分方程。

    未知函数是一元函数，含有未知函数的导数的微分方程称为常微分方程，例如：
    \[\frac{\dif^2 \theta}{\dif t^2} + \frac{\mu}{m} \frac{\dif \theta}{\dif t} + \frac{g}{l} \theta = 0\text{；}\]

    未知函数是多元函数，含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程。
\end{definition}

\begin{definition}[微分方程的阶]
    未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。$n$阶微分方程的一般形式为
    \begin{equation}\label{n阶微分方程一般形式}
        F\left(x, y, \frac{\dif y}{x}, \dots, \frac{\dif^n y}{\dif x^n}\right) = 0\eqper
    \end{equation}
\end{definition}

\begin{definition}[线性与非线性]
    未知函数及其各阶导数都是一次方幂的微分方程称为线性微分方程。$n$阶线性常微分方程的一般形式为
    \[a_0(x) \frac{\dif^n y}{\dif x^n} + a_1(x) \frac{\dif^{n-1} y}{\dif x^{n-1}} + \dots + a_{n-1}(x) \frac{\dif y}{\dif x} + a_n(x)y = f(x)\eqper\]
    不是线性方程的微分方程称为非线性微分方程。
\end{definition}

\begin{definition}[微分方程的解]
    如果把函数$y = y(x)$带入方程\eqref{n阶微分方程一般形式}使方程成为恒等式，则称函数$y = y(x)$是微分方程\eqref{n阶微分方程一般形式}的一个解。

    $n$阶微分方程\eqref{n阶微分方程一般形式}的包含$n$个独立的任意常数的解$y = f(x, C_1, \dots, C_n)$称为微分方程的通解。

    通解有时也写成隐式形式
    \[\Phi[x, y(x), C_1, C_2, \dots, C_n] = 0\]
    称为微分方程的通积分。

    一个常微分方程的满足定解条件的解称为微分方程的特解。$n$解微分方程需要有$n$个定解条件。
    \[\begin{cases}
        F\left(x, y, \frac{\dif y}{\dif x}, \dots, \frac{\dif^n y}{\dif x^n}\right) = 0\\
        \eval{y}_{x=x_0} = y_0\\
        \eval{\dfrac{\dif y}{\dif x}}_{x = x_0} = y_1\\
        \cdots\\
        \eval{\dfrac{\dif^{n-1} y}{\dif x^{n-1}}}_{x = x_0} = y_{n-1}
    \end{cases}\]
\end{definition}

\begin{definition}[积分曲线与积分曲线族]
    常微分方程的每一个解都是一个一元函数$y = f(x)$或是$F(x, y) = 0$的隐式解，它的图形称为该常微分方程的一条积分曲线。

    通解$y = f(x, C)$对应于$xy$平面上的一族曲线，称为积分曲线族。
\end{definition}

\begin{theorem}[解的存在唯一性定理]
    考察一阶常微分方程的初值问题：
    \[\begin{cases}
        \dfrac{\dif y}{\dif x} = f(x, y)\\
        y(x_0) = y_0
    \end{cases}\]
    设函数$f(x, y)$在以点$(x_0, y_0)$为中心的某个矩形
    \[D = \{(x, y) \mid \abs{x - x_0} \leq a, \abs{y - y_0} \leq b\}\]
    中连续，并且关于变元$y$满足李普希兹（Lipschitz）条件：存在正数$L$，使得对于矩形中任意两点$(x, y_1), (x, y_2)$，都有
    \[\abs{f(x, y_1) - f(x,y_2)} \leq L\abs{y_1 - y_2}\]
    则存在正数$h$，使得初值问题在区间$[x_0 - h, x_0 + h]$上存在唯一的解$y = y(x)$，其中\[h = \min\left\{a, \frac{b}{M}\right\}, M = \max \limits_{(x, y) \in D} \abs{f(x, y)}\eqper\]
\end{theorem}

\section{一阶常微分方程的初等积分法}
\subsection{变量可分离型}
对
\[\frac{\dif y}{\dif x} = f(x) h(y)\]
可以分离变量得到
\[g(y)\dif y = f(x) \dif x\]
两边积分得到
\[\int g(y) \dif y = \int f(x) \dif x\]
如果能得到$g(y)$和$f(x)$的原函数$G(y), F(x)$，就能得到微分方程的通解
\[G(y) = F(x) + C\eqper\]

\begin{example}
    解微分方程：$\dfrac{\dif y}{\dif x} = 2xy$。
\end{example}

\begin{proof}[解]
    \begin{align*}
        \frac{1}{y} \dif y & = 2x \dif x\\
        \int \frac{1}{y} \dif y & = \int 2x \dif x\\
        \ln \abs{y} & = x^2 + C_1\\
        \abs{y} & = e^{x^2 + C_1} = e^{x^2}e^{C_1}\\
        y > 0\text{时，}y & = e^{C_1}e^{x^2}\\
        y < 0\text{时，}y & = -e^{C_1}e^{x^2}\\
        \intertext{记$C = \pm e^{C_1}$，则有}
        y & = Ce^{x^2} (C \neq 0)
    \end{align*}
    同时注意到$y \equiv 0$也是方程的解，在分离变量时被丢掉了。因此$C = 0$时也成立。因此方程的通解为
    \[y = Ce^{x^2} (C \in \realnum) \eqper \qedhere\]
\end{proof}

有一些方程本身不能分离变量，但是可以化为可分离变量的形式。例如
\[\frac{\dif y}{\dif x} = \frac{y}{x} + \tan \frac{y}{x}\]
与
\begin{align*}
    \frac{\dif y}{\dif x} & = \frac{x - y}{x + y}\\
    \frac{\dif y}{\dif x} & = \frac{1 - \dfrac{y}{x}}{1 + \dfrac{y}{x}}
\end{align*}
这些方程都能化为
\[\frac{\dif y}{\dif x} = g \left(\frac{y}{x}\right)\]
的形式。对于这种方程，令$u = \dfrac{y}{x}$，即$y = xu$那么
\[\frac{\dif y}{\dif x} = u + x \frac{\dif u}{\dif x}\]
带入原方程可以得到
\[\frac{\dif u}{\dif x} = \frac{g(u) - u}{x}\]
这是一个可分离变量的方程。

在换元时不必拘泥于$u = \dfrac{y}{x}$，对于一些题目类似的$u = x - y$等等也可能将方程化为可分离变量型。

\subsection{一阶线性微分方程}
对于一个非齐次方程
\begin{equation}\label{非齐次一阶线性微分方程}
    a_1(x)\deriv{y} + a_0(x)y = f(x)
\end{equation}
考虑与它对应的齐次方程
\begin{equation}\label{齐次一阶线性微分方程}
    a_1(x) \deriv{y} + a_0(x)y = 0
\end{equation}

先列出线性方程解的几个性质：
\begin{proposition}
    线性齐次方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}必有零解。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    若$y = y(x)$是线性齐次方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}的解，则$y = Cy(x)$也是方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}的解（$C$为任意常数）。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    如果$y_1(x)$与$y_2(x)$是线性齐次方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}的解，则它们的任意线性组合
    \[y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\]
    都是方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}的解，其中$C_1, C_2$为任意常数。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    如果$y_1(x)$与$y_2(x)$是非齐次方程\eqref{非齐次一阶线性微分方程}的解，则$y_1(x) - y_2(x)$是齐次方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}的解。
\end{proposition}

\begin{proposition}
    如果$y^\ast (x)$是非齐次方程\eqref{非齐次一阶线性微分方程}的一个解，$y(x)$是齐次方程\eqref{齐次一阶线性微分方程}的一个解，则$y^\ast(x) + y(x)$是非齐次方程的\eqref{非齐次一阶线性微分方程}的解。
\end{proposition}

对一阶线性微分方程
\[a(x) \frac{\dif y}{\dif x} + b(x)y + c(x) = 0\]
先将其化为标准形式
\[\frac{\dif y}{\dif x} + p(x) y = q(x)\tag{1}\]
再写出对应的齐次方程
\[\frac{\dif y}{\dif x} + p(x)y = 0\tag{2}\]
解这个齐次方程得到通解为
\[y = Ce^{-\int p(x) \dif x} = Cy_1(x)\]
注意解中的$\int p(x) \dif x$指的是$p(x)$的一个原函数，而不是不定积分。

现在，我们用常数变异法解最开始的非齐次方程（1）。设（1）的解具有形式
\[y = C(x)y_1(x)\]
将这个解代入（1），经过计算得到
\[\deriv{C}(x)y_1(x) + C(x)\deriv{y_1}(x) + p(x)C(x)y_1(x) = q(x)\]
因此$y_1(x)$是（2）的解，因此
\[C(x)\deriv{y_1}(x) + p(x)C(x)y_1(x) = 0\]
化简可得
\[\deriv{C}(x)y_1(x) = q(x)\]
即
\[\deriv{C}(x) = q(x)e^{\int p(x) \dif x}\]
那么积分得到
\[C(x) = \int q(x)e^{\int p(x) \dif x} + C\]
因此（1）的通解为
\[y = e^{-\int p(x) \dif x} \left(C + \int q(x) e^{\int p(x) \dif x} \dif x\right)\]
或者写为
\[y = e^{-\int_{x_0}^x p(x) \dif x} \left(C + \int_{x_0}^x q(x) e^{\int_{x_0}^x p(x) \dif x} \dif x\right)\]
如果给定$y(x_0) = y_0$，对应可以解出$C = y_0$
因此特解为
\[y = e^{-\int_{x_0}^x p(x) \dif x} \left(y_0 + \int_{x_0}^x q(x) e^{\int_{x_0}^x p(x) \dif x} \dif x\right)\]

\subsection{伯努利（Bernolli）方程}
伯努利方程是一类可化为一阶线性微分方程的方程。它的基本形式为
\[\frac{\dif y}{\dif x} + p(x)y = q(x) y^n\]
对方程两端同除$y^n$，有
\[y^{-n} \frac{\dif y}{\dif x} + p(x) y^{1 - n} = q(x)\]
令$z = y^{1 - n}$，那么
\[\frac{\dif z}{\dif x} = (1 - n)y^{-n} \frac{\dif y}{\dif x}\]
因此
\[y^{-n} \frac{\dif y}{\dif x} = \frac{1}{1-n}\frac{\dif z}{\dif x}\]
那么我们可以将原方程化为
\[\frac{\dif z}{\dif x} + (1-n)p(x)z = (1-n)q(x)\]
这是一个一阶线性微分方程。

\section{高阶可降阶微分方程}
\begin{enumerate}
    \item $\bderiv{y} = f(x)$型
\end{enumerate}
逐次积分。积分一次有
\[\deriv{y} = \int f(x) \dif x + C_1\]
再积分一次有
\[\deriv{y} = \int \left(\int f(x) \dif x\right)\dif x + C_1 x + C_2\eqper\]

\begin{enumerate}[resume]
    \item $\bderiv{y} = f(x, \deriv{y})$型
\end{enumerate}
方程中不显含未知函数$y$，因此可做变量替换$p(x) = \deriv{y}$，那么$\bderiv{y} = \deriv{p}$。此时原方程变形为
\[\deriv{p} = f(x, p)\]
为一阶微分方程。

\begin{enumerate}[resume]
    \item $\bderiv{y} = f(y, \deriv{y})$型
\end{enumerate}
方程中不显含自变量$x$，因此做变量替换$p(y) = \deriv{y}$。那么
\[\frac{\dif^2 y}{\dif x^2} = \frac{\dif p}{\dif x} = \frac{\dif p}{\dif y} \frac{\dif y}{\dif x} = p \frac{\dif p}{\dif y}\]
此时原方程变形为
\[p\frac{\dif p}{\dif y} = f(y, p)\]
为一阶微分方程。

\section{高阶线性微分方程}
\subsection{解的存在唯一性}
\begin{theorem}[线性方程解的存在唯一性]
    对$n$阶线性微分方程
    \[y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}(x) \deriv{y} + a_n(x) y = f(x)\]
    若方程中的系数$a_i(x), i = 1, 2, \dots, n$以及$f(x)$都是区间$I$上的连续函数$x_0 \in I$，则对任意一组初始条件
    \[y(x_0) = y_0, \deriv{y}(x_0) = \deriv{y_0}, \dots, y^{(n-1)}(x_0) = y_0^{(n-1)}\]
    方程的解在区间$I$上存在且唯一。
\end{theorem}

\subsection{高阶线性方程的通解结构（二阶）}
\subsubsection{高阶线性齐次方程的通解结构}
对非齐次方程
\begin{equation}\label{二阶非齐次方程}
    a(x)\bderiv{y} + b(x)\deriv{y} + c(x) y = f(x)
\end{equation}
和对应的齐次方程
\begin{equation}\label{二阶齐次方程}
    a(x)\bderiv{y} + b(x) \deriv{y} + c(x) y = 0
\end{equation}
\begin{theorem}
    如果$y_1(x)$与$y_2(x)$是齐次方程\eqref{二阶齐次方程}的解，则它们的任意线性组合
    \[y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\]
    都是方程\eqref{二阶齐次方程}的解，其中$C_1, C_2$为常数。
\end{theorem}

\begin{definition}
    设$y_1(x), y_2(x), \dots, y_m(x)$是区间$I$上的连续函数。如果存在一组不全为零的实数$C_1, C_2, \dots, C_m$，使得在区间$I$上有
    \[C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + \dots + C_my_m(x) \equiv 0\]
    则称函数$y_1(x), y_2(x), \dots, y_m(x)$在区间$I$上线性相关，否则称为线性无关。
\end{definition}

\begin{definition}
    对函数组$y_1(x), y_2(x), \dots, y_m(x)$，其朗斯基行列式为
    \[W[y_1, y_2, \dots, y_m] := \begin{vmatrix}
        y_1 & y_2 & \cdots & y_m\\
        \deriv{y_1} & \deriv{y_2} & \cdots & \deriv{y_m}\\
        \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
        y_1^{(m-1)} & y_2^{(m-1)} & \cdots & y_m^{(m-1)}
    \end{vmatrix}\eqper\]
\end{definition}

\begin{theorem}
    设函数$y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)$在区间$I$上有$n-1$阶导数，则
    \begin{enumerate}
        \item 其在$I$上线性相关的必要条件是$y_1, y_2, \dots, y_n$的朗斯基行列式在区间$I$上恒为零。
        \item 若$y_1, y_2, \dots, y_n$为齐次方程的$n$个线性无关解，则对任意$x$，其朗斯基行列式不等于零。
    \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{theorem}[齐次方程通解的结构]
    若$y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)$是$n$阶线性齐次方程
    \[y^{(n)} + a_1(x)y^{(n01)} + \dots + a_n(x)y = 0\]
    的$n$个线性无关解，则
    \[\overline{y}(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + \dots + C_n y_n(x)\]
    是方程的通解，其中$C_1, C_2, \dots, C_n$是$n$个任意常数。
\end{theorem}

\begin{theorem}
    假设线性齐次方程
    \[x^{(n)}(t) + a_1(t)x^{(n-1)}(t) + \dots + a_n(t)x(t) = 0\]
    中的系数$a_1(t), a_2(t), \dots, a_n(t)$在区间$I$上连续，则该方程在$I$上恰有$n$个线性无关的解。
\end{theorem}

\subsubsection{二阶线性非齐次方程的通解结构}
\begin{theorem}[叠加原理]
    如果$y_1(x), y_2(x)$是非齐次方程\eqref{二阶非齐次方程}的解，则$y_1(x) - y_2(x)$是齐次方程\eqref{二阶齐次方程}的解。

    如果$y^\ast (x)$是非齐次方程\eqref{二阶非齐次方程}的一个解，$y(x)$是齐次方程\eqref{二阶齐次方程}的一个解，则$y^\ast(x) + y(x)$是非齐次方程\eqref{二阶非齐次方程}的解。
\end{theorem}

\begin{theorem}[非齐次方程的通解结构]
    如果$y^\ast(x)$是非齐次方程\eqref{二阶非齐次方程}的一个解，
    \[\overline{y}(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\]
    是齐次方程\eqref{二阶齐次方程}的解，则
    \[y = y^\ast + \overline{y} = y^\ast + C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\]
    是非齐次方程\eqref{二阶非齐次方程}的通解。
\end{theorem}

\subsection{常系数微分方程}
\subsubsection{常系数齐次微分方程的特征根法}
考虑二阶线性常系数齐次方程
\[a\bderiv{y} + b\deriv{y} + cy = 0\]
它对应的特征方程为
\[a\lambda^2 + b\lambda + c = 0\]
解特征方程我们可以得到两个特征根
\[\lambda = \lambda_1, \lambda_2\]

根据特征根的情况讨论通解：
\begin{enumerate}
    \item $b^2 - 4ac > 0$，有两个不等实根$\lambda_1 \neq \lambda_2$，那么$y_1 = e^{\lambda_1 x}$与$y_2 = e^{\lambda_2 x}$线性无关。因此通解为
    \[\overline{y} = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}\eqper\]
    \item $b^2 - 4ac = 0$，有两个相等实根$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$。可得一个解为$e^{\lambda x}$。设另一个解为$u(x)e^{\lambda x}$带入解得$u(x) = x$。因此通解为
    \[\overline{y} = (C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}\eqper\]
    \item $b^2 - 4ac < 0$，共轭复根$\lambda_{1, 2} = \alpha \pm i\beta$那么
    \[y_1 = e^{(\alpha + i\beta)x}, y_2 = e^{(\alpha - i\beta)x}\]
    利用欧拉公式
    \[\begin{cases}
        y_1 = e^{\alpha x}(\cos \beta x + i \sin \beta x)\\
        y_2 = e^{\alpha x}(\cos \beta x - i \sin \beta x)
    \end{cases}\]
    线性组合成两个线性无关的实值解
    \[\begin{cases}
        \dfrac{y_1 + y_2}{2} = e^{\alpha x}\cos \beta x\\
        \dfrac{y_1 - y_2}{2i} = e^{\alpha x} \sin \beta x
    \end{cases}\]
    因此通解为
    \[\overline{y} = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)\eqper\]
\end{enumerate}

\subsubsection{常系数非齐次方程的待定系数法}
对于方程
\[\bderiv{y} + a\deriv{y} + by = f(x)\]
我们已经会求对应的齐次方程了。解这个方程的关键是找到一个特解。一种方法是待定系数法。它只适用于$f(x)$是几种特殊形式时。
\begin{enumerate}
    \item $f(x) = P_m(x)e^{r x}$。其中$P_m(x)$是$m$次多项式。令$Q_m(x)$为一个各项系数待定的$m$次多项式，即
    \[Q_m = Ax^m + Bx^{m-1} + \dots\]
    那么可设特解为
    \[y^\ast (x) = x^k Q_m(x) e^{rx}\]
    其中
    \[k = \begin{cases}
        0\text{，$r$不是特征方程的根}\\
        1\text{，$r$是特征方程的单根}\\
        2\text{，$r$是特征方程的复根}
    \end{cases}\]
    将$y^\ast (x)$代入方程，确定系数即可找到一个特解。
    \item $f(x) = e^{\alpha x}[P_l(x) \cos \beta x + P_n(x) \sin \beta x]$可设特解形式为
    \[y^\ast (x) = x^k e^{\alpha x}[Q_m^{(1)}(x)\cos \beta x + Q_m^{(2)}(x) \sin \beta x]\]
    其中
    \[m = \max\{l,n\}, k = \begin{cases}
        0\text{，$\alpha + i\beta$不是特征根}\\
        1\text{，$\alpha + i\beta$是特征根}
    \end{cases}\]
\end{enumerate}

\subsubsection{欧拉方程}
欧拉方程是一种变系数方程
\[ax^2 \frac{\dif^2 y}{\dif x^2} + bx \frac{\dif y}{\dif x} + cy = f(x)\]
做变量代换$t = \ln \abs{x}$。那么
\begin{align*}
    \frac{\dif y}{\dif x} & = \frac{\dif y}{\dif t} \cdot \frac{\dif t}{\dif x} = \frac{\dif y}{\dif t} \cdot \frac{1}{x}\\
    \frac{\dif^2 y}{\dif x^2} & = \frac{\dif}{\dif x}\left(\frac{\dif y}{\dif t} \cdot \frac{1}{x}\right) = \frac{\dif^2 y}{\dif t^2} \cdot \frac{1}{x^2} - \frac{\dif y}{\dif t} \cdot \frac{1}{x^2}
\end{align*}
因此
\begin{align*}
    x\frac{\dif y}{\dif x} & = \frac{\dif y}{\dif t}\\
    x^2 \frac{\dif^2 y}{\dif x^2} & = \frac{\dif^2 y}{\dif t^2} - \frac{\dif y}{\dif t}
\end{align*}
带入欧拉方程有
\[a\frac{\dif^2 y}{\dif t^2} + (b-a)\frac{\dif y}{\dif t} + cy = f(e^t)\]
这是一个常系数二阶线性非齐次方程。

\subsection{二阶线性变系数微分方程}
对方程
\[\bderiv{y} + a_1(x)\deriv{y} + a_2(x)y = f(x)\]

情况一：已知对应的齐次方程的一个非零解$y_1(x)$。那么可设$y^\ast = c(x)y_1(x)$。带入非齐次方程可以解得一个特解。带入对应的齐次方程可以得到另一个基本解。

情况二：已知对应齐次方程的通解为$C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$。设$y^\ast(x) = C_1(x) y_1(x) + C_2(x) y_2(x)$。带入非齐次方程可得一个特解。于是通解为$y(x) = y^\ast(x) + C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$。

\begin{remark}
    寻找$\bderiv{y} + a_1(x)\deriv{y} + a_2(x)y = 0$的解：

    若$a_2(x) = 0$，那么可得$y_1(x) = 1$；
    
    若$1 + a_1(x) + a_2(x) = 0$，那么$y_1(x) = e^x$；

    若$1 - a_1(x) + a_2(x) = 0$，那么$y_1(x) = e^{-x}$；

    若$a_1(x) + xa_x(x) = 0$，那么$y_1(x) = x$；

    若$2 + 2xa_1(x) + x^2a_2(x) = 0$，那么$y_1(x) = x^2$。
\end{remark}

\subsection[n阶线性常系数微分方程]{$n$阶线性常系数微分方程}
对
\[y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}y^1 + a_n y = 0\]
特征方程为
\[\lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \dots + a_{n-1}\lambda + a_n = 0\]
设根为$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$。那么对于单根，基本解为$e^{\lambda_1x}, e^{\lambda_2 x}, \dots$。

若有共轭复根如
\(\begin{cases}
    \lambda_1 = \alpha + i\beta\\
    \lambda_2 = \alpha - i\beta
\end{cases}\)，
那么可将$e^{\lambda_1 x}$与$e^{\lambda_2 x}$换成$e^{\alpha x} \cos \beta x$与$e^{\alpha x} \sin \beta x$。

若有$k$重根，例如$\lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_k$，那么可将$e^{\lambda_1 x}, \dots, e^{\lambda_k x}$换成$(1 + x + \dots + x^{k-1})e^{\lambda_1 x}$。
