\chapter{曲面积分}
\section{曲面的面积}
\begin{definition}
    设正则曲面$\Sigma$有参数向量方程$\bvec{r} = \bvec{r}(u, v)$，$(u, v) \in \Delta$，我们成
    \[\sigma(\Sigma) = \iint \limits_{\Delta} \norm{\bvec{r}_u \times \bvec{r}_v} \dif u \dif v\]
    为曲面$\Sigma$的面积，并且记
    \[\dif \sigma = \norm{\bvec{r}_u \times \bvec{r}_v} \dif u \dif v\]
    称$\dif \sigma$为曲面的面积元素，简称面元。
\end{definition}

\section{第一型曲面积分}
\begin{definition}
    设$\Sigma$是一张可求面积的曲面片，$f$是定义在$\Sigma$上的函数，分割$\pi$把$\Sigma$分成若干更小的曲面片$S_1, S_2, \dots, S_n$。定义分割$\pi$的宽度为$\norm{\pi} = \max \{\diam S_i: i = 1, 2, \dots, n\}$在每一小片$S_i$任取一点$\bvec{p}_i$，如果和数
    \[\sum_{i = 1}^n f(\bvec{p}_i) \sigma(S_i)\]
    当$\norm{\pi} \to 0$时有有限的极限，并且其极限值不依赖点$\bvec{p}_i$在$S_i$上的选择，那么称这个极限值为函数$f$沿曲面$\Sigma$的第一型曲面，记作
    \[\int \limits_\Sigma f \dif \sigma\eqper\]
\end{definition}

如果$\Sigma$是正则曲面，它的参数方程为
\[\bvec{r} = \bvec{r}(u, v): \begin{cases}
    x = x(u, v)\\
    y = y(u, v)\\
    z = z(u, v)
\end{cases} (u, v) \in \Delta\]
那么
\[\int \limits_{\Sigma} f \dif \sigma = \iint \limits_\Delta f \circ \bvec{r} \norm{\bvec{r}_u \times \bvec{r}_v} \dif u \dif v\]
如果利用第一基本量
\[A = \frac{\partial (y, z)}{\partial (u, v)}, B = \frac{\partial (z, x)}{\partial (u, v)}, C = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}\]
那么还有
\begin{align*}
    \int \limits_\Sigma f \dif \sigma & = \iint \limits_{\Delta} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \dif u \dif v\\
    & = \iint \limits_\Delta f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG - F^2} \dif u \dif v\eqper
\end{align*}

如果曲面$\Sigma$有方程$z = z(x, y), (x, y) \in \Delta$，其中$\Delta$为$S$在$xy$平面上的投影区域。那么
\[\int \limits_\Sigma f \dif \sigma = \iint \limits_\Delta f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + \left(\pdv{z}{x}\right)^2 + \left(\pdv{z}{y}\right)^2} \dif x \dif y\eqper\]

\section{第二型曲面积分}
首先我们要引入定向曲面的概念。

任何正则曲面片都是可定向的。设
\[\Sigma: \bvec{r} = \bvec{r}(u, v), (u, v) \in \Delta\]
是一块正则曲面片。在曲面$\Sigma$各处有确定的法向量。向量
\[\pm \frac{\bvec{r}_u \times \bvec{r}_v}{\norm{\bvec{r}_u \times \bvec{r}_v}}\]
都是单位法向量。我们的可以指定其中的任何一个作为$\Sigma$的正方向。

当参数$(u, v)$在$\Delta$上连续变化时，这指定的单位法向量在$\Sigma$上也连续变化，不会突然转到相反的方向上去。我们约定把曲面$\Sigma$正法线指向的一侧叫做$\Sigma$的正侧，相反的那一侧叫做负侧。凡是能明确地区分正、负两侧的曲面，叫做双侧曲面。正则曲面一定是双侧曲面，因此我们说它是可定向的。

一旦一个曲面片的正向确定了，它的边界曲线也随之定了方向。规则是：当一个人站在正侧沿边界正向绕行时，曲面片的内部应在人的左手边，只有在曲面的定向雨它的边界曲线的定向符合这一规则时，称它们的定向是协调的。

\begin{definition}
    设区域$D \subset \realnum^3$，$\bvec{F}: D \to \realnum^3$是$D$上的连续向量场。设$\Sigma \subset D$是一张有面积且可定向的曲面片。$\bvec{n}(x, y, z)$是曲面的正向单位法向量。再定义有向面积微元
    \[\dif \bvec{S} = \bvec{n} \dif S\]
    那么称积分
    \[\iint \limits_{\Sigma} \bvec{F}(x, y, z) \cdot \bvec{n}(x, y, z) \dif \sigma = \int \limits_\Sigma \bvec{F} \cdot \dif \bvec{\sigma}\]
    为$\bvec{F}$在有向曲面$\Sigma$上的第二型曲面积分。
\end{definition}

第二型曲面积分还有其它的表达方式。设$\bvec{F} = (P, Q, R)$，正法向量
\[\bvec{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\]
其中$\alpha, \beta, \gamma$分别是$\bvec{n}$与$x$轴，$y$轴，$z$轴的正向的夹角。那么
\[\iint \limits_{\Sigma} \bvec{F}(x, y, z) \cdot \bvec{n}(x, y, z) \dif \sigma = \int \limits_{\Sigma} (P\cos \alpha + Q\cos \beta + Z \cos \gamma) \dif \sigma\]
再记
\begin{align*}
    \dif y \wedge \dif z = \cos \alpha \dif \sigma\\
    \dif z \wedge \dif x = \cos \beta \dif \sigma\\
    \dif x \wedge \dif y = \cos \gamma \dif \sigma
\end{align*}
那么上式可以改写为
\[\iint \limits_\Sigma P \dif y \wedge \dif z + Q \dif z \wedge \dif x + R \dif x \wedge \dif y\]

考察正则曲面$\Sigma$：
\[\bvec{r} = \bvec{r}(u, v): \begin{cases}
    x = x(u, v)\\
    y = y(u, v)\\
    z = z(u, v)
\end{cases}, (u, v) \in \Delta\]
这时，曲面$\Sigma$的单位法向量是
\[\bvec{n} = \pm \frac{A\bvec{i} + B \bvec{j} + C \bvec{k}}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]
选择正负号应使得$n$的方向与预先指定的正方向一致。我们已经有
\[\dif \sigma = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \dif u \dif v\]
因此
\[\dif \bvec{\sigma} = \pm \left(A\bvec{i} + B \bvec{j} + C \bvec{k}\right) \dif u \dif v\]
于是
\begin{align*}
    \iint \limits_\Sigma \bvec{F} \cdot \dif \bvec{\sigma} & = \pm \iint \limits_\Delta \left(P\circ \bvec{r} A + Q\circ \bvec{r} B + R\circ \bvec{r} C\right)\dif u \dif v\\
    & = \pm \iint \limits_\Delta \left(P(\bvec{r}(u, v)) \frac{\partial (y, z)}{\partial (u, v)} + Q(\bvec{r}(u, v)) \frac{\partial (z, x)}{\partial (u, v)} + R(\bvec{r}(u, v)) \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}\right) \dif u \dif v\\
    & = \pm \iint \limits_\Delta \begin{vmatrix}
        P \circ \bvec{r} & Q \circ \bvec{r} & R \circ \bvec{r}\\[1ex]
        \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial u}\\[1em]
        \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial v}\\[1ex]
    \end{vmatrix}
    \dif u \dif v\eqper
\end{align*}

如果曲面$\Sigma$有显示表达$z = f(x, y), (x, y) \in D$，那么
\[\iint \limits_\Sigma \bvec{F} \cdot \dif \bvec{\sigma} = \pm \iint \limits_{D} \left(-P \pdv{f}{x} - Q \pdv{f}{y} + R\right) \dif x \dif y\eqper\]

\section{Gauss公式和Stokes公式}
\begin{theorem}[Gauss公式]
    设$\Omega$为空间有界闭区域，其边界$S$是分片光滑有向曲面。若向量场$\bvec{v} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$在$\Omega$内连续可微，在$S$上连续，则有
    \[\iint \limits_{\partial \Omega} P \dif y \wedge \dif z + Q \dif z \wedge \dif x + R \dif x \wedge \dif z = \iiint \limits_{\Omega} \left(\pdv{P}{x} + \pdv{Q}{y} + \pdv{R}{z}\right) \dif x \dif y \dif z\eqper\]
\end{theorem}

Gauss公式将一个空间比曲面上的第二型曲面积分与闭曲面所围的空间区域上的三重积分联系起来。

\begin{theorem}[Stokes公式]
    设$\bvec{v} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$是区域$\Omega$的连续可微向量场，$S$是区域$\Omega$內的分片光滑有向曲面，其边界$\partial S$为分段光滑有向曲线，则有
    \[\int \limits_{\partial S} P \dif x + Q \dif y + R \dif z = \iint \limits_S \left(\pdv{R}{y} - \pdv{Q}{z}\right) \dif y \dif z + \left(\pdv{P}{z} - \pdv{R}{x}\right) \dif z \dif x + \left(\pdv{Q}{x} - \pdv{P}{y}\right) \dif x \dif y\eqper\]

    应用行列式的写法，Stokes公式可以表示为
    \[\int \limits_{\partial S} X \dif x + Y \dif y + Z \dif z = \iint \limits_{\Sigma}
    \begin{vmatrix}
        \dif y \dif y & \dif z \dif x & \dif x \dif y\\[1ex]
        \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\[1em]
        P & Q & R    
    \end{vmatrix} \eqper\]
\end{theorem}

Stokes公式将空间曲面上的第二型曲面积分与曲面边界上的第二型曲线积分联系起来。