\chapter{曲线积分}
\section{第一型曲线积分}
\begin{definition}
    设$D \in \realnum^3$是一个区域，函数$f: D \to \realnum$。光滑曲线$L \in D$，其两个端点分别记为\bvec{A}和\bvec{B}。在$L$上依次取一列点$\{\bvec{p}_i: i = 0, 1, \dots, n\}$，使得$\bvec{p}_0 = \bvec{A}, \bvec{p}_n = \bvec{B}$。称$\wideparen{\bvec{p}_{i - 1}\bvec{p}_i}$为$L$的第$i$段曲线。令$\Delta s_i = s(\wideparen{\bvec{p}_{i - 1}\bvec{p}_i})$，即$L$的第$i$段曲线的弧长。在$\wideparen{\bvec{p}_{i - 1}\bvec{p}_i}$上任取一点$\bvec{\xi}_i(i = 1, 2, \dots, n)$，如果极限
    \[\tolim{\max\{\Delta s_i\}}{0} \sum_{i = 1}^n f(\bvec{\xi}_i) \Delta s_i\]
    是一个有限数，并且其值不依赖于点\bvec{\xi}在$\wideparen{\bvec{p}_{i - 1}\bvec{p}_i}$上的选择，那就把这极限值记为
    \[\int \limits_L f(\bvec{p}) \dif s \text{或者} \int \limits_L f(x, y, z) \dif s\]
    称之为函数$f$在$L$上的第一型曲线积分。
\end{definition}

第一类曲线积分也具有线性性质、曲线可加性、保序性与积分估值不等式。

\begin{theorem}
    设区域$D \subset \realnum^3$，光滑曲线$L \subset D$，函数$f: D \to \realnum$连续。设$L$有向量参数表示$\bvec{r} = \bvec{r}(t)$，$t \in [\alpha, \beta]$，那么
    \[\int \limits_L f \dif s = \int_\alpha^\beta f \circ \bvec{r}(t) \norm{\deriv{\bvec{r}}(t)} \dif t\eqper\]
\end{theorem}

\begin{corollary}
    设平面曲线$L$有显示表达$y = \varphi(x)$，$x \in [a, b]$，其中$\varphi$在$[a, b]$上连续，那么
    \[\int \limits_L f \dif s = \int_\alpha^\beta f(x, \varphi(x)) \sqrt{1 + \left(\deriv{\varphi}(x)\right)^2} \dif x\eqper\]
\end{corollary}

\section{第二型曲线积分}
\begin{definition}
    设区域$D \subset \realnum^3$，在$D$上定义了一个向量值函数$\bvec{F} = \bvec{F}(\bvec{p}), \bvec{p} \in D$。这时称\bvec{F}是在$D$上定义的一个向量场。
\end{definition}

同时在$D$中还应该有一条有向曲线$L$。给定它的起点和终点，就相当于给这条曲线定了方向。

\begin{definition}
    设$D \subset \realnum^3$是一个区域，映射$\bvec{F}: D \to \realnum^3$。可求长的有向曲线$L \subset D$，其起点记为$A$，终点记为$B$。在$L$上依从$A$到$B$的方向顺次取一列点$\{\bvec{p}_i: i = 0, 1, \dots, n\}$，使得$\bvec{p}_0 = A$，$\bvec{p}_n = B$。置$\Delta \bvec{p}_i = \bvec{p}_i - \bvec{p}_{i - 1}, i = 1, 2, \dots, n$，如果对于在$L$的弧段$\wideparen{\bvec{p}_{i - 1} \bvec{p}_i}$任取的点$\bvec{\xi}_i$，极限
    \[\tolim{\max \norm{\Delta \bvec{p}_i}}{0} \sum_{i = 1}^n \bvec{F}(\bvec{\xi}_i) \cdot \Delta \bvec{p}_i\]
    为一确定的有限数，则将这个数记为
    \[\int \limits_L \bvec{F}(\bvec{p}) \cdot \dif \bvec{p}\]
    称它是向量值函数$\bvec{F}$沿有向曲线$L$上的第二型曲线积分。
\end{definition}

设$L$是一条有向曲线，如果我们把它的走向颠倒过来，得出的另一条定向曲线记为$-L$，由定义可以看到
\[\int \limits_L \bvec{F}(\bvec{p}) \cdot \dif \bvec{p} = - \int \limits_{-L} \bvec{F}(\bvec{p}) \cdot \dif \bvec{p}\eqper\]

\begin{theorem}
    设区域$D \subset \realnum^3$，连续映射$\bvec{F}: D \to \realnum^3$。又设$L \in D$是一条有向的光滑曲线，它具有参数向量方程$\bvec{r} = \bvec{r}(t)$，$\alpha \leq t \leq \beta$，并且参数$t$的增加对应着$L$的定向，那么有
    \[\int \limits_L \bvec{F}(\bvec{p}) \cdot \dif \bvec{p} = \int_\alpha^\beta \bvec{F} \circ \bvec{r}(t) \cdot \deriv{\bvec{r}}(t) \dif t\eqper\]
\end{theorem}

令$\bvec{p} = (x, y, z)$表示曲线$L$上的径向量，那么$\dif \bvec{p} = (\dif x, \dif y, \dif z)$。设$\bvec{F} = (P, Q, R)$，于是
\[\bvec{F} \cdot \dif \bvec{p} = P \dif x + Q \dif y + R \dif z\]
因此第二型曲线积分又可以写成
\begin{align*}
    \int \limits_L P \dif x + Q \dif y + R \dif z = & \int_\alpha^\beta \left(P(x(t), y(t), z(t)) \deriv{x}(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) \deriv{y}(t)\right.\\
    & ~\left. + R(x(t), y(t), z(t)) \deriv{z}(t)\right)\dif t
\end{align*}

\begin{theorem}
    令$f \in C^1(D)$设光滑曲线$L \subset D$的起点是$A$，终点是$B$，则
    \[\int \limits_L \gra f(\bvec{r}) \cdot \dif \bvec{r} = f(B) - f(A)\eqper\]
\end{theorem}

\section{Green公式}
对于一个闭合的曲线，我们按照下列法则给它定向：当一个人沿着这个曲线行进时，我们想要考虑的区域一直在这个人的左手边。

\begin{theorem}[Green定理]
    设$\Omega \subset \realnum^2$时由有限条分段光滑的曲线围成的闭区域，如果函数$P(x, y)$和$Q(x, y)$在$\Omega$上连续并且有连续的偏导数，那么就有
    \[\int \limits_{\partial \Omega} P \dif x + Q \dif y = \iint \limits_\Omega \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\dif x \dif y\eqper\]
\end{theorem}

\begin{example}
    设$D$是适合Green公式的平面闭区域，则有
    \[\sigma(D) = \int \limits_{\partial D} s \dif y = - \int \limits_{\partial D} y \dif x = \frac{1}{2} \int \limits_{\partial D} x \dif y - y \dif x\eqper\]
\end{example}

\begin{proof}
    利用Green公式
    \[\int \limits_{\partial D} x \dif y = \iint \limits_{D} \left(\frac{\partial x}{\partial x} - 0\right) \dif x \dif y = \iint \limits_{D} \dif \sigma\] 
    即
    \[\sigma(D) = \int \limits_{\partial D} x \dif y\]
    同理有
    \[\sigma(D) = -\int \limits_{\partial D} y \dif x\]
    以上两式相加，得出
    \[\sigma(D) = \frac{1}{2} \int \limits_{\partial D} x \dif y - y \dif x\eqper\]
\end{proof}