\chapter{含参变量积分}
\begin{definition}
    设二元函数$f(x, u)$在闭矩形$I = [a, b] \times [\alpha, \beta]$上连续，那么对于固定的$u \in [\alpha, \beta]$，函数$f(x, u)$对变量$x$在$[a,b]$上Riemann可积，这时称积分
    \[\int_a^b f(x, u) \dif x\]
    是含参变量$u$的常义积分。如果对于固定的$u$，$f(x, u)$是变量$x$在$[a, b]$中的无界函数，或者$[a, b]$是一个无限区间，则称相应的积分是含参变量$u$的反常积分。
\end{definition}

\section{含参变量的常义积分}
\begin{theorem}
    如果函数$f(x, u)$在闭矩形$I = [a, b] \times [\alpha, \beta]$上连续，那么
    \[\varphi(u) = \int_a^b f(x, u) \dif x\]
    在区间$[\alpha, \beta]$上一致连续。
\end{theorem}

\begin{remark}
    这意味着
    \[\tolim{t}{t_0} \int_\alpha^\beta f(x, t) \dif x = \int_\alpha^\beta \tolim{t}{t_0} f(x, t) \dif x\]
\end{remark}

\begin{theorem}
    如果函数$f$及其偏导数$\dfrac{\partial f}{\partial u}$都在闭矩形$I = [a, b] \times [\alpha, \beta]$上连续，那么函数
    \[\varphi(u) = \int_a^b f(x, u) \dif x\]
    在$[\alpha, \beta]$上可微，而且
    \[\dfrac{\dif}{\dif u} \varphi(u) = \int_a^b \left(\frac{\partial}{\partial u} f(x, u)\right)\dif x\eqper\]
\end{theorem}