\chapter{Fourier分析}
\section{周期函数的三角级数展开}
问题：给定$2\pi$周期函数$f(x)$，是否可分解为下列三角函数的和：
\[f(x) = \sum_{n = 0}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)\]

\begin{definition}
    对定义在$[a,b]$上的函数列$\varphi_1(x), \varphi_2(x), \dots, \varphi_n(x)$，若对$n \neq m$，有
    \[\int_a^b \varphi_n(x) \varphi_m(x) \dif x = 0\]
    则称$\varphi_n(x), \varphi_m(x)$正交。
\end{definition}

我们可以据此找到几个三角函数系：
\begin{enumerate}
    \item $T = 2\pi$：$1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \dots, \cos nx, \sin nx, \dots$；
    \item $T = 2l$：$1, \cos \dfrac{\pi x}{l}, \sin \dfrac{\pi x}{l}, \dots, \cos \dfrac{n\pi x}{l}, \sin \dfrac{n \pi x}{l}, \dots$。
\end{enumerate}

这两个函数系中的函数两两正交：
\begin{align*}
    \int_{-\pi}^\pi \cos nx \cos mx \dif x & = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi [\cos (n + m)x + \cos (n - m)x] \dif x = 0 (n \neq m)\\
    \int_{-\pi}^\pi \sin nx \sin mx \dif x & = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi [\cos (n - m)x - \cos (n + m)x] \dif x = 0 (n \neq m)\\
    \int_{-\pi}^\pi \cos nx \sin mx \dif x & = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi [\sin (n + m)x - \sin (n - m)x] \dif x = 0
\end{align*}

现在，有了三角函数系的概念，我们就可以尝试计算对应的展开式的系数了。

假设三角级数在$[-\pi, \pi]$上一致收敛于可积函数
\[f(x) = \sum_{n = 0}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)\]

两端同乘$\cos mx$之后积分，此时右侧根据一致收敛性质可以逐项积分：

\begin{align*}
    \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos mx \dif x & = \int_{-\pi}^\pi \sum_{n = 0}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \cos mx \dif x\\
    & = \sum_{n = 0}^\infty \left[a_n \int_{-\pi}^\pi \cos nx \cos mx \dif x + b_n \int_{-\pi}^\pi \sin nx \cos mx \dif x\right]\\
    & = a_m \int_{-\pi}^\pi \cos^2 mx \dif x = 
    \begin{cases}
        2\pi a_0,  m = 0\\
        \pi a_m,  m = 1, 2, \dots
    \end{cases}
\end{align*}

两端再同乘$\sin mx$之后积分，此时右侧依然可以逐项积分：

\begin{align*}
    \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin mx \dif x & = \int_{-\pi}^\pi \sum_{n = 0}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \sin mx \dif x\\
    & = \sum_{n = 0}^\infty \left[a_n \int_{-\pi}^\pi \cos nx \sin mx \dif x + b_n \int_{-\pi}^\pi \sin nx \sin mx \dif x\right]\\
    & = b_m \int_{-\pi}^\pi \sin^2 mx \dif x\\
    & = \pi b_m,  m = 1, 2, \dots
\end{align*}

综上我们得到
\begin{align*}
    a_0 & = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \dif x\\
    a_m & = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos mx \dif x\\
    b_m & = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin mx \dif x,  m = 1, 2, \dots
\end{align*}

\begin{definition}[Fourier级数]
    设$f(x)$是以$2\pi$为周期的函数，$f \in R[-\pi, \pi]$或奇异积分绝对收敛。那么可以写出
    \[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)\]
    上式右端称为$f(x)$的Fourier级数展开式，其中
    \begin{align*}
        a_n & = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos nx \dif x,  n = 0, 1, 2, \dots\\
        b_n & = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx \dif x,  n = 1, 2, \dots
    \end{align*}
    称为$f(x)$的Fourier展开系数。
\end{definition}

\section{Fourier级数收敛定理}
\begin{theorem}[Fourier级数收敛定理]
    设$f(x)$是以$2\pi$为周期的函数，且满足下面的条件：
    \begin{enumerate}
        \item 在$[-\pi, \pi]$上分段单调，或者
        \item 在$[-\pi, \pi]$上分段可微，
    \end{enumerate}
    则其Fourier级数展开式处处收敛于
    \[S(x) = \frac{1}{2}[f(x + 0) + f(x - 0)]\]
    其中
    \[f(x + 0) = \tolim{t}{x^+} f(t), f(x - 0) = \tolim{t}{x^-} f(t)\]
    即Fourier级数收敛域函数左右极限的平均值。
\end{theorem}

\begin{corollary}
    设$f(x)$满足收敛定理的条件，且
    \[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)\]
    则在函数$f$的连续点$x$，
    \[\frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx) = f(x) \eqper\]
\end{corollary}

\section{一般函数的Fourier级数展开}
\subsection{对一般周期函数的Fourier级数展开}
对于一般的以$2l$为周期的函数$f(x)$，利用自变量伸缩，令$\varphi(t) = f\left(\dfrac{lt}{\pi}\right)$化为$2\pi$周期的函数展开
\[\varphi(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nt + b_n \sin nt)\]
注意$t = \dfrac{\pi x}{l}$，由此得到需要的Fourier级数展开
\[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n \pi x}{l}\right)\eqper\]

总结起来，有：设$f(x)$是以$2l$为周期的函数，$f \in R[-l, l]$或奇异积分绝对收敛。那么可写
\[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos \frac{n \pi x}{l} + b_n \sin \frac{n \pi x}{l}\right)\]
右端称为$f(x)$的Fourier级数展开式，其中展开系数
\begin{align*}
    a_n & = \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} \dif x,  n = 0, 1, 2, \dots\\
    b_n & = \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \dif x,  n = 1, 2, \dots \eqper
\end{align*}

\subsection{对定义在有限区间上的函数的Fourier级数展开}
对于一般的$f: [a, b] \to \realnum$，满足$f \in R[a,b]$或奇异积分绝对收敛，那么可以将函数延拓为周期函数，再做Fourier展开：
\begin{enumerate}[label={(\arabic{*})}]
    \item 记$l = \dfrac{b - a}{2}$，将$f(x)$延拓为以$2l$为周期的函数$\tilde{f}(x)$；
    \item 做$\tilde{f}(x)$的Fourier级数展开
    \[\tilde{f}(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos \frac{n \pi x}{l} + b_n \sin \frac{n \pi x}{l}\right), -\infty < x < +\infty\]
    \item 限制$x$的范围得到有限区间上函数的Fourier展开
    \[\tilde{f}(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty \left(a_n \cos \frac{n \pi x}{l} + b_n \sin \frac{n \pi x}{l}\right),  a \leq x \leq b\]
\end{enumerate}
上面的展开式系数
\begin{align*}
    a_n & = \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \cos \frac{n \pi x}{l} \dif x = \frac{2}{a - b} \int_a^b f(x) \cos \frac{n \pi x}{l}\dif x, n = 0, 1, 2,\dots\\
    b_n & = \frac{1}{l} \int_{-l}^l f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \dif x = \frac{2}{a - b} \int_a^b f(x) \sin \frac{n \pi x}{l} \dif x,  n = 1, 2, \dots
\end{align*}

\subsection{对称延拓}
给定函数$f:[0, l] \to \realnum$，将其对称延拓为$f: [-l, l] \to \realnum$。

\begin{enumerate}
    \item 若延拓为奇函数，则$a_n = \dfrac{1}{l} \dint_{-l}^l f(x) \cos \dfrac{n \pi x}{l} \dif x = 0, n = 0, 1, 2, \dots$，因此
    \[f(x) \sim \sum_{n = 1}^\infty b_n \sin \frac{n \pi x}{l}, 0 \leq x \leq l\]
    我们得到的是一个正弦级数；
    \item 若延拓为偶函数，则$b_n = \dfrac{1}{l} \dint_{-l}^l f(x) \sin \dfrac{n \pi x}{l} \dif x = 0, n = 1, 2, \dots$，因此
    \[f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \cos \frac{n \pi x}{l}, 0 \leq x \leq l\]
    我们得到的是一个余弦级数。
\end{enumerate}

\section{Fourier级数的平均收敛}
\begin{definition}[三角多项式]
    \[T_N(x) = \frac{\alpha_0}{2} + \sum_{n = 1}^N (\alpha_n \cos nx + \beta_n \sin nx)\]
    称为$N$次三角多项式（周期$2\pi$）。
\end{definition}

问题：给定函数$f \in R[-\pi, \pi]$（或其它$2\pi$周期函数），用$N$次三角多项式逼近$f$，如何才能使得区间上平均误差
\[\norm{f - T_N}^2 := \int_{-\pi}^\pi \abs{f(x) - F_N(x)}^2 \dif x\]
达到最小？

综合结论：
\begin{proposition}
    用$N$次三角多项式逼近函数$f \in R[-\pi, \pi]$（或周期函数），取其Fourier展开系数
    \[T_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^N (a_n \cos nx + b_n \sin nx)\]
    这时区间上平均误差$\norm{f - F_N}^2$最小。
\end{proposition}

\begin{proposition}[Bessel不等式]
    $f(x)$的Fourier展开系数满足：对任意的$N$，
    \[\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n = 1}^N (a_n^2 + b_n^2) \leq \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) \dif x\]

    进一步，只要$f(x)$可积，不等式右端为定值，因而$f(x)$的Fourier系数级数一致收敛，进而$f(x)$的Fourier级数一致收敛。
\end{proposition}

\begin{proposition}[Parseval等式]
    若$f(x)$满足收敛定理条件，还成立等式
    \[\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f^2(x) \dif x \eqper\]
\end{proposition}
