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\chapter{曲面积分}
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\section{曲面的面积}
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\begin{definition}
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设正则曲面$\Sigma$有参数向量方程$\bvec{r} = \bvec{r}(u, v)$，$(u, v) \in \Delta$，我们成
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\[\sigma(\Sigma) = \iint \limits_{\Delta} \norm{\bvec{r}_u \times \bvec{r}_v} \dif u \dif v\]
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为曲面$\Sigma$的面积，并且记
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\[\dif \sigma = \norm{\bvec{r}_u \times \bvec{r}_v} \dif u \dif v\]
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称$\dif \sigma$为曲面的面积元素，简称面元。
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\end{definition}
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\section{第一型曲面积分}
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\begin{definition}
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设$\Sigma$是一张可求面积的曲面片，$f$是定义在$\Sigma$上的函数，分割$\pi$把$\Sigma$分成若干更小的曲面片$S_1, S_2, \dots, S_n$。定义分割$\pi$的宽度为$\norm{\pi} = \max \{\diam S_i: i = 1, 2, \dots, n\}$在每一小片$S_i$任取一点$\bvec{p}_i$，如果和数
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\[\sum_{i = 1}^n f(\bvec{p}_i) \sigma(S_i)\]
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当$\norm{\pi} \to 0$时有有限的极限，并且其极限值不依赖点$\bvec{p}_i$在$S_i$上的选择，那么称这个极限值为函数$f$沿曲面$\Sigma$的第一型曲面，记作
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\[\int \limits_\Sigma f \dif \sigma\eqper\]
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\end{definition}
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如果$\Sigma$是正则曲面，它的参数方程为
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\[\bvec{r} = \bvec{r}(u, v): \begin{cases}
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x = x(u, v)\\
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y = y(u, v)\\
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z = z(u, v)
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\end{cases} (u, v) \in \Delta\]
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那么
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\[\int \limits_{\Sigma} f \dif \sigma = \iint \limits_\Delta f \circ \bvec{r} \norm{\bvec{r}_u \times \bvec{r}_v} \dif u \dif v\]
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如果利用第一基本量
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\[A = \frac{\partial (y, z)}{\partial (u, v)}, B = \frac{\partial (z, x)}{\partial (u, v)}, C = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}\]
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那么还有
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\begin{align*}
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\int \limits_\Sigma f \dif \sigma & = \iint \limits_{\Delta} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \dif u \dif v\\
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& = \iint \limits_\Delta f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{EG - F^2} \dif u \dif v\eqper
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\end{align*}
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如果曲面$\Sigma$有方程$z = z(x, y), (x, y) \in \Delta$，其中$\Delta$为$S$在$xy$平面上的投影区域。那么
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\[\int \limits_\Sigma f \dif \sigma = \iint \limits_\Delta f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + \left(\pdv{z}{x}\right)^2 + \left(\pdv{z}{y}\right)^2} \dif x \dif y\eqper\]
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\section{第二型曲面积分}
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首先我们要引入定向曲面的概念。
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任何正则曲面片都是可定向的。设
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\[\Sigma: \bvec{r} = \bvec{r}(u, v), (u, v) \in \Delta\]
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是一块正则曲面片。在曲面$\Sigma$各处有确定的法向量。向量
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\[\pm \frac{\bvec{r}_u \times \bvec{r}_v}{\norm{\bvec{r}_u \times \bvec{r}_v}}\]
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都是单位法向量。我们的可以指定其中的任何一个作为$\Sigma$的正方向。
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当参数$(u, v)$在$\Delta$上连续变化时，这指定的单位法向量在$\Sigma$上也连续变化，不会突然转到相反的方向上去。我们约定把曲面$\Sigma$正法线指向的一侧叫做$\Sigma$的正侧，相反的那一侧叫做负侧。凡是能明确地区分正、负两侧的曲面，叫做双侧曲面。正则曲面一定是双侧曲面，因此我们说它是可定向的。
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一旦一个曲面片的正向确定了，它的边界曲线也随之定了方向。规则是：当一个人站在正侧沿边界正向绕行时，曲面片的内部应在人的左手边，只有在曲面的定向雨它的边界曲线的定向符合这一规则时，称它们的定向是协调的。
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\begin{definition}
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设区域$D \subset \realnum^3$，$\bvec{F}: D \to \realnum^3$是$D$上的连续向量场。设$\Sigma \subset D$是一张有面积且可定向的曲面片。$\bvec{n}(x, y, z)$是曲面的正向单位法向量。再定义有向面积微元
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\[\dif \bvec{S} = \bvec{n} \dif S\]
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那么称积分
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\[\iint \limits_{\Sigma} \bvec{F}(x, y, z) \cdot \bvec{n}(x, y, z) \dif \sigma = \int \limits_\Sigma \bvec{F} \cdot \dif \bvec{\sigma}\]
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为$\bvec{F}$在有向曲面$\Sigma$上的第二型曲面积分。
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\end{definition}
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第二型曲面积分还有其它的表达方式。设$\bvec{F} = (P, Q, R)$，正法向量
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\[\bvec{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\]
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其中$\alpha, \beta, \gamma$分别是$\bvec{n}$与$x$轴，$y$轴，$z$轴的正向的夹角。那么
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\[\iint \limits_{\Sigma} \bvec{F}(x, y, z) \cdot \bvec{n}(x, y, z) \dif \sigma = \int \limits_{\Sigma} (P\cos \alpha + Q\cos \beta + Z \cos \gamma) \dif \sigma\]
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再记
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\begin{align*}
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\dif y \wedge \dif z = \cos \alpha \dif \sigma\\
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\dif z \wedge \dif x = \cos \beta \dif \sigma\\
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\dif x \wedge \dif y = \cos \gamma \dif \sigma
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\end{align*}
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那么上式可以改写为
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\[\iint \limits_\Sigma P \dif y \wedge \dif z + Q \dif z \wedge \dif x + R \dif x \wedge \dif y\]
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考察正则曲面$\Sigma$：
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\[\bvec{r} = \bvec{r}(u, v): \begin{cases}
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x = x(u, v)\\
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y = y(u, v)\\
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z = z(u, v)
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\end{cases}, (u, v) \in \Delta\]
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这时，曲面$\Sigma$的单位法向量是
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\[\bvec{n} = \pm \frac{A\bvec{i} + B \bvec{j} + C \bvec{k}}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]
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选择正负号应使得$n$的方向与预先指定的正方向一致。我们已经有
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\[\dif \sigma = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \dif u \dif v\]
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因此
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\[\dif \bvec{\sigma} = \pm \left(A\bvec{i} + B \bvec{j} + C \bvec{k}\right) \dif u \dif v\]
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于是
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\begin{align*}
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\iint \limits_\Sigma \bvec{F} \cdot \dif \bvec{\sigma} & = \pm \iint \limits_\Delta \left(P\circ \bvec{r} A + Q\circ \bvec{r} B + R\circ \bvec{r} C\right)\dif u \dif v\\
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& = \pm \iint \limits_\Delta \left(P(\bvec{r}(u, v)) \frac{\partial (y, z)}{\partial (u, v)} + Q(\bvec{r}(u, v)) \frac{\partial (z, x)}{\partial (u, v)} + R(\bvec{r}(u, v)) \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}\right) \dif u \dif v\\
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& = \pm \iint \limits_\Delta \begin{vmatrix}
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P \circ \bvec{r} & Q \circ \bvec{r} & R \circ \bvec{r}\\[1ex]
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\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial u}\\[1em]
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\dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial v}\\[1ex]
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\end{vmatrix}
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\dif u \dif v\eqper
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\end{align*}
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如果曲面$\Sigma$有显示表达$z = f(x, y), (x, y) \in D$，那么
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\[\iint \limits_\Sigma \bvec{F} \cdot \dif \bvec{\sigma} = \pm \iint \limits_{D} \left(-P \pdv{f}{x} - Q \pdv{f}{y} + R\right) \dif x \dif y\eqper\]
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\section{Gauss公式和Stokes公式}
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\begin{theorem}[Gauss公式]
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设$\Omega$为空间有界闭区域，其边界$S$是分片光滑有向曲面。若向量场$\bvec{v} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$在$\Omega$内连续可微，在$S$上连续，则有
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\[\iint \limits_{\partial \Omega} P \dif y \wedge \dif z + Q \dif z \wedge \dif x + R \dif x \wedge \dif z = \iiint \limits_{\Omega} \left(\pdv{P}{x} + \pdv{Q}{y} + \pdv{R}{z}\right) \dif x \dif y \dif z\eqper\]
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\end{theorem}
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Gauss公式将一个空间比曲面上的第二型曲面积分与闭曲面所围的空间区域上的三重积分联系起来。
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\begin{theorem}[Stokes公式]
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设$\bvec{v} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))$是区域$\Omega$的连续可微向量场，$S$是区域$\Omega$內的分片光滑有向曲面，其边界$\partial S$为分段光滑有向曲线，则有
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\[\int \limits_{\partial S} P \dif x + Q \dif y + R \dif z = \iint \limits_S \left(\pdv{R}{y} - \pdv{Q}{z}\right) \dif y \dif z + \left(\pdv{P}{z} - \pdv{R}{x}\right) \dif z \dif x + \left(\pdv{Q}{x} - \pdv{P}{y}\right) \dif x \dif y\eqper\]
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应用行列式的写法，Stokes公式可以表示为
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\[\int \limits_{\partial S} X \dif x + Y \dif y + Z \dif z = \iint \limits_{\Sigma}
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\begin{vmatrix}
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\dif y \dif y & \dif z \dif x & \dif x \dif y\\[1ex]
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\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\[1em]
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P & Q & R
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\end{vmatrix} \eqper\]
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\end{theorem}
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Stokes公式将空间曲面上的第二型曲面积分与曲面边界上的第二型曲线积分联系起来。 |