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\chapter{多重积分}
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\section{矩形区域上的积分}
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\begin{definition}[二重积分]
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设$I$是$\realnum^2$中的闭矩形，$I = [a, b] \times [c, d]$。作$[a, b]$的分割
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\[\pi_x: a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\]
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又作$[c, d]$的分割
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\[\pi_y: c = y_0 < y_1 < \dots < y_m = d\]
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两组平行线把$I$分割成$k = n \times m$个子矩形
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\[[x_{i - 1}, x_i] \times [y_{j - 1}, y_j], i = 1, 2, \dots, n, j = 1, 2, \dots, m\]
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这$k$个子矩形的全体组成$I$的一个分割$\pi = \pi_x \times \pi_y$，用一定的次序重排这$k$个子矩形，将它们编号为$I_1, I_2, \dots, I_k$，在每一个$I_i$中任取一点$\xi_i(i = 1, 2, \dots, k)$，作积分和（也称Riemann和）
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\[\sum_{i = 1}^k f(\xi_i) \sigma(I_i)\]
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记
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\[\norm{\pi} = \max\{\diam (I_1), \dots, \diam(I_k)\}\]
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这里$\diam(I_i)$是矩形$I_i$对角线的长度，称$\norm{\pi}$为分割$\pi$的宽度；$\sigma(I_i)$表示矩形$I_i$的面积。
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如果存在数$A$使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，有$\delta > 0$，凡是$\norm{\pi} < \delta$时，不论值点$\xi_i$在子矩形$I_i$中如何选择，都有
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\[\abs{\sum_{i = 1}^k f(\xi_i) \sigma(I_i) - A} < \varepsilon\]
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则称函数$f$在矩形$I$上可积，并将$A$写作
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\[\iint \limits_I f(x, y) \dif x \dif y \qquad \text{或者} \qquad \int \limits_I f \dif \sigma\]
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称之为$f$在矩形$I$上的二重积分，或简称$f$在$I$上的积分。这里$f$称为被积函数，$I$称为积分区域。
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\end{definition}
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\begin{theorem}[可积函数的有界性]
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如果$f$在$I$上可积，那么$f$必在$I$上有界。
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\end{theorem}
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\begin{theorem}[可积函数线性性质]
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设$f, g \in R(D)$，$\alpha, \beta \in \realnum$，则$\alpha f + \beta g \in R(D)$，且
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\[\int \limits_D (\alpha f + \beta g) \dif \sigma = \alpha \int \limits_D f \dif \sigma + \beta \int \limits_D g \dif \sigma\eqper\]
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\end{theorem}
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\begin{theorem}
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若$f$和$g$在$I$上可积且$f \geq g$，那么
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\[\int \limits_I f \dif \sigma \geq \int \limits_I g \dif \sigma\eqper\]
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\end{theorem}
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\begin{theorem}
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设$D = D_1 \cup D_2$，且$D_1$与$D_2$没有公共内点，若$f(x, y) \in R(D)$，则$f(x, y) \in R(D_1), f(x, y) \in R(D_2)$，且
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\[\iint \limits_D f(x, y) \dif \sigma = \iint \limits_{D_1} f(x, y) \dif \sigma + \iint \limits_{D_2} f(x, y) \dif \sigma\eqper\]
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\end{theorem}
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\begin{theorem}
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若$f(x, y) \in R(D)$，则$\abs{f(x, y)} \in R(D)$，并且有
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\[\abs{\iint \limits_D f(x, y) \dif \sigma} \leq \iint \limits_D \abs{f(x, y)} \dif \sigma\eqper\]
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\end{theorem}
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\begin{theorem}
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若$f(x, y) \in R(D)$，则$f$有界，设$m \leq f(x, y) \leq M$，则有
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\[m \sigma(D) \leq \iint \limits_D f(x, y) \dif \sigma \leq M \sigma(D)\eqper\]
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\end{theorem}
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\begin{theorem}[积分中值定理]
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$D \subset \realnum^2$连通、有界闭，$\partial D$为零面积集，$f \in C(D)$，则存在$(\xi, \eta) \in D$，满足
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\[\iint \limits_D f(x, y) \sigma = f(\xi, \eta) \sigma(D)\eqper\]
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\end{theorem}
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\begin{theorem}
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$D \subset \realnum^2$为连通有界闭集，$\partial D$为零面积集，$g$在$D$上不变号，$f, g \in C(D)$。则存在$(\xi, \eta) \in D$，满足
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\[\iint \limits_D f(x, y) g(x, y) \dif \sigma = f(\xi, \eta) \iint \limits_D g(x, y) \dif \sigma\]
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\end{theorem}
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\begin{theorem}
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设$f \in R(D)$，$D$关于$OX$轴对称，则
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\begin{itemize}
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\item 若$f(x, y)$关于$y$为己函数，则$\displaystyle\iint \limits_D f(x, y) \dif \sigma = 0$;
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\item 若$f(x, y)$关于$y$为偶函数，记$D_1$为$D$位于$OX$轴上方的部分，则$\displaystyle\iint \limits_D f(x, y) \dif \sigma = 2 \iint \limits_{D_1} f(x, y) \dif \sigma$。
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\end{itemize}
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\end{theorem}
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\begin{theorem}[轮换不变性]
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若$D \subset \realnum^2$关于$x, y$是轮换对称的，即$(x, y) \in D \Leftrightarrow (y, x) \in D$，则
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\[\iint \limits_D f(x, y) \dif \sigma = \iint \limits_D f(y, x) \dif \sigma\eqper\]
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\end{theorem} |