# FEC 参数决策说明

本文的 FEC 参数决策可以理解为一个反馈闭环：解码端统计近期丢包模式，控制器估计三状态丢包模型参数，再在延迟约束和残余丢包率约束下搜索编码参数。

下面用 `d` 表示交织深度，也就是代码里的 `gap` 和论文中的交织深度；用 `k` 表示每列保护的数据包数，也就是代码搜索时的 `n`，最终下发为 `protection_num`。

## 1. 从测量值估计 p21、p23、p33

解码端通过全局序列号检测丢包，并在滑动窗口内把丢包段按长度分成三类：

- `total`：统计窗口内的数据包总数。
- `loss_1`：长度为 1 的丢包段数量，即孤立丢包。
- `loss_2`：长度为 2 的连续丢包段数量。
- `loss_3`：长度大于等于 3 的连续丢包段数量。

控制器用这些统计量估计三状态模型中的三个概率：

- `p21`：从正常状态进入孤立丢包状态的概率。
- `p23`：从正常状态进入连续突发丢包状态的概率。
- `p33`：突发丢包继续的概率。

代码首先估计 `p33`：

```text
loss_3_cal = max(loss_3, 1)
p33 = loss_3_cal / (loss_2 + loss_3_cal)
```

直观上，`p33` 表示突发丢包是否容易继续。如果长度大于等于 3 的丢包段越多，说明突发丢包越容易延续，因此 `p33` 越大。代码中把 `loss_3` 至少取为 1，是为了避免除零，并让低样本场景下的估计更保守。

然后估计 `p23`。代码分别从长度为 2 的突发段和长度大于等于 3 的突发段反推 `p23`：

```text
p23_a = loss_2 / (total * p33 * (1 - p33))
p23_b = loss_3_cal / (total * p33 * p33)
p23 = (p23_a + p23_b) / 2
```

对应的直觉是：

```text
loss_2 / total ≈ p23 * p33 * (1 - p33)
loss_3 / total ≈ p23 * p33^2
```

也就是说，长度为 2 或更长的连续丢包都来自“触发突发丢包”这件事，只是后续持续次数不同。控制器用两个观测量分别反推 `p23`，再取平均。

最后估计 `p21`：

```text
p21 = (loss_1 + loss_2 + loss_3_cal) / total - p23
```

其中：

```text
(loss_1 + loss_2 + loss_3_cal) / total
```

表示丢包事件段的总发生率。模型认为丢包事件要么是孤立丢包，要么是突发丢包，因此：

```text
总丢包事件率 ≈ p21 + p23
```

所以可以用总丢包事件率减去突发丢包触发概率 `p23`，得到孤立丢包触发概率 `p21`。

代码中还对概率做了截断，避免估计值在样本较少时过大或越界：

```text
p33 ∈ [0, 0.8]
p23_a ∈ [0, 0.8]
p23_b ∈ [0, 0.8]
p21 ∈ [0, 1]
```

## 2. lambda 与这些概率的关系

估计出 `p21` 和 `p23` 后，代码定义：

```text
lambda = p21 + p23
```

代码中变量名是：

```text
loss_happen_rate = p21 + p23
```

`lambda` 的意义是：在当前统计窗口和三状态模型下，一个新的丢包事件发生的概率。这里的“丢包事件”不是单个丢包包，而是一次丢包段的开始：

- 如果进入 `S1`，表示发生一次孤立丢包。
- 如果进入 `S3`，表示发生一次连续突发丢包。

因此：

```text
lambda = 孤立丢包触发概率 + 突发丢包触发概率
       = p21 + p23
```

在后续参数搜索中，`lambda` 被用来估计一个保护单元里出现多个丢包事件的概率。因为 XOR FEC 每列只有一个冗余包，所以每列最多恢复一个丢包；如果同一列里出现两个或更多丢包事件，就可能产生残余丢包。

## 3. 有了 lambda 后如何搜索最高的 d、k

FEC 编码矩阵由两个参数决定：

- `d`：交织深度，决定有多少列。
- `k`：每列保护的数据包数，决定每列有多少个数据包参与 XOR。

每个编码组包含：

```text
d * k 个数据包 + d 个冗余包
```

代码会枚举：

```text
d ∈ {1, 2, 3, 4}
```

对每个 `d`，搜索满足约束的最大 `k`。

### 3.1 延迟约束

代码设置延迟阈值：

```text
delay_th_ms = 20ms
```

对于给定的交织深度 `d`，每列保护的数据包数 `k` 不能太大，否则要等更多数据包到齐才能生成和接收冗余包，恢复等待时间会变长。

代码用吞吐量 `rx_thpt` 和当前丢包率 `loss_rate` 估计 `k` 的上限：

```text
up_limit = delay_th_ms / 1000 * rx_thpt / (1 - loss_rate) / d
```

含义是：在 20ms 的等待时间预算里，按照当前接收速率最多能容纳多少个被保护的数据包。`d` 越大，同一个编码组跨越的包越多，所以每列允许的 `k` 越小。

### 3.2 残余丢包率约束

代码设置目标残余丢包阈值：

```text
loss_th = 0.01
```

也就是目标残余丢包率为 1%。

恢复失败风险分成两部分：

第一部分是长突发风险。交织深度 `d` 可以把长度不超过 `d` 的连续丢包打散；如果突发长度超过 `d`，就可能仍然无法恢复。代码用下面的式子估计这部分风险：

```text
p_burst_fail = p23 * p33^d
```

第二部分是随机多丢包风险。对于一列中 `k` 个受保护数据包，如果发生 0 次或 1 次丢包事件，XOR 可以恢复；如果发生 2 次及以上，就可能恢复失败。代码用下面的近似式估计：

```text
alpha_random = 1
             - (1 - lambda)^k
             - k * lambda * (1 - lambda)^k
```

它的含义是：

```text
alpha_random ≈ 1 - P(0 次丢包事件) - P(1 次丢包事件)
             ≈ P(至少 2 次丢包事件)
```

因此，对于每个候选 `d`，代码给随机多丢包风险留下的预算是：

```text
alpha_random_th = loss_th / 2 - p23 * p33^d
```

如果：

```text
alpha_random < alpha_random_th
```

则说明当前 `k` 在残余丢包约束下是可接受的。

### 3.3 搜索过程

整体搜索过程可以写成：

```text
for d in 1..=4:
    根据 20ms 延迟阈值计算 up_limit
    根据长突发风险计算 alpha_random_th
    如果 alpha_random_th < 0:
        当前 d 不可行
    否则从 up_limit 向下枚举 k:
        计算 alpha_random
        如果 alpha_random < alpha_random_th:
            记录当前 d 下最大的 k
            break
```

最后，代码在所有可行的 `(d, k)` 中选择 `k` 最大的组合：

```text
interleave_depth = d
protection_num = k
```

如果所有候选都不可行，代码会进入兜底逻辑，使用：

```text
d = 5
k = clamp(20ms * rx_thpt / (1 - loss_rate) / 5, 1, 10)
```

如果估计出的丢包事件发生率非常低：

```text
lambda < 0.001
```

则认为链路质量足够好，直接关闭 FEC：

```text
d = 0
k = 0
```

## 答辩页一句话版本

解码端先把近期丢包压缩成孤立丢包、短突发丢包和长突发丢包三类统计量；控制器据此估计三状态丢包模型中的 `p21`、`p23` 和 `p33`，并得到丢包事件发生率 `lambda = p21 + p23`。随后，控制器枚举交织深度 `d`，在 20ms 延迟约束和 1% 残余丢包率约束下搜索最大的保护长度 `k`，最终将 `(d, k)` 下发给编码端作为下一组 FEC 参数。
