02格式优化。

02CombinatorialTools.tex

@@ -6,12 +6,15 @@
 阶乘的估算：$n!$随$n$的增大增长迅速。粗略地估计，有$2^{n-1} \leq n! \leq n^{n-1}$。
 
 Striling给出了一个近似公式：$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$。
+
 思路：左边取对数：
 \begin{equation*}
     \sum \ln{n} \approx \int_1^n \ln{x} \dif x = n \ln{n} - n + 1 \eqper
 \end{equation*}
+$n\ln{n}$即为$\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$取对数，$\sqrt{2 \pi n}$则是一个为了弥补积分与黎曼和的差距的系数。
 
 相对误差：$\toinf \dfrac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} = 1$；
+
 绝对误差：$\toinf \left[n! - \sqrt{2 \pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n\right] = +\infty$。
 
 \section{容斥原理}
@@ -206,4 +209,6 @@ Striling给出了一个近似公式：$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\
             & = 1 - \left(1 - \dfrac{1}{365}\right) \left(1 - \dfrac{2}{365}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{n-1}{365}\right)\eqper
         \end{aligned}
     \end{equation*}
+
+    当$n=22$时，$P(n)$就已经达到了47.57\%；当当$n=70$时，$P(n)$则为99.92\%。
 \end{proof}