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2022-12-13 18:27:07 +08:00
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30
04FibonacciNumbers.tex
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@@ -16,10 +16,10 @@ Fibonacci是递推关系的一个典型问题，这个数列本身也有很多
\begin{proposition}
设$\{F_n\}$为Fibonacci数列，那么：
\begin{enumerate}
\item $F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} -1$；
\item $F_1 + F_3 + \cdots + F_{2n-1} = F_{2n}$；
\item $F_0 - F_1 + F_2 - F_3 + \cdots - F_{2n-1} + F_{2n} = F_{2n-1} - 1$；
\item $F_1^2 + F_2^2 + \cdots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$；
\item $F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} -1$；
\item $F_1 + F_3 + \dots + F_{2n-1} = F_{2n}$；
\item $F_0 - F_1 + F_2 - F_3 + \dots - F_{2n-1} + F_{2n} = F_{2n-1} - 1$；
\item $F_1^2 + F_2^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$；
\item $F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n$；
\item $F_n^2 + F_{n-1}^2 = F_{2n-1}$；
\item $F_{n+1}F_n + F_nF_{n-1} = F_{2n}$。
@@ -29,43 +29,43 @@ Fibonacci是递推关系的一个典型问题，这个数列本身也有很多
下面依次证明这些性质。
\begin{enumerate}
\item 对等式$F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} -1$：
\item 对等式$F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} -1$：
\begin{proof}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
F_n & = F_{n+2} - F_{n+1}\\
F_{n-1} & = F_{n+1} - F_n\\
&\cdots\\
&\dots\\
F_1 & = F_3 - F_2
\end{aligned}
\end{equation*}
累加所有的式子，得到
\[F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} -1 \eqper\qedhere\]
\[F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} -1 \eqper\qedhere\]
\end{proof}
\item 对等式$F_1 + F_3 + \cdots + F_{2n-1} = F_{2n}$：
\item 对等式$F_1 + F_3 + \dots + F_{2n-1} = F_{2n}$：
\begin{proof}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
F_{2n-1} & = F_{2n} - F_{2n-2}\\
F_{2n-3} & = F_{2n-2} - F_{2n-4}\\
& \cdots \\
& \dots \\
F_1 & = F_2 - F_0
\end{aligned}
\end{equation*}
累加所有的式子，得到
\[F_1 + F_3 + \cdots + F_{2n-1} = F_{2n} - F_0 = F_{2n} \eqper\qedhere\]
\[F_1 + F_3 + \dots + F_{2n-1} = F_{2n} - F_0 = F_{2n} \eqper\qedhere\]
\end{proof}
\item 对等式$F_0 - F_1 + F_2 - F_3 + \cdots - F_{2n-1} + F_{2n} = F_{2n-1} - 1$：
\item 对等式$F_0 - F_1 + F_2 - F_3 + \dots - F_{2n-1} + F_{2n} = F_{2n-1} - 1$：
\begin{proof}
将式子1减去式子2的两倍即可得证。
\end{proof}
\item 对等式$F_1^2 + F_2^2 + \cdots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$：
\item 对等式$F_1^2 + F_2^2 + \dots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$：
\begin{proof}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
F_n^2 & = F_n(F_{n+1} - F_{n-1}) = F_nF_{n+1} - F_nF_{n-1}\\
F_{n-1}^2 & = F_{n-1}F_n - F_{n-1}F_{n-2}\\
& \cdots \\
& \dots \\
F_1^2 & = F_1F_2 - F_1F_0
\end{aligned}
\end{equation*}
@@ -138,7 +138,7 @@ Fibonacci是递推关系的一个典型问题，这个数列本身也有很多
E_4 & = 3A + 5B\\
E_5 & = 5A + 8B\\
E_6 & = 8A + 13B\\
& \cdots \\
& \dots \\
E_n & = F_{n-1}A + F_nB
\end{aligned}
\end{equation*}
@@ -214,5 +214,5 @@ Fibonacci是递推关系的一个典型问题，这个数列本身也有很多
其中$a_i = 0, 1$，且$a_ia_{i+1} = 0$（即连续两项至少有一个为零）。例如：
\[11 = F_6 + F_4 = 8 + 3 \eqper\]
这种用Fibonacci的表示可以写成一个五位数：10100。
\item 有所谓的Fibonacci方形，即边长为$F_n$的正方形，可以由$F_i \times F_{i+1}, i = 1, 2, \cdots, n-1$的矩形拼接而成。
\item 有所谓的Fibonacci方形，即边长为$F_n$的正方形，可以由$F_i \times F_{i+1}, i = 1, 2, \dots, n-1$的矩形拼接而成。
\end{enumerate}