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2023-01-04 12:36:04 +08:00
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4
03Binome.tex
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@@ -108,13 +108,13 @@
\item $\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{1} + \dots + \dbinom{n}{n} = 2^n$； \item $\dbinom{n}{0} + \dbinom{n}{1} + \dots + \dbinom{n}{n} = 2^n$；
\item $\dbinom{n}{0} - \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{2} - \dots + (-1)^n \dbinom{n}{n} = 0$； \item $\dbinom{n}{0} - \dbinom{n}{1} + \dbinom{n}{2} - \dots + (-1)^n \dbinom{n}{n} = 0$；
\item $\dbinom{n+m}{k} = \dbinom{n}{0}\dbinom{m}{k} + \dbinom{n}{1}\dbinom{m}{k-1} + \dots + \dbinom{n}{k}\dbinom{m}{0}, k \leq \min (m,n)$； \item $\dbinom{n+m}{k} = \dbinom{n}{0}\dbinom{m}{k} + \dbinom{n}{1}\dbinom{m}{k-1} + \dots + \dbinom{n}{k}\dbinom{m}{0}, k \leq \min (m,n)$；
\item $\dbinom{m+n}{m} = \dbinom{m}{0} \dbinom{n}{0} + \dbinom{m}{1} \dbinom{n}{1} + \dots + \binom{m}{m} \dbinom{n}{m}, m \leq n$； \item $\dbinom{m+n}{m} = \dbinom{m}{0} \dbinom{n}{0} + \dbinom{m}{1} \dbinom{n}{1} + \dots + \dbinom{m}{m} \dbinom{n}{m}, m \leq n$；
\item $\dbinom{n+k+1}{k} = \dbinom{n+k}{k} + \dbinom{n+k-1}{k-1} + \dbinom{n+k-2}{k-2} + \dots + \dbinom{n+1}{1} + \dbinom{n}{0}$； \item $\dbinom{n+k+1}{k} = \dbinom{n+k}{k} + \dbinom{n+k-1}{k-1} + \dbinom{n+k-2}{k-2} + \dots + \dbinom{n+1}{1} + \dbinom{n}{0}$；
\item $\dbinom{n}{k}\dbinom{k}{r} = \dbinom{n}{r}\dbinom{n-r}{k-r}, k \geq r$。 \item $\dbinom{n}{k}\dbinom{k}{r} = \dbinom{n}{r}\dbinom{n-r}{k-r}, k \geq r$。
\end{enumerate} \end{enumerate}
\section{鸟瞰贾宪三角} \section{鸟瞰贾宪三角}
贾宪三角中的每一行都是从1开始单调增加到终点，然后单调减少到一。 贾宪三角中的每一行都是从1开始单调增加到中点，然后单调减少到一。
问题：贾宪三角的第$n$行的最大值多大？ 问题：贾宪三角的第$n$行的最大值多大？

7
06IntergersDivisorsAndPrimes.tex
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@@ -48,9 +48,9 @@
由定义\ref{Definition of prime and composite}可以知道，正整数集合可分为三类：素数、合数和1。素数通常用$p$或$p_1, p_2, \dots$来表示。 由定义\ref{Definition of prime and composite}可以知道，正整数集合可分为三类：素数、合数和1。素数通常用$p$或$p_1, p_2, \dots$来表示。
\section{整数分解} \section{整数分解}
整数分解唯一性定理也称为算数基本定理。 整数分解唯一性定理也称为算术基本定理。
\begin{theorem}[代数基本定理] \begin{theorem}[算术基本定理]
每个大于1的正整数均可分解成有限个素数之积，并且若不计素因数的次序，其分解是唯一的。 每个大于1的正整数均可分解成有限个素数之积，并且若不计素因数的次序，其分解是唯一的。
\end{theorem} \end{theorem}
@@ -480,7 +480,7 @@ Mon为单位元：$\mathrm{Wed} \times \mathrm{Mon} = \mathrm{Wed}$。
\end{multicols} \end{multicols}
现在我们考虑在七元域中的除法。对于$2\div 3 \pmod{7}$，我们有 现在我们考虑在七元域中的除法。对于$2\div 3 \pmod{7}$，我们有
\[2/3 \pmod{7} = 2 \times(1/3\pmod{7})\] \[2/3 \pmod{7} = 2 \times 1/3\pmod{7}\]
于是我们需要找到$X$满足 于是我们需要找到$X$满足
\[1/3 \equiv X \pmod{7}\] \[1/3 \equiv X \pmod{7}\]
考虑到除法是乘法的逆运算，上面的除法式子代表着 考虑到除法是乘法的逆运算，上面的除法式子代表着
@@ -589,6 +589,7 @@ Mon为单位元：$\mathrm{Wed} \times \mathrm{Mon} = \mathrm{Wed}$。
\[\lvert A_i \rvert = \dfrac{n}{p_i} \quad (i = 1, 2, \dots, k)\eqper\] \[\lvert A_i \rvert = \dfrac{n}{p_i} \quad (i = 1, 2, \dots, k)\eqper\]
\begin{align*} \begin{align*}
\lvert A_i \rvert & = \dfrac{n}{p_i} \quad (i = 1, 2, \dots, k)\\
\lvert A_i \cap A_j \rvert & = \frac{n}{p_ip_j},\ 1 \leq i < j \leq k\\ \lvert A_i \cap A_j \rvert & = \frac{n}{p_ip_j},\ 1 \leq i < j \leq k\\
\lvert A_h \cap A_i \cap A_j \rvert & = \frac{n}{p_hp_ip_j},\ 1 \leq h < i < j \leq k\\ \lvert A_h \cap A_i \cap A_j \rvert & = \frac{n}{p_hp_ip_j},\ 1 \leq h < i < j \leq k\\
\phi(n) = \lvert \setcom{A_1} \cap \setcom{A_2} \cap \dots \cap \setcom{A_k}\rvert & = n - \left(\frac{n}{p_1} + \frac{n}{p_2} + \dots + \frac{n}{p_k}\right)\\ \phi(n) = \lvert \setcom{A_1} \cap \setcom{A_2} \cap \dots \cap \setcom{A_k}\rvert & = n - \left(\frac{n}{p_1} + \frac{n}{p_2} + \dots + \frac{n}{p_k}\right)\\

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07Graphs.tex
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@@ -197,7 +197,7 @@ $\left[a_{v,e}\right]_{\lvert V \rvert \times \lvert E \rvert}$称为图的关
\section{欧拉迹与哈密顿圈} \section{欧拉迹与哈密顿圈}
\subsection{欧拉回路} \subsection{欧拉回路}
\begin{definition} \begin{definition}
如果无鼓励顶点图$G$上有一条经过$G$的所有边一次且仅一次的迹，则称该迹为图$G$的\newnoun{Eular迹}{Eularian walk}。 如果无孤立顶点图$G$上有一条经过$G$的所有边一次且仅一次的迹，则称该迹为图$G$的\newnoun{Euler迹}{Eulerian walk}。
如果图$G$上有一条经过$G$的所有边一次且仅一次的回路，则称改回路为图$G$的Euler回路。 如果图$G$上有一条经过$G$的所有边一次且仅一次的回路，则称改回路为图$G$的Euler回路。
@@ -209,28 +209,28 @@ $\left[a_{v,e}\right]_{\lvert V \rvert \times \lvert E \rvert}$称为图的关
\end{theorem} \end{theorem}
\begin{corollary} \begin{corollary}
图$G$是Eular图等价于图$G$连通且所有顶点的度数皆为偶数。 图$G$是Euler图等价于图$G$连通且所有顶点的度数皆为偶数。
\end{corollary} \end{corollary}
\begin{proof} \begin{proof}
先证必要性：已知$G$有Eular迹，证明$G$连通且有零个或者两个奇数度的顶点。 先证必要性：已知$G$有Euler迹，证明$G$连通且有零个或者两个奇数度的顶点。
设$G$的Eular迹是点边序列$v_0 e_1 v_1 e_2 \dots e_k v_k$，其中的顶点可能重复但是边不重复。因为Eular迹经过了所有边，因此它一定经过了所有顶点，从而图$G$是连通的。 设$G$的Euler迹是点边序列$v_0 e_1 v_1 e_2 \dots e_k v_k$，其中的顶点可能重复但是边不重复。因为Euler迹经过了所有边，因此它一定经过了所有顶点，从而图$G$是连通的。
对于任意一个非端点的$v_i$，在Eular迹中每当$v_i$出现一次，必关联两条边（``有进必有出''），因此不论$v_i$重复出现多少次，$d(v_i)$一定是偶数。 对于任意一个非端点的$v_i$，在Euler迹中每当$v_i$出现一次，必关联两条边（``有进必有出''），因此不论$v_i$重复出现多少次，$d(v_i)$一定是偶数。
对于一个端点，若$v_0 = v_k$，则$d(v_0)$一定是偶数，即$G$中无奇数度的顶点。 对于一个端点，若$v_0 = v_k$，则$d(v_0)$一定是偶数，即$G$中无奇数度的顶点。
若$v_0 \neq v_k$，那么$d(v_0), d(v_k)$均为奇数，即$G$中有两个奇数项点。 若$v_0 \neq v_k$，那么$d(v_0), d(v_k)$均为奇数，即$G$中有两个奇数项点。
再证必要性：已知$G$连通且有零个或者两个奇数度的顶点，证明$G$有Eular迹。直接找出一条欧拉迹（Hierholzer's Algorithm）。 再证必要性：已知$G$连通且有零个或者两个奇数度的顶点，证明$G$有Euler迹。直接找出一条欧拉迹（Hierholzer's Algorithm）。
\begin{enumerate}[label=(\arabic{*})] \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
\item 若有两个奇数度的顶点，则从其中一个顶点开始构造一条迹，即从$v_0$出发经关联边$e_1$进入$v_1$，若$d(v_1)$为偶数，则必可由$v_1$再经关联边$e_2$进入$v_2$，如此下去，保证每个边最多只被取一次，由于$G$是连通的，因此必可到达另一奇数度顶点停下，得到一条迹$L_1$：$v_0 e_1 v_1 e_2 \dots e_k v_k$。 \item 若有两个奇数度的顶点，则从其中一个顶点开始构造一条迹，即从$v_0$出发经关联边$e_1$进入$v_1$，若$d(v_1)$为偶数，则必可由$v_1$再经关联边$e_2$进入$v_2$，如此下去，保证每个边最多只被取一次，由于$G$是连通的，因此必可到达另一奇数度顶点停下，得到一条迹$L_1$：$v_0 e_1 v_1 e_2 \dots e_k v_k$。
若$G$中没有奇数度的顶点，则从任一顶点$v_0$出发，用上述方法一定可以回到顶点$v_0$，得到一条闭迹。 若$G$中没有奇数度的顶点，则从任一顶点$v_0$出发，用上述方法一定可以回到顶点$v_0$，得到一条闭迹。
\item 若$L_1$通过了$G$的所有边，则$L_1$就是一条Eular迹。 \item 若$L_1$通过了$G$的所有边，则$L_1$就是一条Euler迹。
\item 否则$G$中去掉$L_1$的边后得到的子图$G^\prime$中每个顶点的度都为偶数，因为原来的图$G$是连通的，故$L_1$与$G^\prime$至少有一个顶点$v_i$重合，在$G^\prime$中以$v_i$为起点和终点重复（1）中的方法，得到闭迹$L_2$。 \item 否则$G$中去掉$L_1$的边后得到的子图$G^\prime$中每个顶点的度都为偶数，因为原来的图$G$是连通的，故$L_1$与$G^\prime$至少有一个顶点$v_i$重合，在$G^\prime$中以$v_i$为起点和终点重复（1）中的方法，得到闭迹$L_2$。
\item 将$L_1$与$L_2$组合，若恰好为$G$，则找到了Eular迹；否则重复（3），可得到闭迹$L_3$，依此类推可以得到一条欧拉迹。\qedhere \item 将$L_1$与$L_2$组合，若恰好为$G$，则找到了Euler迹；否则重复（3），可得到闭迹$L_3$，依此类推可以得到一条欧拉迹。\qedhere
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proof} \end{proof}

4
08Trees.tex
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@@ -23,7 +23,7 @@
\end{theorem} \end{theorem}
\begin{definition} \begin{definition}
对$G$中的一条边$e$，若$c(G-e) > c(G)$则称$e$为是图$G$的一个\newnoun{桥}{bridge}。 对$G$中的一条边$e$，若$c(G-e) > c(G)$则称$e$为图$G$的一个\newnoun{桥}{bridge}。
\end{definition} \end{definition}
\begin{theorem} \begin{theorem}
@@ -243,7 +243,7 @@
在这里，我们可以看到$n-2$位的$n$元Prüfer code与$n$个顶点的树一一对应。由此，我们可以证明定理\ref{Cayley's Theorem}的正确性，因为Prüfer code 有$n^{n-2}$种。 在这里，我们可以看到$n-2$位的$n$元Prüfer code与$n$个顶点的树一一对应。由此，我们可以证明定理\ref{Cayley's Theorem}的正确性，因为Prüfer code 有$n^{n-2}$种。
\section{无编号树的数量} \section{无编号树的数量}
至今我们还没有办法得知给定端点树的无编号树的数量的具体值。 至今我们还没有办法得知给定端点数的无编号树的数量的具体值。
\begin{theorem} \begin{theorem}
无编号$n$顶点树的数量$T_n$满足 无编号$n$顶点树的数量$T_n$满足
\[\frac{n^{n-2}}{n} \leq T_n \leq \binom{2n-4}{n-2}\eqper\] \[\frac{n^{n-2}}{n} \leq T_n \leq \binom{2n-4}{n-2}\eqper\]

4
12EulersFormula.tex
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@@ -79,7 +79,7 @@
\end{proof} \end{proof}
\section{欧拉公式} \section{欧拉公式}
\begin{theorem}[Eular's Formula] \begin{theorem}[Euler's Formula]
设$G$为一连通平图，$v$为其顶点数，$e$为其边数，$f$为其面数，那么有 设$G$为一连通平图，$v$为其顶点数，$e$为其边数，$f$为其面数，那么有
\[v - e + f = 2\eqper\] \[v - e + f = 2\eqper\]
\end{theorem} \end{theorem}
@@ -99,7 +99,7 @@
\begin{proof} \begin{proof}
设$G$的边数为$f$，那么每一个面的度数都不小于3；同时各面的度数和为$2e$，这意味着 设$G$的边数为$f$，那么每一个面的度数都不小于3；同时各面的度数和为$2e$，这意味着
\[3f \leq \sum d(F) = 2e, f \leq \frac{2}{3}e\] \[3f \leq \sum d(F) = 2e, f \leq \frac{2}{3}e\]
代入Eular's Formula， 代入Euler's Formula，
\[2 = v - e + f \leq v - e + \frac{2}{3}e\] \[2 = v - e + f \leq v - e + \frac{2}{3}e\]
整理可得$e \leq 3v - 6$。 整理可得$e \leq 3v - 6$。
\end{proof} \end{proof}

4
13ColoringMapsAndGraphs.tex
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@@ -173,9 +173,9 @@
\section{地图染色与四色定理} \section{地图染色与四色定理}
将一个地图中相邻的国家染上不同的颜色，至少需要多少种颜色？ 将一个地图中相邻的国家染上不同的颜色，至少需要多少种颜色？
十九世纪中叶，英国人Guthrie提出了用四种颜色即可对地图着色的猜想，1879年Kempe给出这个猜想的第一个``证明''。但到1890年Heawood发现Kempe的证明是错误的，同时他指出Kempe的方法虽然不能证明地图着色用四种颜色就够了，但可证明用物种颜色就够了，即五色定理成立。 十九世纪中叶，英国人Guthrie提出了用四种颜色即可对地图着色的猜想，1879年Kempe给出这个猜想的第一个``证明''。但到1890年Heawood发现Kempe的证明是错误的，同时他指出Kempe的方法虽然不能证明地图着色用四种颜色就够了，但可证明用五种颜色就够了，即五色定理成立。
此后四色猜想一直是数学家感兴趣而且能解决的难题。直到1976年，美国数学家Appel和Haken宣布，在Koch的帮助下，他们利用电子计算机证明了四色猜想时成立的。因此现在四色猜想已经改称为``四色定理''了。 此后四色猜想一直是数学家感兴趣而且能解决的难题。直到1976年，美国数学家Appel和Haken宣布，在Koch的帮助下，他们利用电子计算机证明了四色猜想是成立的。因此现在四色猜想已经改称为``四色定理''了。
\begin{definition} \begin{definition}
对具有面$F_1, F_2, \dots, F_n$的平图$G = (V, E, V)$， 对具有面$F_1, F_2, \dots, F_n$的平图$G = (V, E, V)$，

2
离散数学.tex
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@@ -60,7 +60,7 @@
\author{} \author{}
\date{} \date{}
% linespread{1.5} % linespread{1.5}
% \includeonly{14FiniteGeometriesAndLatinSquares.tex} % \includeonly{09FindingTheOptimum.tex}
\begin{document} \begin{document}
\maketitle \maketitle