第一周。

07函数的积分.tex

@@ -576,6 +576,27 @@ C^n [a,b] = \{f \in C[a,b] \mid f^{(n)} \in C[a,b]\}\]
     当$p \leq 1$时无穷积分$\dint_a^{+\infty} \dfrac{\dif x}{x^p}$发散到无穷。
 \end{proof}
 
+\begin{example}\label{广义积分例子}
+    讨论广义积分$\dint_e^{+\infty} \dfrac{1}{x(\ln x)^p} \dif x$的收敛性。
+\end{example}
+
+\begin{proof}[解]
+    $p = 1$时，
+    \[\int_e^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^p} \dif x = \int_e^{+\infty} \frac{1}{\ln x} \dif \ln x = \eval{\ln \ln x}_e^{+\infty} = + \infty \eqper\]
+
+    $p \neq 1$时，
+    \begin{align*}
+        \int_e^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^p \dif x} & = \int_e^{+\infty} \frac{1}{(\ln x)^p} \dif \ln x\\
+        & = \eval{\frac{1}{1 - p}(\ln x)^{1 - p}}_e^{+\infty}\\
+        & = \begin{cases}
+            \frac{1}{p - 1}, p > 1\\
+            +\infty, p < 1
+        \end{cases}
+    \end{align*}
+
+    综上，$\dint_1^{+\infty} \frac{1}{x (\ln x)^p} \dif x$当$p > 1$时收敛，当$p \leq 1$时发散。
+\end{proof}
+
 \begin{theorem}[广义Newtown-Leibniz公式]
     设$f \in C[a,+\infty)$有原函数$F \in C[a,+\infty)$，则
     \[\int_a^{+\infty} f(x) \dif x = \eval{F(x)}_a^{+\infty} = \tolim{x}{+\infty} F(x) - F(a)\eqper\]