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2022-12-06 23:33:04 +08:00
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01实数和数列极限.tex
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@@ -13,11 +13,11 @@
\end{theorem}
\begin{definition}[上界、下界、有界、无界]
$A$为非空数集。若$\exists M \in \realnum$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \leq M$，则称$M$为$A$的一个\textbf{上界}。若$\exists m \in R$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \geq m$，则称$m$为$A$的一个\textbf{下界}。若$A$既有上界又有下界，则称 $A$ \text{有界}，否则称 $A$ \textbf{无界}。
$A$为非空数集。若$\exists M \in \realnum$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \leq M$，则称$M$为$A$的一个上界。若$\exists m \in R$，s.t. $\forall x \in A$，有$x \geq m$，则称$m$为$A$的一个下界。若$A$既有上界又有下界，则称 $A$ 有界，否则称 $A$ 无界。
\end{definition}
\begin{definition}[上确界$\sup A$、下确界$\inf A$]
$A$为非空数集。称$A$的最小上界$\xi$为$A$的\textbf{上确界}，记作$\xi = \sup A$。称$A$的最大下界$\eta$为$A$的\textbf{下确界}，记作$\eta = \inf A$。
$A$为非空数集。称$A$的最小上界$\xi$为$A$的上确界，记作$\xi = \sup A$。称$A$的最大下界$\eta$为$A$的下确界，记作$\eta = \inf A$。
\end{definition}
\begin{remark}
@@ -35,11 +35,11 @@
\section{数列和收敛数列}
\subsection{收敛和发散}
\begin{definition}[收敛]
设数列$\{ a_n \}$，$a \in \realnum$。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使得$\forall n > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$则称数列数列$\{ a_n \}$\textbf{收敛}于$a$（$n$趋于无穷时），记为$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$或$a_n \to a \ (n \to \infty)$。$a$称为$\{ a_n \}$的极限。
设数列$\{ a_n \}$，$a \in \realnum$。若$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使得$\forall n > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \varepsilon$则称数列数列$\{ a_n \}$收敛于$a$（$n$趋于无穷时），记为$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$或$a_n \to a \ (n \to \infty)$。$a$称为$\{ a_n \}$的极限。
\end{definition}
\begin{definition}[发散]
若$\{ a_n \}$不收敛，则称数列$\{ a_n \}$\textbf{发散}。
若$\{ a_n \}$不收敛，则称数列$\{ a_n \}$发散。
\end{definition}
收敛的含义：对于$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = a$，
@@ -185,11 +185,11 @@
\begin{definition}[发散到无穷的定义]
\ \par
若$\forall M > 0$，$N \in \naturalnum$，当$n > N$时$a_n > M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$+ \infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = + \infty$；
若$\forall M > 0$，$N \in \naturalnum$，当$n > N$时$a_n > M$，称$\{ a_n \}$发散到$+ \infty$，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = + \infty$；
若$\forall M > 0$，$N \in \naturalnum$，当$n > N$时$a_n < -M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$- \infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = - \infty$；
若$\forall M > 0$，$N \in \naturalnum$，当$n > N$时$a_n < -M$，称$\{ a_n \}$发散到$- \infty$，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = - \infty$；
若$\forall M > 0$，$N \in \naturalnum$，当$n > N$时$\vert a_n \vert > M$，称$\{ a_n \}$\textbf{发散到$\infty$}，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = \infty$。
若$\forall M > 0$，$N \in \naturalnum$，当$n > N$时$\vert a_n \vert > M$，称$\{ a_n \}$发散到$\infty$，记作$\lim \limits_{n \to \infty} a_n = \infty$。
\end{definition}
\begin{remark}
@@ -243,7 +243,7 @@
\end{remark}
\begin{definition}[数列的子列]
设$\{ a_n \}$为一数列。取一自然数列$k_1 < k_2 < k_3 < \ldots < k_n < \ldots$。注意$\{a_{k_n}\}$构成一个数列，称为数列$\{ a_n \}$的一个\textbf{子列}。
设$\{ a_n \}$为一数列。取一自然数列$k_1 < k_2 < k_3 < \ldots < k_n < \ldots$。注意$\{a_{k_n}\}$构成一个数列，称为数列$\{ a_n \}$的一个子列。
\end{definition}
\begin{theorem}[子列的性质]
@@ -372,7 +372,7 @@
\section{数列极限概念的推广}
\begin{definition}[无穷小数列]
设$\{a_n\}$为一数列。若$\toinf a_n = 0$，称$\{a_n\}$为\textbf{无穷小数列}（简称\textbf{无穷小}），记作$a_n = o(1)$。
设$\{a_n\}$为一数列。若$\toinf a_n = 0$，称$\{a_n\}$为无穷小数列（简称无穷小），记作$a_n = o(1)$。
\end{definition}
\begin{proposition}[无穷小的性质]