数项级数补完。

10数项级数.tex

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     因此$\{S_n\}$的奇偶子列有相同的极限$S$，因此$\{S_n\}$也是以$S$为极限的收敛数列，即
     \[\sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n - 1} a_n\]
     收敛。
-\end{proof}
+\end{proof}
+
+现在我我们考虑交错级数的推广——乘积型级数：$\sum a_n b_n$。
+
+\begin{lemma}[分部求和公式——Abel引理]
+    对$\alpha_i, \beta_i \in \realnum, 1 \leq i \leq p$，则
+    \begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
+        \item 记
+        \[B_k = \sum_{i = 1}^k \beta_i, k = 1, 2, \dots, p\]
+        则
+        \[\sum_{i = 1}^p \alpha_i \beta_i = \sum_{i = 1}^{p - 1} \left(\alpha_i - \alpha_{i + 1}\right)B_i + \alpha_p B_p\]
+        \item 若$\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \dots \geq \alpha_p$（或$\alpha_1 \leq \alpha_2 \leq \dots \leq \alpha_p$），且$\abs{B_k} \leq L, k = 1, 2, \dots, p$，则
+        \[\abs{\sum_{i = 1}^p \alpha_i \beta_i} \leq L \left(\abs{\alpha_1} + 2\abs{\alpha_p}\right)\eqper\]
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+
+\begin{theorem}[Dirichlet判别法]
+    设$\{a_k\}, \{b_k\}$是两个数列，$S_k = \dsum_{l = 1}^k a_l$。如果$\{b_k\}$单调趋于0，且$\{S_k\}$有界，那么级数$\sum a_kb_k$收敛。
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[Abel判别法]
+    如果$\{a_n\}, \{b_n\}$满足$\{b_n\}$单调有界，且$\sum a_n$收敛，那么级数$\sum a_n b_n$收敛。
+\end{theorem}
+
+\section{绝对收敛与条件收敛}
+\begin{theorem}
+    如果$\sum \abs{a_n}$收敛，那么$\sum a_n$也收敛。
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    记$a_n^+ = \dfrac{\abs{a_n} + a_n}{2}, a_n^- = \dfrac{\abs{a_n} - a_n}{2}$，$a_n^+ \geq 0, a_n^- \geq 0$，那么
+    \[\abs{a_n} = a_n^+ + a_n^- \geq a_n^+, a_n^- \geq 0\]
+    已知$\sum \abs{a_n}$收敛，由比较判别法得到$\sum a_n^+, \sum a_n^-$都收敛。注意$a_n = a_n^+ - a_n^-$，因此
+    \[\sum a_n = \sum a_n^+ - \sum a_n^-\]
+    收敛。
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    如果$\sum \abs{a_n}$收敛，则称级数$\sum a_n$绝对收敛；
+
+    如果$\sum a_n$收敛，但$\sum \abs{a_n}$发散，则称$\sum a_n$条件收敛。
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+    $\sum a_n$发散，$\sum b_n$发散，$\sum (a_n \pm b_n)$收敛性未定；
+
+    $\sum a_n$条件收敛，$\sum b_n$条件收敛，$\sum (a_n \pm b_n)$收敛；
+
+    $\sum a_n$绝对收敛，$\sum b_n$绝对收敛，$\sum (a_n \pm b_n)$绝对收敛；
+
+    $\sum a_n$绝对收敛，$\sum b_n$条件收敛，$\sum (a_n \pm b_n)$条件收敛；
+
+    $\sum a_n$绝对收敛，$\sum b_n$发散，$\sum (a_n \pm b_n)$发散；
+
+    $\sum a_n$条件收敛，$\sum b_n$发散，$\sum (a_n \pm b_n)$发散。
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+    正项级数的收敛判别法都可以用来判断绝对收敛。
+\end{remark}
+
+\begin{theorem}[Cauchy根式判别法]
+    若存在$0 < q < 1$，使得$n$充分大以后$\sqrt[n]{\abs{a_n}} \leq q$，则级数$\sum a_n$绝对收敛；
+
+    若有无穷多个$n$使得$\sqrt[n]{\abs{a_n}} \geq 1$，则级数$\sum a_n$发散。
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[Cauchy根式判别法的极限形式]
+    设$\tolim{n}{\infty} \sup \sqrt[n]{\abs{a_n}} = q$，则$\sum a_n$在$q < 1$时绝对收敛，在$q > 1$时发散。
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[D' Alembert比值判别法]
+    若存在$0 < q < 1$，使得$n$充分大以后$a_n \neq 0, \abs{\dfrac{a_{n + 1}}{a_n}} \leq q$，则级数$\sum a_n$绝对收敛；
+
+    若$n$充分大以后$a_n \neq 0, \abs{\dfrac{a_{n + 1}}{a_n}} \geq 1$，则级数$\sum a_n$发散。
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[D' Alembert比值判别法的极限形式]
+    设$n$充分大后，$a_n \neq 0$。
+
+    若$\tolim{n}{\infty} \sup \abs{\dfrac{a_{n + 1}}{a_n}} < 1$，则级数$\sum a_n$绝对收敛；
+
+    若$\tolim{n}{\infty} \inf \abs{\dfrac{a_{n + 1}}{a_n}} > 1$，则级数$\sum a_n$发散。
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}
+    交换绝对收敛级数中无穷多项的次序，所得的新级数仍然绝对收敛，其和也不变。
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[Riemann]
+    $\sum a_n$条件收敛，则对任意的$\lambda \in \realnum \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}$，都存在重排$\sum a_n^\prime$满足$\sum a_n^\prime = \lambda$。
+\end{theorem}