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第五周。

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18
01实数和数列极限.tex
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@@ -533,8 +533,8 @@
\end{proposition}
\begin{proof}
令$\toinf a_n = a$。则$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n, n' > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}, \vert a_{n'} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}$。由三角不等式
\[\vert a_n - a_{n'} = \vert a_n - a - (a_{n'} - a) \vert \leq \vert a_n - a \vert + \vert a_{n'} - a \vert < \varepsilon\]
令$\toinf a_n = a$。则$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n, n^\prime > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}, \vert a_{n^\prime} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}$。由三角不等式
\[\vert a_n - a_{n^\prime} = \vert a_n - a - (a_{n^\prime} - a) \vert \leq \vert a_n - a \vert + \vert a_{n^\prime} - a \vert < \varepsilon\]
\end{proof}
\begin{theorem}[Cauchy收敛原理]\label{cauchy principle of convergence}
@@ -548,12 +548,12 @@
\end{lemma}
\begin{proof}
取基本列$\{a_n\}$。$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n, n' > n_0$， $\vert a_n - a_{n'} \vert < 1$。由此可得$\forall n > n_0$，$\vert a_n - a_{n_0 + 1} \vert < 1$，所以$\vert a_n \vert \leq \vert a_{n_0 + 1} \vert + 1$。
取基本列$\{a_n\}$。$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n, n^\prime > n_0$， $\vert a_n - a_{n^\prime} \vert < 1$。由此可得$\forall n > n_0$，$\vert a_n - a_{n_0 + 1} \vert < 1$，所以$\vert a_n \vert \leq \vert a_{n_0 + 1} \vert + 1$。
进一步有$\forall n \in \naturalnum$，$\vert a_n \vert \leq \vert a_1 \vert + \cdots + \vert a_{n_0} \vert + \vert a_{n_1+1}+1\vert$。
\end{proof}
\begin{lemma}[Bolzano-Weierstrass列紧性原理]\label{cauchy priciple of convergence lemma 2}
\begin{lemma}[Bolzano-Weierstrass列紧性原理]\label{Bolzano-Weierstrass列紧性原理}
有界数列必有收敛子列。
\end{lemma}
@@ -644,15 +644,15 @@
任取基本列$\{a_n\}$。由引理\ref{cauchy priciple of convergence lemma 1}，$\{a_n\}$有界。
由引理\ref{cauchy priciple of convergence lemma 2}，存在$\{a_n\}$的一个收敛子列$\{a_{k_n}\}$。
由引理\ref{Bolzano-Weierstrass列紧性原理}，存在$\{a_n\}$的一个收敛子列$\{a_{k_n}\}$。
记$\toinf a_{k_n} = a$，下面验证$\toinf a_n = a$：
注意
\[\vert a_n - a \vert \leq \vert a_n - a_{k_n} \vert + \vert a_{k_n} - a \vert \eqper\]
首先，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1 \in \naturalnum$，使$\forall n, n' > n_1$，有\begin{equation*}\tag{1}\label{cauchy principle of convergence eq1}
\vert a_n - a_{n'} \vert < \dfrac{\varepsilon}{2} \text{；}
首先，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1 \in \naturalnum$，使$\forall n, n^\prime > n_1$，有\begin{equation*}\tag{1}\label{cauchy principle of convergence eq1}
\vert a_n - a_{n^\prime} \vert < \dfrac{\varepsilon}{2} \text{；}
\end{equation*}
其次，由$\toinf a_{k_n} = a$，$\exists n_2 \in \naturalnum$，使$\forall n > n_2$，有\begin{equation*}\tag{2}\label{cauchy principle of convergence eq2}
@@ -724,7 +724,7 @@
\begin{enumerate}
\item 单调性原理
\item 确界原理
\item Bolzano-Weirstrass列紧原理
\item Bolzano-Weierstrass列紧原理
\item Cauchy收敛原理
\item 区间套原理
\item Heine-Borel有限覆盖原理
@@ -757,7 +757,7 @@
因此$\eta = \xi$。
\end{proof}
也可以由闭区间套定理证明Bolzano-Weirstrass定理：
也可以由闭区间套定理证明Bolzano-Weierstrass定理：
\begin{proof}
设$\{x_n\}$为有界数列。则$\exists a_1 < b_1$，满足$\forall n, x_n \in [a_1, b_1]$。用$\dfrac{a_1 + b-1}{2}$将$[a_1, b_1]$分为两个区间，则其中至少有一个包含$\{x_n\}$的无穷多项，记为$[a_2, b_2]$，再用$\dfrac{a_2 + b_2}{2}$将$[a_2, b_2]$分为两个区间，其中至少有一个包含$\{x_n\}$的无穷多项，记为$[a_3, b_3]$。如此继续，得到区间序列$[a_n, b_n], n=1,2, \cdots$，满足
\[[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n](n = 1, 2, \cdots)\]

318
02函数及其连续性.tex
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@@ -195,7 +195,7 @@
\end{corollary}
\begin{theorem}[Heine定理：子列性质]\label{Heine定理}
$\toxzero f(x) = A$的充要条件是：对任何数列\setname{x_n}满足$x_n \neq x_0$且$toinf x_n = x_0$都有$\toinf f(x_n) = A$。
$\toxzero f(x) = A$的充要条件是：对任何数列\setname{x_n}满足$x_n \neq x_0$且$\toinf x_n = x_0$都有$\toinf f(x_n) = A$。
\end{theorem}
\begin{corollary}
@@ -295,9 +295,9 @@
因此$\lim \limits_{x \to b^-} f(x) = A$。
\end{proof}
\begin{theorem}
\begin{proposition}
$(a, b)$上的单调函数在每一点处左右极限都存在。
\end{theorem}
\end{proposition}
\begin{proof}
不妨设$f$在$(a,b)$上单增，$x_0 \in (a, b)$，往证$\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)$存在（同理可证$\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x)$存在）。
@@ -418,7 +418,7 @@
在同一极限过程中$f(x)$为无穷大量$\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{f(x)}$为无穷小量。
\end{corollary}
\subsection{无穷小量比较}
\subsection{无穷小量的比较}
\subsubsection{无穷小量的比较与无穷小量的阶}
\begin{definition}
设$f(x)$与$g(x)$都是在同一极限过程$x \to \Theta$中的无穷小量。
@@ -489,6 +489,10 @@
否则称$f$在$x_0$间断（不连续）。
\end{definition}
\begin{remark}
函数$f$在$x_0$连续也等价于$f(x) = f(x_0) + \alpha(x)$，其中$\alpha(x)$满足$\tolim{x}{x_0} \alpha(x) = 0$。
\end{remark}
\begin{definition}[单侧连续]
如果$f(x_0+) = f(x_0)$，则称函数$f$在$x_0$处右连续；如果$f(x_0-) = f(x_0)$，则称函数$f$在$x_0$处左连续。
\end{definition}
@@ -524,3 +528,309 @@
\[\forall f, g \in C[a,b], \forall \alpha, \beta \in \realnum, \alpha f + \beta g \in C[a,b]\]
\end{proposition}
\subsection{反函数的连续性}
\begin{proposition}
令$i$是一个区间，设$f \in C(I)$严格单调，则反函数$\invertfunc{f}$在$J = f(I)$上处处连续且严格单调。
\end{proposition}
\begin{proof}
首先，$f$的连续性可以导出$J$是一个区间（介值性质）。其次，反函数的严格单调容易验证，下面证明在$J$上处处连续：
任取$y_0 \in J$，则$\invertfunc{f}(y_0) = x_0 \in I$，也即$y_0 = f(x_0)$。$\forall \varepsilon > 0$，要使$\vert \invertfunc{f}(y) - \invertfunc{y_0} \vert < \varepsilon$，也即
\[\invertfunc{f}(y_0) - \varepsilon < \invertfunc{f}(y) < \invertfunc{f}(y_0) + \varepsilon\]
或写成
\[x_0 - \varepsilon < \invertfunc{f}y < x_0 + \varepsilon\]
不妨令$f$严格增，则上式等价于
\[f(x_0 - \varepsilon) < y = f(x_0) < f(x_0 + \varepsilon)\]
可见只要$y$距离$y_0$不太远即可满足要求。取$\delta > 0$，使得
\[f(x_0 - \varepsilon) \leq y_0 - \delta < y_0 + \delta \leq f(x_0 + \varepsilon)\]
当$\vert y - y_0 \vert < \delta$时，
\[f(x_0 - \varepsilon) \leq y_0 - \delta < y < y_0 + \delta \leq f(x_0 + \varepsilon)\]
从而
\[\invertfunc{f}(y_0) - \varepsilon < \invertfunc{f}(y) < \invertfunc{f}(y_0) + \varepsilon\]
这说明$\vert y - y_0 \vert < \delta$时，$\vert \invertfunc{f}(y) - \invertfunc{f}(y_0) \vert < \varepsilon$。
\end{proof}
\begin{corollary}
反三角函数$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$在定义域中都是连续函数。
\end{corollary}
\subsection{初等函数的连续性}
\begin{proposition}
$e^x$处处连续。
\end{proposition}
\begin{proof}
对任意的$x_0$，有$e^x = e^{x_0}e^{x-x_0}$。由极限运算的性质得
\[\tolim{x}{x_0}e^x = e^{x_0} \tolim{x}{x_0}e^{x-x_0} = e^{x_0}\tolim{t}{0}e^t\]
注意有
\[\toinf e^{1/n} = 1\]
因此$\forall \varepsilon > 0$，可取$n_0 \in \naturalnum$，使得$\forall n > n_0$有$\vert e^{1/n} - 1 \vert < \varepsilon$。再令$\vert t \vert < \dfrac{1}{n_0 + 1}$，有$\vert e^t - 1 \vert \leq \vert e^{\frac{1}{n_0 + 1}} - 1 \vert < \varepsilon$。
这说明$\tolim{x}{x_0} e^x = e^{x_0}$，$e^x$在$x_0$处连续。
\end{proof}
\begin{corollary}
令$a > 0$且$a \neq 1$，则$a^x \in C(\realnum)$，$\log_a x \in C(\realnum_+)$。
\end{corollary}
\begin{corollary}
对任意$a \in \realnum$，一般幂函数$x^a = e^{a\ln x} \in C(\realnum_+)$。
\end{corollary}
\begin{corollary}
初等函数在其定义域内都是连续的，在定义域边界单侧连续。
\end{corollary}
\section{连续与间断}
$f(x)$在$x_0$处不连续称为间断。
\begin{definition}
间断点可以分类为：
\begin{itemize}
\item 第一类间断
\begin{itemize}
\item 可去间断点：$f(x_0-) = f(x_0+) \neq f(x_0)$或$f(x_0)$无定义。
\item 跳跃间断点：$f(x_0-)$与$f(x_0+)$都存在但不相等。
\end{itemize}
\item 第二类间断：$f(x_0-)$与$f(x_0)$至少有一个不存在。
\end{itemize}
\end{definition}
\begin{remark}
可去间断点常常被看作连续，因为只需重新定义$f(x_0)$。
\end{remark}
\begin{example}
$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，$x \neq 0$。
\end{example}
$x = 0$为可去间断点，补充定义$f(0) = 1$，则$f$在$x=0$连续。
\begin{example}
$f(x) = \sgn (x)$。
\end{example}
$x = 0$为跳跃间断点：$\sgn(0-) = -1$，$\sgn(0+) = 1$，$\sgn(0) = 0$。
\begin{example}
$f(x) = xD(x)$，$D(x)$为Dirichlet函数。
\end{example}
首先，$\tolim{x}{0} f(x) = \tolim{x}{0} xD(x) = 0 = f(0)$，因此$f$在$x=0$连续；当$x_0 \neq 0$时，$D(x) = \dfrac{f(x)}{x}$，而$\tolim{x}{x_0} D(x)$处处不存在。从而$\tolim{x}{x_0}f(x)$不存在。因此$x_0 \neq 0$是$f$的第二类间断点。
\begin{example}
$f(x) = \sin \dfrac{1}{x}$，$x \neq 0$。
\end{example}
$x = 0$是$f$的第二类间断点。
\section{一致连续性}
\begin{definition}
令$f: I \to \realnum$，$I$是一个区间（开、闭、半开半闭、有界、无界均可），如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得
\[\forall x^\prime, x^{\prime \prime} \in I\text{只要满足}\vert x^\prime - x^{\prime \prime} < \delta \text{都有}\vert f(x^\prime) - f(x^{\prime \prime} \vert < \varepsilon)\]
则称$f$在$I$上一致连续。
\end{definition}
\begin{corollary}
若$f$在$I$上一致连续，则$\forall x_0 \in I$，$f$在$x_0$连续，进而$f \in C(I)$。
\end{corollary}
\begin{remark}
函数$f$在$E$上已知连续等价于：对$E$中任何两个数列\setname{x_n}，\setname{y_n}，只要$\toinf (x_n - y_n) = 0$，就有$\toinf f(x_n) - f(y_n) = 0$。
\end{remark}
否定一致连续：函数$f$在$I$上不一致连续，如果$\exists \varepsilon_0 > 0$，以及收敛于0的数列\setname{a_n}使得$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n^\prime, x_n^{\prime \prime}$满足$\vert x_n^\prime - x_n^{\prime \prime} \vert < a_n$，但$\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert \geq \varepsilon_0$。
还可以这样理解一致连续性：对于一个给定的$\varepsilon$，随着$x_0$在$I$内的变化，能够满足对任意的$x \in U(x_0, \delta)$中$\vert f(x) - f(x_0) \vert < \varepsilon$的$\delta$（即满足在$x_0$一点连续的$\delta$）也是会随着$x_0$变化的。如果不论$x_0$在$I$内怎么变化，$\delta$都不会是无穷小，那么我们就可以找所有$\delta$中的最小的那个，使得它一致连续；相反，如果$\delta$需要随着$x_0$逼近某个值变成无穷小，那么他就不能一致连续了，因此我们找不到一个统一的$\delta$同时满足所有$x_0$的要求。
\begin{example}
验证$f(x) = \dfrac{1}{x}$在区间$I = (0, 1)$上不一致连续。
\end{example}
\begin{proof}[解]
任取$x^\prime, x^{\prime \prime} \in I$，考虑
\[\vert f(x^\prime) - f(x^{\prime \prime}) \vert = \left| \frac{1}{x^\prime} - \frac{1}{x^{\prime \prime}} \right| = \frac{\vert x^\prime - x^{\prime \prime} \vert}{x^\prime x^{\prime \prime}}\]
注意到如果取$\vert x_n^\prime - x_n^{\prime \prime} \vert = \dfrac{1}{2n}$，$x_n^\prime x_n^{\prime \prime} = \dfrac{1}{2n^2}$，$n = 1, 2, \cdots$，则
\[\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert = n > 1\]
为此只要选取$x_n^\prime = \dfrac{1}{n}$，$x_n^{\prime \prime} = \dfrac{1}{n}$，$n = 1, 2, \cdots$此时$\vert x_n^\prime - x_n^{\prime \prime} \vert$可以任意小，但是同时$\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert$可以任意大，因此不论怎么取$\delta$总有$x_n^\prime, x_n^{\prime \prime}$使得$\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert$比给定的$\varepsilon$大。
这说明$f$在$I$上不一致连续。
\end{proof}
\section{有界闭区间上连续函数的性质}
\begin{proposition}[一致连续性]
设$f \in C[a, b]$，则$f$在$[a, b]$上一致连续。
\end{proposition}
\begin{proof}
反证法：若不然，则$\exists \varepsilon_0 > 0$及收敛于0的数列\setname{a_n}使得$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n^\prime, x_n^{\prime \prime} \in [a, b]$满足$\vert x_n^\prime - x_n^{\prime \prime} \vert < a_n$，但$\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert \geq \varepsilon_0$。
由Bolzano-Weierstrass列紧性原理（引理\ref{Bolzano-Weierstrass列紧性原理}），存在\setname{x_n^\prime}的收敛子列\[\{x_{k_n}^\prime\} \to x^\ast \in [a, b]\]
注意到$\vert x_{k_n}^{\prime \prime} - x^\ast \vert \leq \vert x_{k_n}^{\prime \prime} - x_{k_n}^{\prime} \vert + \vert x_{k_n}^{\prime} - x^\ast \vert \leq a_{k_n} + \vert x_{k_n}^{\prime} - x^\ast \vert \to 0$即$\{x_{k_n}^{\prime \prime}\} \to x^\ast$
那么有两个子列\setname{x_{k_n}^{\prime}}与\setname{x_{k_n}^{\prime}}都收敛于$x^\ast$，并且满足
\begin{equation}\tag{$\ast$}\label{闭区间一致连续1}
\vert f(x_{k_n}^{\prime}) - f(x_{k_n}^{\prime}) \vert \geq \varepsilon_0
\end{equation}
由$f$的连续性有$\tolim{x}{x^\ast} f(x) = f(x^\ast)$。因此
\[\tolim{n}{\infty}f(x_{k_n}^{\prime}) = \tolim{n}{\infty}f(x_{k_n}^{\prime \prime}) = f(x^\ast)\]
这与\eqref{闭区间一致连续1}式矛盾。
从而$f$在$[a, b]$上一致连续。
\end{proof}
\begin{proposition}[有界性质]
设$f \in C[a, b]$，则$f$在$[a, b]$上有界。
\end{proposition}
\begin{proof}
反证法。假设$f$在$[a,b]$上无界，则$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n \in [a, b]$，使得$\vert f(x_n) \vert > n$。
再用Bolzano-Weierstrass列紧性原理，\setname{x_n}存在收敛子列$\{x_{k_n}\} \to x^\ast \in [a, b]$。
根据$f$的连续性，$\toinf f(x_{k_n}) = f(x^\ast)$，但是由上面的性质$\vert f(x_{k_n}) \vert > k_n$，$n = 1, 2, \cdots$。这个矛盾说明$f$必在$[a, b]$上有界。
\end{proof}
\begin{proposition}[最值可达]
设$f \in C[a, b]$，则$\exists \underline{x}, \overline{x} \in [a, b]$使得
\[f(\underline{x}) \leq f(x) \leq f(\overline{x}), \forall x \in [a, b]\eqper\]
\end{proposition}
\begin{proof}
已知$f$在$[a, b]$上有界，由确界原理，存在
\[M = \sup \limits_{a \leq x \leq b} f(x)\eqco m = \inf \limits_{a \leq x \leq b} f(x)\]
那么$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n \in [a, b]$使得
\[M - \frac{1}{n} < f(x_n) \leq M\]
取\setname{x_n}的收敛子列\setname{x_{k_n}}，设其收敛到$\overline{x} \in [a, b]$，则
\[M - \frac{1}{k_n} < f(x_{k_n}) \leq M\]
再用夹逼原理和函数连续性有
\[f(\overline{x}) = f(\toinf x_{k_n}) = \toinf f(x_{k_n}) = M\]
同理可证$\exists \underline{x} \in [a, b]$，使得$f(\underline{x}) = m$。
\end{proof}
\begin{theorem}[介值定理]
设$f \in C[a, b]$，且$f(a) \neq f(b)$。若实数$\lambda$介于$f(a)$与$f(b)$之间，则$\exists c \in (a, b)$使得$f(c) = \lambda$。
\end{theorem}
\begin{proof}
先考虑特例$f(a) < 0 < f(b)$，要证$\exists c \in (a, b)$，$f(c) = 0$。
记$a_1 = a, b_1 = b, c_1 = \dfrac{a + b}{2}$。
这时$f(a_1) < 0 < f(b_1)$，检查$f(c_1)$与0的关系：
若$f(c_1) = 0$，$c = c_1$，证明完毕；
若$f(c_1) < 0$，令$a_2 = c_1, b_2 = b_1, c_2 = \dfrac{a_2 + b_2}{2}$；
若$f(c_1) > 0$，令$a_2 = a_1, b_2 = c_1, c_2 = \dfrac{a_2 + b_2}{2}$。
这时还有$f(a_2) < 0 < f(b_2)$，可以继续操作。
如此不断操作，除非找到$c_n$满足$f(c_n) = 0$，否则可以得到两个单调数列\setname{a_n}和\setname{b_n}满足
\[a_n \leq a_{n+1} < b_{n+1} \leq b_n, b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{b-a}{2^n}\]
且
\[f(a_n) < 0 < f(b_n), n = 1, 2, \cdots\]
由单调性原理
\[\toinf a_n = c = \toinf b_n \in (a, b)\]
再由函数连续性
\[\toinf f(a_n) = f(c) = \toinf f(b_n)\]
由极限保序性
\[\toinf f(a_n) \leq 0 \leq \toinf f(b_n)\]
因此$f(c) = 0$。
对于一般情况，不妨设$f(a) < \lambda < f(b)$。那么设
\[F(x) = f(x) - \lambda \in C[a, b]\]
则
\[F(a) < 0 < F(b)\]
那么$\exists c \in (a, b)$使得$F(c) = 0$，即$f(c) = \lambda$。
\end{proof}
\begin{corollary}[零点性质]
这是介值定理的特例。设$f \in C[a, b]$，若$f(a)f(b) < 0$，则$\exists c \in (a, b)$，使得$f(c) = 0$。
\end{corollary}
\begin{corollary}
设$f \in C[0, 1]$，则$f([a,b])$是一个闭区间。
\end{corollary}
\begin{proof}
首先，$f([a, b])$的最值一定可达，设达到最大最小值时自变量为$\overline{x}, \underline{x}$。对任何$y$满足$f(\underline{x}) < y < f(\overline{x})$，由介值定理一定存在$x \in [\min \{\underline{x}, \overline{x}\}, \max \{\underline{x}, \overline{x}\}]$使$f(x) = y$因此$f([a, b])$是一个闭区间。
\end{proof}
\begin{example}
设$f \in C[0, 1]$且$f(0) = f(1)$。求证：$\exists c \in (0, 1)$，使$f(c) = f(c = \dfrac{1}{2})$。
\end{example}
\begin{proof}
考虑函数$F(x) = f(x + \dfrac{1}{2}) - f(x) \in C \left[0, \dfrac{1}{2}\right]$，则$F(0) = f\left(\dfrac{1}{2}\right) - f(0)$，$F\left(\dfrac{1}{2}\right) = f(1) - f \left(\dfrac{1}{2}\right) = -F(0)$。
因此，$F(0)F\left(\dfrac{1}{2}\right) \leq 0$。若$F(0) = 0$或$F\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0$，则得证；若$F(0)F\left(\dfrac{1}{2}\right) < 0$，那么两点异号，必存在$x_0 \in \left[0, \dfrac{1}{2}\right]$使得$F\left(x_0\right) = 0$。
\end{proof}
\begin{proposition}
$(a, b)$上的单调函数的间断点都是跳跃间断点。
\end{proposition}
\begin{proof}
设$f(a, b)$上单增，$x_0 \in (a, b)$为$f$的间断点。由于单调函数在每一点处的左右极限都存在，必有
\[\tolim{x}{x_0^-} f(x) \neq f(x_0)\text{或} \tolim{x}{x_0^+} f(x) \neq f(x_0)\]
$f$单增，由函数极限的保序性，有
\[\tolim{x}{x_0^-}f(x) \leq f(x_0) \eqco \tolim{x}{x_0^+} f(x) \geq f(x_0)\]
两个不等号不能同时取到，因此必定有
\[\tolim{x}{x_0^-}f(x) < \tolim{x}{x_0^+} f(x)\]
故$x_0$为跳跃间断点。
\end{proof}
\begin{theorem}[Weierstrass第一逼近定理]
$f \in C[a, b]$，则$\forall \varepsilon > 0$，存在多项式$P(x)$，满足
\[\forall x \in [a, b] \eqco \vert f(x) - P(x) \vert < \varepsilon \eqper\]
\end{theorem}
\begin{proof}
不失一般性可设$[a, b] = [0, 1]$。
记$X = C[0, 1]$，$Y$为$[0,1]$上多项式构成的集合，定义映射
\begin{align*}
B_n: X & \to Y\\
g(t) & \mapsto B_n(g)(x) = \sum_{k=0}^n g\left(\frac{k}{n}\right)C_n^k x^k (1-x)^{n-k}
\end{align*}
$B_n(g)$是$g \in X$在映射$B_n$下的像，$B_n(g)(x)$是以$x$为自变量的$n$次多项式，称为Bernstein多项式。
映射$B_n$有如下性质：
\begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
\item $B_n$是线性映射，即对任意的$g, h \in X$，$\forall \alpha, \beta \in \realnum$，有
\[B_n(\alpha g + \beta h) = \alpha B_n(g) + \beta B_n(h) \eqper\]
\item $B_n$具有单调性，即$g, h \in X, g \leq h$，有$B_n(g) \leq B_n(h)$。
\item $B_n(1)(x) = 1, B_n(t)(x) = x, B_n(t^2)(x) = x^2 + \dfrac{x - x^2}{n}$。
\end{enumerate}
那么根据这些性质，给定$s \in [0,1]$，函数$(t-s)^2$在$B_n$映射下的像为
\begin{align*}
B_n\left((t-s)^2\right)(x) & = B_n\left(t^2\right)(x) - 2sB_n(t) + s^2B_n(1)(x)\\
& = x^2 + \frac{x-x^2}{n} - 2sx + s^2\\
& = \frac{x-x^2}{n} + (x-s)^2 \eqper
\end{align*}
现在我们可以利用$B_n$完成证明。
首先，对$f \in C[0,1]$，有$f$在$[0,1]$上一致连续，即$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得
\[\forall \vert t - s \vert < \delta \eqco t, s \in [0,1] \eqco \vert f(t) - f(s) \vert < \frac{\varepsilon}{2}\eqper\]
其次，$f$在$[0,1]$上有界，即$\exists M > 0$，使得$\forall t \in [0, 1]$，$\vert f(t) \vert < M$。那么有
\[\forall \vert t - s \vert \geq \delta \eqco t, s \in [0, 1] \eqco \vert f(t) - f(s) \vert < 2M \leq \frac{2M}{\delta^2}(t-s)^2\eqper\]
注意上面两部分分别考虑了$\vert t - s \vert < \delta$和$\vert t - s \vert \geq \delta$两种情况时的放缩。因此将他们综合起来，有
\[\forall t,s \in [0,1]\eqco -\frac{\varepsilon}{2}-\frac{2M}{\delta^2}(t-s)^2 < f(t) - f(s) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{2M}{\delta^2}(t-s)^2\]
对于任意给定的$s \in [0,1]$，将$t$看作自变量，由$B_n$的单调性，有
\[-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{2M}{\delta^2}\left[\frac{x-x^2}{n} + (x-s)^2\right] < B_n(f)(x) - f(s) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{2M}{\delta^2}\left[\frac{x-x^2}{n} + (x-s)^2\right]\]
令$s = x$得
\[\vert B_n(f)(x) - f(x) \vert \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{2M}{n\delta^2}\left(x-x^2\right) \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{M}{2n\delta^2}\eqco \forall x \in [0,1]\]
任意取定$n > \dfrac{M}{\delta^2 \varepsilon}$，有
\[\vert B_n(f)(x) - f(x) \vert = \left|\sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right)C_n^k x^k (1-x)^{n-k} - f(x)\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \eqco x \in [0,1]\]
\end{proof}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item 单调函数只可能有第一类间断点。
\item 如果函数单调，则$f$连续当且仅当$f([a,b])$是一个以$f(a)$和$f(b)$为端点得区间。
\item 单调函数的间断点的集合至多为可数。
\end{enumerate}
\end{remark}

47
03函数的导数.tex Normal file
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\chapter{函数的导数}
\section{导数的概念}
\begin{definition}[导数]
设函数$f(x)$在$x_0$附近有定义（包括$x_0$点）。定义$f$在$x_0$点的导数
\[\deriv{f}(x_0) = \tolim{x}{x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\]
若极限存在，则称$f$在$x_0$点可导。
\end{definition}
\begin{remark}
应用代换$\Delta x = x - x_0$，导数可以等价地表示为
\[\deriv{f} = \tolim{\Delta x}{0} \frac{(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\eqper\]
\end{remark}
Leibniz记号：记$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，那么
\[\frac{\dif f}{\dif x} = \tolim{\Delta x}{0} \frac{\Delta f}{\Delta x}\]
或记为
\[\frac{\dif f}{\dif x}(x_0) = \frac{\dif f}{\dif x}\bigg|_{x=x_0} = \deriv{f}(x_0) \eqper\]
\begin{definition}[单侧导数]
左导数：$\deriv{f}_{-} (x_0) = \tolim{\Delta x}{0^-} \dfrac{(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
右导数：$\deriv{f}_{+} (x_0) = \tolim{\Delta x}{0^+} \dfrac{(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
\end{definition}
\begin{corollary}
$\deriv{f}$存在等价于$\deriv{f}_{-}(x_0)$和$\deriv{f}_{+}(x_0)$都存在且相等。
\end{corollary}
\begin{theorem}[函数可导与连续的关系]
若$f$在$x_0$点可导，则$f$在$x_0$点连续。
\end{theorem}
\begin{proof}
注意到有
\begin{align*}
f(x) & = f(x_0) + (f(x) - f(x_0))\\
& = f(x_0) + \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)
\end{align*}
对上面等式两边求极限，应用极限的四则运算性质：
\begin{align*}
\tolim{x}{x_0}f(x) & = \tolim{x}{x_0}f(x_0) + \tolim{x}{x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)\\
& = f(x_0) + \deriv{f}(x_0) \cdot 0\\
& = f(x_0)
\end{align*}
因此$f$连续。
\end{proof}

12
高等微积分.tex
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% \renewcommand{\qedsymbol}{} %去掉证明结尾的方框
\newcommand{\eqco}{\text{，}} % Chinese comma in equation
\newcommand{\eqper}{\text{。}} % Chinese period in equation
\newcommand{\newnoun}[2]{
\textbf{#1}（\textit{#2}）
}
\newcommand*{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\newnoun}[2]{\textbf{#1}（\textit{#2}）}
\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\toinf}{\lim \limits_{n \to \infty}}
\newcommand{\setname}[1]{$\{#1\}$}
\newcommand{\realnum}{\mathbb{R}}
\newcommand{\integer}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\naturalnum}{\mathbb{N}}
\newcommand{\toxzero}{\lim \limits_{x \to x_0}}
\newcommand{\tolim}[2]{\lim \limits_{#1 \to #2}}
\newcommand{\invertfunc}[1]{#1^{-1}}
\newcommand{\deriv}[1]{#1^\prime}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\title{{\Huge{\textbf{高等微积分}}}}
\author{}
@@ -59,4 +62,5 @@
\pagenumbering{arabic}
\include{01实数和数列极限.tex}
\include{02函数及其连续性.tex}
\include{03函数的导数.tex}
\end{document}