第五周。

01实数和数列极限.tex

@@ -533,8 +533,8 @@
 \end{proposition}
 
 \begin{proof}
-    令$\toinf a_n = a$。则$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n, n' > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}, \vert a_{n'} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}$。由三角不等式
-    \[\vert a_n - a_{n'} = \vert a_n - a - (a_{n'} - a) \vert \leq \vert a_n - a \vert + \vert a_{n'} - a \vert < \varepsilon\]
+    令$\toinf a_n = a$。则$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n, n^\prime > n_0$，都有$\vert a_n - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}, \vert a_{n^\prime} - a \vert < \dfrac{\varepsilon}{2}$。由三角不等式
+    \[\vert a_n - a_{n^\prime} = \vert a_n - a - (a_{n^\prime} - a) \vert \leq \vert a_n - a \vert + \vert a_{n^\prime} - a \vert < \varepsilon\]
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}[Cauchy收敛原理]\label{cauchy principle of convergence}
@@ -548,12 +548,12 @@
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-    取基本列$\{a_n\}$。$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n, n' > n_0$， $\vert a_n - a_{n'} \vert < 1$。由此可得$\forall n > n_0$，$\vert a_n - a_{n_0 + 1} \vert < 1$，所以$\vert a_n \vert \leq \vert a_{n_0 + 1} \vert + 1$。
+    取基本列$\{a_n\}$。$\exists n_0 \in \naturalnum$，使$\forall n, n^\prime > n_0$， $\vert a_n - a_{n^\prime} \vert < 1$。由此可得$\forall n > n_0$，$\vert a_n - a_{n_0 + 1} \vert < 1$，所以$\vert a_n \vert \leq \vert a_{n_0 + 1} \vert + 1$。
 
     进一步有$\forall n \in \naturalnum$，$\vert a_n \vert \leq \vert a_1 \vert + \cdots + \vert a_{n_0} \vert + \vert a_{n_1+1}+1\vert$。
 \end{proof}
 
-\begin{lemma}[Bolzano-Weierstrass列紧性原理]\label{cauchy priciple of convergence lemma 2}
+\begin{lemma}[Bolzano-Weierstrass列紧性原理]\label{Bolzano-Weierstrass列紧性原理}
     有界数列必有收敛子列。
 \end{lemma}
 
@@ -644,15 +644,15 @@
 
     任取基本列$\{a_n\}$。由引理\ref{cauchy priciple of convergence lemma 1}，$\{a_n\}$有界。
 
-    由引理\ref{cauchy priciple of convergence lemma 2}，存在$\{a_n\}$的一个收敛子列$\{a_{k_n}\}$。
+    由引理\ref{Bolzano-Weierstrass列紧性原理}，存在$\{a_n\}$的一个收敛子列$\{a_{k_n}\}$。
 
     记$\toinf a_{k_n} = a$，下面验证$\toinf a_n = a$：
 
     注意
     \[\vert a_n - a \vert \leq \vert a_n - a_{k_n} \vert + \vert a_{k_n} - a \vert \eqper\]
 
-    首先，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1 \in \naturalnum$，使$\forall n, n' > n_1$，有\begin{equation*}\tag{1}\label{cauchy principle of convergence eq1}
-        \vert a_n - a_{n'} \vert < \dfrac{\varepsilon}{2} \text{；}
+    首先，$\forall \varepsilon > 0$，$\exists n_1 \in \naturalnum$，使$\forall n, n^\prime > n_1$，有\begin{equation*}\tag{1}\label{cauchy principle of convergence eq1}
+        \vert a_n - a_{n^\prime} \vert < \dfrac{\varepsilon}{2} \text{；}
     \end{equation*}
 
     其次，由$\toinf a_{k_n} = a$，$\exists n_2 \in \naturalnum$，使$\forall n > n_2$，有\begin{equation*}\tag{2}\label{cauchy principle of convergence eq2}
@@ -724,7 +724,7 @@
 \begin{enumerate}
     \item 单调性原理
     \item 确界原理
-    \item Bolzano-Weirstrass列紧原理
+    \item Bolzano-Weierstrass列紧原理
     \item Cauchy收敛原理
     \item 区间套原理
     \item Heine-Borel有限覆盖原理
@@ -757,7 +757,7 @@
     因此$\eta = \xi$。
 \end{proof}
 
-也可以由闭区间套定理证明Bolzano-Weirstrass定理：
+也可以由闭区间套定理证明Bolzano-Weierstrass定理：
 \begin{proof}
     设$\{x_n\}$为有界数列。则$\exists a_1 < b_1$，满足$\forall n, x_n \in [a_1, b_1]$。用$\dfrac{a_1 + b-1}{2}$将$[a_1, b_1]$分为两个区间，则其中至少有一个包含$\{x_n\}$的无穷多项，记为$[a_2, b_2]$，再用$\dfrac{a_2 + b_2}{2}$将$[a_2, b_2]$分为两个区间，其中至少有一个包含$\{x_n\}$的无穷多项，记为$[a_3, b_3]$。如此继续，得到区间序列$[a_n, b_n], n=1,2, \cdots$，满足
     \[[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n](n = 1, 2, \cdots)\]