第五周。
This commit is contained in:
unlockable
318
02函数及其连续性.tex
318
02函数及其连续性.tex
@@ -195,7 +195,7 @@
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[Heine定理：子列性质]\label{Heine定理}
|
||||
$\toxzero f(x) = A$的充要条件是：对任何数列\setname{x_n}满足$x_n \neq x_0$且$toinf x_n = x_0$都有$\toinf f(x_n) = A$。
|
||||
$\toxzero f(x) = A$的充要条件是：对任何数列\setname{x_n}满足$x_n \neq x_0$且$\toinf x_n = x_0$都有$\toinf f(x_n) = A$。
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
@@ -295,9 +295,9 @@
|
||||
因此$\lim \limits_{x \to b^-} f(x) = A$。
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
$(a, b)$上的单调函数在每一点处左右极限都存在。
|
||||
\end{theorem}
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
不妨设$f$在$(a,b)$上单增，$x_0 \in (a, b)$，往证$\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)$存在（同理可证$\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x)$存在）。
|
||||
@@ -418,7 +418,7 @@
|
||||
在同一极限过程中$f(x)$为无穷大量$\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{f(x)}$为无穷小量。
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\subsection{无穷小量比较}
|
||||
\subsection{无穷小量的比较}
|
||||
\subsubsection{无穷小量的比较与无穷小量的阶}
|
||||
\begin{definition}
|
||||
设$f(x)$与$g(x)$都是在同一极限过程$x \to \Theta$中的无穷小量。
|
||||
@@ -489,6 +489,10 @@
|
||||
否则称$f$在$x_0$间断（不连续）。
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
函数$f$在$x_0$连续也等价于$f(x) = f(x_0) + \alpha(x)$，其中$\alpha(x)$满足$\tolim{x}{x_0} \alpha(x) = 0$。
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[单侧连续]
|
||||
如果$f(x_0+) = f(x_0)$，则称函数$f$在$x_0$处右连续；如果$f(x_0-) = f(x_0)$，则称函数$f$在$x_0$处左连续。
|
||||
\end{definition}
|
||||
@@ -524,3 +528,309 @@
|
||||
\[\forall f, g \in C[a,b], \forall \alpha, \beta \in \realnum, \alpha f + \beta g \in C[a,b]\]
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\subsection{反函数的连续性}
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
令$i$是一个区间，设$f \in C(I)$严格单调，则反函数$\invertfunc{f}$在$J = f(I)$上处处连续且严格单调。
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
首先，$f$的连续性可以导出$J$是一个区间（介值性质）。其次，反函数的严格单调容易验证，下面证明在$J$上处处连续：
|
||||
|
||||
任取$y_0 \in J$，则$\invertfunc{f}(y_0) = x_0 \in I$，也即$y_0 = f(x_0)$。$\forall \varepsilon > 0$，要使$\vert \invertfunc{f}(y) - \invertfunc{y_0} \vert < \varepsilon$，也即
|
||||
\[\invertfunc{f}(y_0) - \varepsilon < \invertfunc{f}(y) < \invertfunc{f}(y_0) + \varepsilon\]
|
||||
或写成
|
||||
\[x_0 - \varepsilon < \invertfunc{f}y < x_0 + \varepsilon\]
|
||||
不妨令$f$严格增，则上式等价于
|
||||
\[f(x_0 - \varepsilon) < y = f(x_0) < f(x_0 + \varepsilon)\]
|
||||
可见只要$y$距离$y_0$不太远即可满足要求。取$\delta > 0$，使得
|
||||
\[f(x_0 - \varepsilon) \leq y_0 - \delta < y_0 + \delta \leq f(x_0 + \varepsilon)\]
|
||||
当$\vert y - y_0 \vert < \delta$时，
|
||||
\[f(x_0 - \varepsilon) \leq y_0 - \delta < y < y_0 + \delta \leq f(x_0 + \varepsilon)\]
|
||||
从而
|
||||
\[\invertfunc{f}(y_0) - \varepsilon < \invertfunc{f}(y) < \invertfunc{f}(y_0) + \varepsilon\]
|
||||
这说明$\vert y - y_0 \vert < \delta$时，$\vert \invertfunc{f}(y) - \invertfunc{f}(y_0) \vert < \varepsilon$。
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
反三角函数$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$在定义域中都是连续函数。
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\subsection{初等函数的连续性}
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
$e^x$处处连续。
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
对任意的$x_0$，有$e^x = e^{x_0}e^{x-x_0}$。由极限运算的性质得
|
||||
\[\tolim{x}{x_0}e^x = e^{x_0} \tolim{x}{x_0}e^{x-x_0} = e^{x_0}\tolim{t}{0}e^t\]
|
||||
注意有
|
||||
\[\toinf e^{1/n} = 1\]
|
||||
因此$\forall \varepsilon > 0$，可取$n_0 \in \naturalnum$，使得$\forall n > n_0$有$\vert e^{1/n} - 1 \vert < \varepsilon$。再令$\vert t \vert < \dfrac{1}{n_0 + 1}$，有$\vert e^t - 1 \vert \leq \vert e^{\frac{1}{n_0 + 1}} - 1 \vert < \varepsilon$。
|
||||
|
||||
这说明$\tolim{x}{x_0} e^x = e^{x_0}$，$e^x$在$x_0$处连续。
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
令$a > 0$且$a \neq 1$，则$a^x \in C(\realnum)$，$\log_a x \in C(\realnum_+)$。
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
对任意$a \in \realnum$，一般幂函数$x^a = e^{a\ln x} \in C(\realnum_+)$。
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
初等函数在其定义域内都是连续的，在定义域边界单侧连续。
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\section{连续与间断}
|
||||
$f(x)$在$x_0$处不连续称为间断。
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
间断点可以分类为：
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item 第一类间断
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item 可去间断点：$f(x_0-) = f(x_0+) \neq f(x_0)$或$f(x_0)$无定义。
|
||||
\item 跳跃间断点：$f(x_0-)$与$f(x_0+)$都存在但不相等。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item 第二类间断：$f(x_0-)$与$f(x_0)$至少有一个不存在。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
可去间断点常常被看作连续，因为只需重新定义$f(x_0)$。
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，$x \neq 0$。
|
||||
\end{example}
|
||||
$x = 0$为可去间断点，补充定义$f(0) = 1$，则$f$在$x=0$连续。
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
$f(x) = \sgn (x)$。
|
||||
\end{example}
|
||||
$x = 0$为跳跃间断点：$\sgn(0-) = -1$，$\sgn(0+) = 1$，$\sgn(0) = 0$。
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
$f(x) = xD(x)$，$D(x)$为Dirichlet函数。
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
首先，$\tolim{x}{0} f(x) = \tolim{x}{0} xD(x) = 0 = f(0)$，因此$f$在$x=0$连续；当$x_0 \neq 0$时，$D(x) = \dfrac{f(x)}{x}$，而$\tolim{x}{x_0} D(x)$处处不存在。从而$\tolim{x}{x_0}f(x)$不存在。因此$x_0 \neq 0$是$f$的第二类间断点。
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
$f(x) = \sin \dfrac{1}{x}$，$x \neq 0$。
|
||||
\end{example}
|
||||
$x = 0$是$f$的第二类间断点。
|
||||
|
||||
\section{一致连续性}
|
||||
\begin{definition}
|
||||
令$f: I \to \realnum$，$I$是一个区间（开、闭、半开半闭、有界、无界均可），如果$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得
|
||||
\[\forall x^\prime, x^{\prime \prime} \in I\text{只要满足}\vert x^\prime - x^{\prime \prime} < \delta \text{都有}\vert f(x^\prime) - f(x^{\prime \prime} \vert < \varepsilon)\]
|
||||
则称$f$在$I$上一致连续。
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
若$f$在$I$上一致连续，则$\forall x_0 \in I$，$f$在$x_0$连续，进而$f \in C(I)$。
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
函数$f$在$E$上已知连续等价于：对$E$中任何两个数列\setname{x_n}，\setname{y_n}，只要$\toinf (x_n - y_n) = 0$，就有$\toinf f(x_n) - f(y_n) = 0$。
|
||||
\end{remark}
|
||||
|
||||
否定一致连续：函数$f$在$I$上不一致连续，如果$\exists \varepsilon_0 > 0$，以及收敛于0的数列\setname{a_n}使得$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n^\prime, x_n^{\prime \prime}$满足$\vert x_n^\prime - x_n^{\prime \prime} \vert < a_n$，但$\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert \geq \varepsilon_0$。
|
||||
|
||||
还可以这样理解一致连续性：对于一个给定的$\varepsilon$，随着$x_0$在$I$内的变化，能够满足对任意的$x \in U(x_0, \delta)$中$\vert f(x) - f(x_0) \vert < \varepsilon$的$\delta$（即满足在$x_0$一点连续的$\delta$）也是会随着$x_0$变化的。如果不论$x_0$在$I$内怎么变化，$\delta$都不会是无穷小，那么我们就可以找所有$\delta$中的最小的那个，使得它一致连续；相反，如果$\delta$需要随着$x_0$逼近某个值变成无穷小，那么他就不能一致连续了，因此我们找不到一个统一的$\delta$同时满足所有$x_0$的要求。
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
验证$f(x) = \dfrac{1}{x}$在区间$I = (0, 1)$上不一致连续。
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[解]
|
||||
任取$x^\prime, x^{\prime \prime} \in I$，考虑
|
||||
\[\vert f(x^\prime) - f(x^{\prime \prime}) \vert = \left| \frac{1}{x^\prime} - \frac{1}{x^{\prime \prime}} \right| = \frac{\vert x^\prime - x^{\prime \prime} \vert}{x^\prime x^{\prime \prime}}\]
|
||||
注意到如果取$\vert x_n^\prime - x_n^{\prime \prime} \vert = \dfrac{1}{2n}$，$x_n^\prime x_n^{\prime \prime} = \dfrac{1}{2n^2}$，$n = 1, 2, \cdots$，则
|
||||
\[\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert = n > 1\]
|
||||
为此只要选取$x_n^\prime = \dfrac{1}{n}$，$x_n^{\prime \prime} = \dfrac{1}{n}$，$n = 1, 2, \cdots$此时$\vert x_n^\prime - x_n^{\prime \prime} \vert$可以任意小，但是同时$\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert$可以任意大，因此不论怎么取$\delta$总有$x_n^\prime, x_n^{\prime \prime}$使得$\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert$比给定的$\varepsilon$大。
|
||||
|
||||
这说明$f$在$I$上不一致连续。
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\section{有界闭区间上连续函数的性质}
|
||||
\begin{proposition}[一致连续性]
|
||||
设$f \in C[a, b]$，则$f$在$[a, b]$上一致连续。
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
反证法：若不然，则$\exists \varepsilon_0 > 0$及收敛于0的数列\setname{a_n}使得$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n^\prime, x_n^{\prime \prime} \in [a, b]$满足$\vert x_n^\prime - x_n^{\prime \prime} \vert < a_n$，但$\vert f(x_n^\prime) - f(x_n^{\prime \prime}) \vert \geq \varepsilon_0$。
|
||||
|
||||
由Bolzano-Weierstrass列紧性原理（引理\ref{Bolzano-Weierstrass列紧性原理}），存在\setname{x_n^\prime}的收敛子列\[\{x_{k_n}^\prime\} \to x^\ast \in [a, b]\]
|
||||
注意到$\vert x_{k_n}^{\prime \prime} - x^\ast \vert \leq \vert x_{k_n}^{\prime \prime} - x_{k_n}^{\prime} \vert + \vert x_{k_n}^{\prime} - x^\ast \vert \leq a_{k_n} + \vert x_{k_n}^{\prime} - x^\ast \vert \to 0$即$\{x_{k_n}^{\prime \prime}\} \to x^\ast$
|
||||
|
||||
那么有两个子列\setname{x_{k_n}^{\prime}}与\setname{x_{k_n}^{\prime}}都收敛于$x^\ast$，并且满足
|
||||
\begin{equation}\tag{$\ast$}\label{闭区间一致连续1}
|
||||
\vert f(x_{k_n}^{\prime}) - f(x_{k_n}^{\prime}) \vert \geq \varepsilon_0
|
||||
\end{equation}
|
||||
由$f$的连续性有$\tolim{x}{x^\ast} f(x) = f(x^\ast)$。因此
|
||||
\[\tolim{n}{\infty}f(x_{k_n}^{\prime}) = \tolim{n}{\infty}f(x_{k_n}^{\prime \prime}) = f(x^\ast)\]
|
||||
这与\eqref{闭区间一致连续1}式矛盾。
|
||||
|
||||
从而$f$在$[a, b]$上一致连续。
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[有界性质]
|
||||
设$f \in C[a, b]$，则$f$在$[a, b]$上有界。
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
反证法。假设$f$在$[a,b]$上无界，则$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n \in [a, b]$，使得$\vert f(x_n) \vert > n$。
|
||||
|
||||
再用Bolzano-Weierstrass列紧性原理，\setname{x_n}存在收敛子列$\{x_{k_n}\} \to x^\ast \in [a, b]$。
|
||||
|
||||
根据$f$的连续性，$\toinf f(x_{k_n}) = f(x^\ast)$，但是由上面的性质$\vert f(x_{k_n}) \vert > k_n$，$n = 1, 2, \cdots$。这个矛盾说明$f$必在$[a, b]$上有界。
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}[最值可达]
|
||||
设$f \in C[a, b]$，则$\exists \underline{x}, \overline{x} \in [a, b]$使得
|
||||
\[f(\underline{x}) \leq f(x) \leq f(\overline{x}), \forall x \in [a, b]\eqper\]
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
已知$f$在$[a, b]$上有界，由确界原理，存在
|
||||
\[M = \sup \limits_{a \leq x \leq b} f(x)\eqco m = \inf \limits_{a \leq x \leq b} f(x)\]
|
||||
那么$\forall n \in \naturalnum$，$\exists x_n \in [a, b]$使得
|
||||
\[M - \frac{1}{n} < f(x_n) \leq M\]
|
||||
取\setname{x_n}的收敛子列\setname{x_{k_n}}，设其收敛到$\overline{x} \in [a, b]$，则
|
||||
\[M - \frac{1}{k_n} < f(x_{k_n}) \leq M\]
|
||||
再用夹逼原理和函数连续性有
|
||||
\[f(\overline{x}) = f(\toinf x_{k_n}) = \toinf f(x_{k_n}) = M\]
|
||||
|
||||
同理可证$\exists \underline{x} \in [a, b]$，使得$f(\underline{x}) = m$。
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[介值定理]
|
||||
设$f \in C[a, b]$，且$f(a) \neq f(b)$。若实数$\lambda$介于$f(a)$与$f(b)$之间，则$\exists c \in (a, b)$使得$f(c) = \lambda$。
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
先考虑特例$f(a) < 0 < f(b)$，要证$\exists c \in (a, b)$，$f(c) = 0$。
|
||||
|
||||
记$a_1 = a, b_1 = b, c_1 = \dfrac{a + b}{2}$。
|
||||
|
||||
这时$f(a_1) < 0 < f(b_1)$，检查$f(c_1)$与0的关系：
|
||||
若$f(c_1) = 0$，$c = c_1$，证明完毕；
|
||||
若$f(c_1) < 0$，令$a_2 = c_1, b_2 = b_1, c_2 = \dfrac{a_2 + b_2}{2}$；
|
||||
若$f(c_1) > 0$，令$a_2 = a_1, b_2 = c_1, c_2 = \dfrac{a_2 + b_2}{2}$。
|
||||
这时还有$f(a_2) < 0 < f(b_2)$，可以继续操作。
|
||||
|
||||
如此不断操作，除非找到$c_n$满足$f(c_n) = 0$，否则可以得到两个单调数列\setname{a_n}和\setname{b_n}满足
|
||||
\[a_n \leq a_{n+1} < b_{n+1} \leq b_n, b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{b-a}{2^n}\]
|
||||
且
|
||||
\[f(a_n) < 0 < f(b_n), n = 1, 2, \cdots\]
|
||||
|
||||
由单调性原理
|
||||
\[\toinf a_n = c = \toinf b_n \in (a, b)\]
|
||||
再由函数连续性
|
||||
\[\toinf f(a_n) = f(c) = \toinf f(b_n)\]
|
||||
由极限保序性
|
||||
\[\toinf f(a_n) \leq 0 \leq \toinf f(b_n)\]
|
||||
因此$f(c) = 0$。
|
||||
|
||||
对于一般情况，不妨设$f(a) < \lambda < f(b)$。那么设
|
||||
\[F(x) = f(x) - \lambda \in C[a, b]\]
|
||||
则
|
||||
\[F(a) < 0 < F(b)\]
|
||||
那么$\exists c \in (a, b)$使得$F(c) = 0$，即$f(c) = \lambda$。
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}[零点性质]
|
||||
这是介值定理的特例。设$f \in C[a, b]$，若$f(a)f(b) < 0$，则$\exists c \in (a, b)$，使得$f(c) = 0$。
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{corollary}
|
||||
设$f \in C[0, 1]$，则$f([a,b])$是一个闭区间。
|
||||
\end{corollary}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
首先，$f([a, b])$的最值一定可达，设达到最大最小值时自变量为$\overline{x}, \underline{x}$。对任何$y$满足$f(\underline{x}) < y < f(\overline{x})$，由介值定理一定存在$x \in [\min \{\underline{x}, \overline{x}\}, \max \{\underline{x}, \overline{x}\}]$使$f(x) = y$因此$f([a, b])$是一个闭区间。
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{example}
|
||||
设$f \in C[0, 1]$且$f(0) = f(1)$。求证：$\exists c \in (0, 1)$，使$f(c) = f(c = \dfrac{1}{2})$。
|
||||
\end{example}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
考虑函数$F(x) = f(x + \dfrac{1}{2}) - f(x) \in C \left[0, \dfrac{1}{2}\right]$，则$F(0) = f\left(\dfrac{1}{2}\right) - f(0)$，$F\left(\dfrac{1}{2}\right) = f(1) - f \left(\dfrac{1}{2}\right) = -F(0)$。
|
||||
|
||||
因此，$F(0)F\left(\dfrac{1}{2}\right) \leq 0$。若$F(0) = 0$或$F\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0$，则得证；若$F(0)F\left(\dfrac{1}{2}\right) < 0$，那么两点异号，必存在$x_0 \in \left[0, \dfrac{1}{2}\right]$使得$F\left(x_0\right) = 0$。
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proposition}
|
||||
$(a, b)$上的单调函数的间断点都是跳跃间断点。
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
设$f(a, b)$上单增，$x_0 \in (a, b)$为$f$的间断点。由于单调函数在每一点处的左右极限都存在，必有
|
||||
\[\tolim{x}{x_0^-} f(x) \neq f(x_0)\text{或} \tolim{x}{x_0^+} f(x) \neq f(x_0)\]
|
||||
$f$单增，由函数极限的保序性，有
|
||||
\[\tolim{x}{x_0^-}f(x) \leq f(x_0) \eqco \tolim{x}{x_0^+} f(x) \geq f(x_0)\]
|
||||
两个不等号不能同时取到，因此必定有
|
||||
\[\tolim{x}{x_0^-}f(x) < \tolim{x}{x_0^+} f(x)\]
|
||||
故$x_0$为跳跃间断点。
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{theorem}[Weierstrass第一逼近定理]
|
||||
$f \in C[a, b]$，则$\forall \varepsilon > 0$，存在多项式$P(x)$，满足
|
||||
\[\forall x \in [a, b] \eqco \vert f(x) - P(x) \vert < \varepsilon \eqper\]
|
||||
\end{theorem}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
不失一般性可设$[a, b] = [0, 1]$。
|
||||
|
||||
记$X = C[0, 1]$，$Y$为$[0,1]$上多项式构成的集合，定义映射
|
||||
\begin{align*}
|
||||
B_n: X & \to Y\\
|
||||
g(t) & \mapsto B_n(g)(x) = \sum_{k=0}^n g\left(\frac{k}{n}\right)C_n^k x^k (1-x)^{n-k}
|
||||
\end{align*}
|
||||
$B_n(g)$是$g \in X$在映射$B_n$下的像，$B_n(g)(x)$是以$x$为自变量的$n$次多项式，称为Bernstein多项式。
|
||||
|
||||
映射$B_n$有如下性质：
|
||||
\begin{enumerate}[label=(\arabic{*})]
|
||||
\item $B_n$是线性映射，即对任意的$g, h \in X$，$\forall \alpha, \beta \in \realnum$，有
|
||||
\[B_n(\alpha g + \beta h) = \alpha B_n(g) + \beta B_n(h) \eqper\]
|
||||
\item $B_n$具有单调性，即$g, h \in X, g \leq h$，有$B_n(g) \leq B_n(h)$。
|
||||
\item $B_n(1)(x) = 1, B_n(t)(x) = x, B_n(t^2)(x) = x^2 + \dfrac{x - x^2}{n}$。
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
那么根据这些性质，给定$s \in [0,1]$，函数$(t-s)^2$在$B_n$映射下的像为
|
||||
\begin{align*}
|
||||
B_n\left((t-s)^2\right)(x) & = B_n\left(t^2\right)(x) - 2sB_n(t) + s^2B_n(1)(x)\\
|
||||
& = x^2 + \frac{x-x^2}{n} - 2sx + s^2\\
|
||||
& = \frac{x-x^2}{n} + (x-s)^2 \eqper
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
现在我们可以利用$B_n$完成证明。
|
||||
|
||||
首先，对$f \in C[0,1]$，有$f$在$[0,1]$上一致连续，即$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，使得
|
||||
\[\forall \vert t - s \vert < \delta \eqco t, s \in [0,1] \eqco \vert f(t) - f(s) \vert < \frac{\varepsilon}{2}\eqper\]
|
||||
|
||||
其次，$f$在$[0,1]$上有界，即$\exists M > 0$，使得$\forall t \in [0, 1]$，$\vert f(t) \vert < M$。那么有
|
||||
\[\forall \vert t - s \vert \geq \delta \eqco t, s \in [0, 1] \eqco \vert f(t) - f(s) \vert < 2M \leq \frac{2M}{\delta^2}(t-s)^2\eqper\]
|
||||
|
||||
注意上面两部分分别考虑了$\vert t - s \vert < \delta$和$\vert t - s \vert \geq \delta$两种情况时的放缩。因此将他们综合起来，有
|
||||
\[\forall t,s \in [0,1]\eqco -\frac{\varepsilon}{2}-\frac{2M}{\delta^2}(t-s)^2 < f(t) - f(s) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{2M}{\delta^2}(t-s)^2\]
|
||||
对于任意给定的$s \in [0,1]$，将$t$看作自变量，由$B_n$的单调性，有
|
||||
\[-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{2M}{\delta^2}\left[\frac{x-x^2}{n} + (x-s)^2\right] < B_n(f)(x) - f(s) < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{2M}{\delta^2}\left[\frac{x-x^2}{n} + (x-s)^2\right]\]
|
||||
|
||||
令$s = x$得
|
||||
\[\vert B_n(f)(x) - f(x) \vert \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{2M}{n\delta^2}\left(x-x^2\right) \leq \frac{\varepsilon}{2} + \frac{M}{2n\delta^2}\eqco \forall x \in [0,1]\]
|
||||
任意取定$n > \dfrac{M}{\delta^2 \varepsilon}$，有
|
||||
\[\vert B_n(f)(x) - f(x) \vert = \left|\sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right)C_n^k x^k (1-x)^{n-k} - f(x)\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \eqco x \in [0,1]\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{remark}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item 单调函数只可能有第一类间断点。
|
||||
\item 如果函数单调，则$f$连续当且仅当$f([a,b])$是一个以$f(a)$和$f(b)$为端点得区间。
|
||||
\item 单调函数的间断点的集合至多为可数。
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{remark}
|
||||
Reference in New Issue
Block a user