第五周。

03函数的导数.tex

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+\chapter{函数的导数}
+\section{导数的概念}
+\begin{definition}[导数]
+    设函数$f(x)$在$x_0$附近有定义（包括$x_0$点）。定义$f$在$x_0$点的导数
+    \[\deriv{f}(x_0) = \tolim{x}{x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\]
+    若极限存在，则称$f$在$x_0$点可导。
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+    应用代换$\Delta x = x - x_0$，导数可以等价地表示为
+    \[\deriv{f} = \tolim{\Delta x}{0} \frac{(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\eqper\]
+\end{remark}
+
+Leibniz记号：记$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，那么
+\[\frac{\dif f}{\dif x} = \tolim{\Delta x}{0} \frac{\Delta f}{\Delta x}\]
+或记为
+\[\frac{\dif f}{\dif x}(x_0) =  \frac{\dif f}{\dif x}\bigg|_{x=x_0} = \deriv{f}(x_0) \eqper\]
+
+\begin{definition}[单侧导数]
+    左导数：$\deriv{f}_{-} (x_0) = \tolim{\Delta x}{0^-} \dfrac{(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
+
+    右导数：$\deriv{f}_{+} (x_0) = \tolim{\Delta x}{0^+} \dfrac{(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
+\end{definition}
+
+\begin{corollary}
+    $\deriv{f}$存在等价于$\deriv{f}_{-}(x_0)$和$\deriv{f}_{+}(x_0)$都存在且相等。
+\end{corollary}
+
+\begin{theorem}[函数可导与连续的关系]
+    若$f$在$x_0$点可导，则$f$在$x_0$点连续。
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    注意到有
+    \begin{align*}
+        f(x) & = f(x_0) + (f(x) - f(x_0))\\
+        & = f(x_0) + \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)
+    \end{align*}
+
+    对上面等式两边求极限，应用极限的四则运算性质：
+    \begin{align*}
+        \tolim{x}{x_0}f(x) & = \tolim{x}{x_0}f(x_0) + \tolim{x}{x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)\\
+        & = f(x_0) + \deriv{f}(x_0) \cdot 0\\
+        & = f(x_0)
+    \end{align*}
+    因此$f$连续。
+\end{proof}